1.1集合的概念与表示题型专项练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念与表示 【题型一】集合的相关概念 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 2．下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 【答案】D 【分析】根据集合的元素需要满足确定性即可判断. 【详解】根据集合的元素需要满足确定性， 对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合； 对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1．可以构成集合． 故选：D． 3．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 4．(多选)下列选项中,正确的是 (　　) A.2∈Q B.|-3|∈N C.|-3|∈Z D.0∉N 答案　ABC 解析　根据元素与集合的关系得2∈Q,A正确; |-3|=3∈N,B正确; |-3|=3∈Z,C正确;0∈N,D错误. 5．(多选)下列说法正确的有 (　　) A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 答案　BD 6．已知集合M是由平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合,则2　　M;(-2,1)　　M;(1,3)　　　M(填“∉”或“∈”).  答案　∉　∈　∉ 解析　集合M中的元素是第二象限的点,而2是实数,故2∉M.点(-2,1)是第二象限内的点,故(-2,1)∈M;而(1,3)在第一象限,故(1,3)∉M. 【题型二】集合元素基本属性的应用 一、单选题 1．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 二、填空题 2．若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 3．已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 4．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 三、解答题 5．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【题型三】集合的表示 一、单选题 1．已知集合，则集合A中所有元素的和为（  ） A．100 B．99 C．120 D．119 【答案】A 【分析】根据已知列举出集合中的元素，应用等差数列前n项和公式求元素和. 【详解】由， 所以集合A中所有元素的和为. 故选：A 2．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法的定义，求出集合中的元素. 【详解】12的所以正因数有，所以. 故选：B. 二、填空题 3．关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 【答案】或. 【分析】由判别式大于0结合集合的表示方法即可得解. 【详解】关于x的方程有两个不相等的实数根，则，解得或， 故所求为或. 故答案为：或. 4． ． 【答案】 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得， 则. 故答案为： 三、解答题 5．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【分析】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 6．用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由列举法的定义写出集合即可； （2）由列举法的定义写出集合即可； （3）由描述法的定义写出集合即可. 【详解】（1）列举法表示“小于10的自然数组成的集合”为：； （2）列举法表示集合：； （3）描述法表示偶数集为：. 7．用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1)，且 (2)且 【分析】（1）先考虑被3除余2的正整数用表示，再考虑正整数及1000以内这两个限制条件，用描述法表示即可； （2）先考虑平面直角坐标系中第二象限内的点的特点是，再考虑集合是点集，用描述法表示即可． 【详解】（1）1000以内被3除余2的正整数组成的集合为，且； （2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合且． 8．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 9．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【详解】（1）由可得：，所以. （2）. （3）. 四、判断题 10．集合与集合不表示同一集合.( ) 【答案】错误 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可判断. 【详解】集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合. 故答案为：错误； 11．集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】错误 【分析】利用相等集合的定义判断即可. 【详解】集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：错误 12．集合与集合表示同一集合.( ) 【答案】错误 【分析】根据集合相等的定义即可判断. 【详解】两集合为点集，和表示的点不同， 所以集合与集合表示两个不同的集合. 故答案为：错误. 13．集合，用列举法表示为．( ) 【答案】错误 【分析】由，结合求解即可判断. 【详解】，所以错误， 故答案为：错误 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念与表示 【题型一】集合的相关概念 1．下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 2．下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 3．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 4．(多选)下列选项中,正确的是 (　　) A.2∈Q B.|-3|∈N C.|-3|∈Z D.0∉N 5．(多选)下列说法正确的有 (　　) A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合 B.正方体的全体构成一个集合 C.未来世界的高科技产品构成一个集合 D.不大于3的所有自然数构成一个集合 6．已知集合M是由平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合,则2　　M;(-2,1)　　M;(1,3)　　　M(填“∉”或“∈”).  【题型二】集合元素基本属性的应用 一、单选题 1．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 二、填空题 2．若集合中只有一个元素，则 . 3．已知集合，若，则 ． 4．若，则实数的值为 ． 三、解答题 5．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【题型三】集合的表示 一、单选题 1．已知集合，则集合A中所有元素的和为（  ） A．100 B．99 C．120 D．119 2．与集合相等的集合是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （写成集合形式） 4． ． 三、解答题 5．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 6．用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 7．用描述法表示下列集合： (1)1000以内被3除余2的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 8．用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 9．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 四、判断题 10．集合与集合不表示同一集合.( ) 11．集合与集合表示同一集合．( ) 12．集合与集合表示同一集合.( ) 13．集合，用列举法表示为．( ) 学科网（北京）股份有限公司 $$