精品解析：河南省驻马店市2024-2025学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

驻马店市2024~2025学年度第二学期期末质量监测 高一数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 的实部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 不存在 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 6. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为平行六面体，P为棱的中点，则 ①过点P有且只有一条直线与直线和都相交； ②过点P有且只有一个平面与直线和都平行； ③过点P有无数条直线与直线和都垂直； ④过点P与直线和的夹角均为的直线至少有两条. 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知向量，，满足，，，则最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 中，若，则（ ） A. B. C D. 10. 正三棱台中，，D为棱AB的中点，则（ ） A. B. 直线与BC夹角的余弦值为 C. A到平面的距离为 D. 棱台体积为 11. 已知实数，，，满足：，，，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 的取值范围是 D. 存在实数，，，，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，为z的共轭复数，则__________. 13. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马中，侧棱底面ABCD，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为__________. 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. （1）求实数及相应的值； （2）当时，化简并求值. 16. 平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为，，已知向量，. （1）若，求实数m的值； （2）若为锐角，求实数m的取值范围； （3）当时，求在方向上的投影向量的坐标. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且面积为，求的外接圆半径. 18. 如图，菱形所在平面与矩形所在的平面相互垂直. （1）证明：直线平面； （2）若平面平面，求的值； （3）在（2）条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数（，，）的图象上两点，及部分图象如下. （1）求函数的解析式； （2）若，，且，求的值； （3）将的图象沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位得到的图象.试讨论关于x的方程在区间上解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市2024~2025学年度第二学期期末质量监测 高一数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持卷面清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 2. 的实部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法整理其为标准式，根据实部的概念，可得答案. 【详解】由，则其实部为. 故选：B. 3. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解. 【详解】因四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】，即， 故选：D 5. 直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内 C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【解析】 【分析】由推论1和基本事实3可以确定平面与平面有唯一的交线，由线面平行的性质定理可推导直线与交线平行，从而确定选项. 【详解】解：由推论1可知：，则，，过与确定一平面β， 由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b， 因为直线a∥平面α，，，所以a∥b. 故选：C． 6. 将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案. 【详解】由题意可知，设，则， 设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象， 则， 易知，则，即， 可得，解得. 故选：B. 7. 已知为平行六面体，P为棱的中点，则 ①过点P有且只有一条直线与直线和都相交； ②过点P有且只有一个平面与直线和都平行； ③过点P有无数条直线与直线和都垂直； ④过点P与直线和的夹角均为的直线至少有两条. 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①：由题意满足条件的直线是平面与平面的交线，从而可判断；②：由线面平行的判定及性质可判断；③：由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；④：由异面直线成角可判断. 【详解】①：过点P与直线相交直线必在平面内， 过点P与直线相交的直线必在平面内， 故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，①正确； ②：过点P有且只有一个平面与直线和都平行， 此平面就是过点P与正方体的上下底面平行的平面，②正确； ③：因为，若则，若， 由、平面，，则平面， 显然满足条件的直线唯一，即，③错误； ④：取，的中点E，F，连PE，PF，则，， 显然的角平分线与PE，PF所成角为，且该角平分线与直线相交， 又均与PE，PF所成角为， 则在直线上，分别有两点位于平面上方及下方， 使得过该点与点P的直线与PE，PF的夹角均为， 故过点P与直线和的夹角均为的直线至少有两条，④正确. 故选：C. 8. 已知向量，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可设、、，又，，则可计算出的范围，从而可得解. 【详解】，则可设、、， 由，则， 又， 则，则， 故，则， 即的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断A,结合二倍角公式可判断C，据特殊值即可求解BD. 【详解】由于，则，进而根据正弦定理可得，故A正确， 对于BD，若则，不满足，，不满足,故BD错误， 对于C,由于，所以，进而，即，C正确， 故选：AC 10. 正三棱台中，，D为棱AB的中点，则（ ） A. B. 直线与BC夹角的余弦值为 C. A到平面的距离为 D. 棱台的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】正三棱台补成正四面体，利用正四面体的几何性质即可求解AC,根据异面直线的夹角可知或其补角为所求，利用三角形边角关系即可求解B,利用体积公式即可求解D. 【详解】将正三棱台补成三棱锥，根据,可知,则三棱锥为正四面体， 对于A：由于为棱AB的中点,故，又是的中点，故，A正确， 对于B,由于,故或其补角即为直线与BC夹角，由于,, 故,故B错误， 对于C,三棱锥的高为,因此A到平面的距离为,C正确， 对于D,因为，， 故棱台的体积为，D正确， 故选：ACD 11. 已知实数，，，满足：，，，则（ ） A. 的最小值是 B. C. 的取值范围是 D. 存在实数，，，，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用向量夹角公式求出，再借助三角函数定义用角的正余弦表示，利用和差角的正余弦及二倍角的正弦，结合正弦函数性质逐项求解判断. 【详解】令，则， ，而，于是， 不妨令，， 对于A， ，A错误； 对于B，，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， 而，因此存在，使得，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，为z的共轭复数，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】借助共轭复数定义与复数乘法公式计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 13. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马中，侧棱底面ABCD，，则三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球即可求解. 【详解】将该阳马放入长方体中，如图： 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故长方体的外接球的直径为， 故外接球的表面积为, 故答案为： 14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角转化，可得，再利用消元思想可消去，从而可得，然后再利用余弦定理求得， 从而利用单调性可得取值范围. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即，由内角和定理可得： ，再由正弦定理角化边得：， 所以 ， 再由余弦定理得：，当且仅当时等号成立， 所以，由可得：， ， 故答案为：. 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. （1）求实数及相应的值； （2）当时，化简并求值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【小问1详解】 根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. 【小问2详解】 由可知，此时，， 原式. 16. 平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为，，已知向量，. （1）若，求实数m的值； （2）若为锐角，求实数m的取值范围； （3）当时，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）借助向量平行的坐标关系运算即可得； （2）由锐角性质可得且，计算即可得； （3）借助投影向量定义计算即可得. 【小问1详解】 由得， 由，则，即， 解得或； 【小问2详解】 由为锐角，则且， 即且与不同向共线，也即， 解得且； 【小问3详解】 当时，，， 因在方向上的投影向量为， 且，， 从而可得， 因此在方向上的投影向量为. 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的外接圆半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理与两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）借助三角形面积公式、正弦定理与余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理（为三角形外接圆半径）， 则可化为， 又因， 则， 也即， ，； 【小问2详解】 由及三角形面积，可得， 根据余弦定理，得， 又由正弦定理（为三角形外接圆半径）， 则. 18. 如图，菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直. （1）证明：直线平面； （2）若平面平面，求的值； （3）在（2）条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得平面和平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面； （2）利用面面垂直的性质，证得面，面，求得和，取中点为，证得，，得到为二面角的平面角，求得，即可得解； （3）记面面，利用线面平行的性质，证得，得到，，得到即为平面与平面所成的角，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，则， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为菱形，则， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直， 且平面平面，，，平面， 所以面，面， 因为平面，所以，， 则，， 又由，则. 同理可得：. 取中点为，记，则且， 所以，，所以为二面角平面角， 因为平面平面，则，且，所以， 可得. 【小问3详解】 记面面， 因为，平面，所以平面， 且平面，所以，则， 因为，从而，， 所以即为平面与平面所成的角， 在（2）条件下，，所以为等腰直角三角形，所以， 可得，即平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数（，，）的图象上两点，及部分图象如下. （1）求函数的解析式； （2）若，，且，求的值； （3）将的图象沿x轴向左平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位得到的图象.试讨论关于x的方程在区间上解的个数. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数图象的最高点与最低点以及已知点，建立方程，可得答案； （2）由函数解析式明确其对称轴，利用等量代换以及诱导公式，可得答案； （3）由函数图象变换以及诱导公式整理方程，根据换元以及参数分离，结合对勾函数的性质以及方程与函数的关系，可得答案. 【小问1详解】 由图可知，， 因此，， 由M，N点在图象上， 则，由图解得， 可得，得，则， 从而可得，综上. 【小问2详解】 由，令，解得， 则函数的对称轴为直线， 由，，且， 则，且， 因此， 从而 【小问3详解】 根据题意得， ， 从而原方程可整理为 不妨记，， 则在上单调， 且得到， 因此原方程等价于即在内解的情况. 也即，解的情况. 因为，当且仅当时等号成立，结合图像 因此：当，即时，原方程无解； 当时，，时，原方程有唯一解； 当时，，时，原方程有两个不等实根， 当时，，时，原方程只有一个不等实根， 综上所述：当或时，原方程只有一个不等实根； 当，原方程有两个不等实根；当时，原方程无解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $