专题04 代数式（数学竞赛培优专项训练）

专题04 代数式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 代数式求值 考点二 单项式规律题 考点三 数字类规律探索 考点四 图形类规律探索 考点五 整式的加减 考点六 整式的乘除 考点七 运用平方差公式进行计算 考点八 平方差公式与几何图形 考点九 运用完全平方公式进行计算 考点十 通过完全平方公式变形求值 考点十一 完全平方公式在几何图形中的应用 考点十二 整式的混合运算 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题22道） 考点一 代数式求值 1．已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 2．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 考点二 单项式规律题 4．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 6．若有一组按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第n个单项式是（     ） A． B． C． D． 考点三 数字类规律探索 7．观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 8．为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 9．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 考点四 图形类规律探索 10．如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A．25 B．28 C．33 D．34 11．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，……，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第2025个矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 考点五 整式的加减 13．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 考点六 整式的乘除 16．我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 17．已知整式，其中，，，，是自然数，若，．下列说法： ①若，则； ②若，且，则满足条件的不同整式中共有7个； ③当时，设其四个实数根为，，，．若存在正整数使得为正整数，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 考点七 运用平方差公式进行计算 19．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 20．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 21．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 考点八 平方差公式与几何图形 22．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 23．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 24．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是(     ) A．80 B．40 C．20 D．10 考点九运用完全平方公式进行计算 25．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 26．设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 27．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点十 通过完全平方公式变形求值 28．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 29．如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（    ）． A．25 B．26 C．27 D．28 30．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点十一 完全平方公式在几何图形中的应用 31．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，面积分别为，，，且.若，，则下列判断错误的是（　　） A．四边形的面积是 B． C．连接，则 D． 32．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（    ）    A． B． C． D． 考点十二 整式的混合运算 34．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 35．的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 36．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，，则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）一个数值转换器原理如图所示，若输入的值是5，5是奇数则第一次输出的结果是8，8为偶数第二次输出的结果是4，…，则第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 5．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，则（    ） A． B．2 C． D．以上结果均可行 6．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）已知，，其中、为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，图1中大正方形被分成了4个正方形，图2中大正方形被分成了10个正方形，图3中大正方形被分成了22个正方形，按此规律，图5中大正方形被分成的正方形为（    ） A．92个 B．94个 C．96个 D．98个 10．（2024七年级·全国·竞赛）同学们都知道，任何一个实数的平方都不可能为负数，当然也就不存在一个实数的平方会等于．现在我们规定：，且原有运算律和运算法则对与有关的四则运算和乘方运算仍然成立，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 二、填空题 11．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 12．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 13．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛），则的值为 ． 14．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）实数，满足，则的值为 ． 15．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，，则 ． 17．（22-23七年级上·四川内江·期末）有一列数：，，，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子：的值为 ． 18．（2024九年级·全国·竞赛）已知一元二次方程的两根为，则代数式 ． 三、解答题 19．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 20．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，． (1)化简：； (2)若（1）中代数式的值与的取值无关，求的值． 21．（2024八年级·全国·竞赛）已知，求： (1)； (2)． 22．（22-23八年级上·福建泉州·期末）阅读“若满足，求的值”． 设，， 则，， ． （1）理解 ①若满足，则的值为______； ②若满足，试求的值； （2）应用 如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 代数式求值 考点二 单项式规律题 考点三 数字类规律探索 考点四 图形类规律探索 考点五 整式的加减 考点六 整式的乘除 考点七 运用平方差公式进行计算 考点八 平方差公式与几何图形 考点九 运用完全平方公式进行计算 考点十 通过完全平方公式变形求值 考点十一 完全平方公式在几何图形中的应用 考点十二 整式的混合运算 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题22道） 考点一 代数式求值 1．已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴，解得：， 把代入可得： ． 故选：A． 2．定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题在新定义的基础上，考查了解二元一次方程组，一元二次方程的解，求代数式的值等知识，解决问题的关键是利用降次的方法化简代数式．先由定义求得，的值，进而知道是的根，可知，那么有，那么，那么，进而得出结果． 【详解】解：由题意得，， ， 是关于的方程的根， 是方程的根， ， ， ， ； 故选：A． 3．已知 则 的最小值是（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴时，有最小值，且为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键． 考点二 单项式规律题 4．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 【详解】解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 5．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 6．若有一组按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，则第n个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的数字规律探索，零指数幂的定义，解答本题的关键是根据题目所给的式子找出规律．根据题目所给的几个单项式可得单项式的系数为，x的次数为，y的次数为n，据此即可写出第n个单项式． 【详解】由题意得，单项式的系数为，x的次数为，y的次数为n，则第n个单项式是． 故答案为：． 考点三 数字类规律探索 7．观察下列等式： ； ．．．．．． 根据以上规律计算的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律． 先求出规律，再计算即可． 【详解】∵； ； ； …… ； ， 当时， ∴． 故选：A． 8．为求的值，可令，则，然后用，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，读懂题意并理解题中的计算方法是解题的关键． 仿照题中的方法求解即可． 【详解】解：设，两边同乘以5，得： 用减去原式S，得： 右侧除首项和末项外，其余项均抵消，故：， 解得：． 故选D． 9．观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，熟练掌握多项式的乘法运算和数字的变化规律是解题关键．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ， ． ，，，，，，的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环． ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为． 故选：B． 考点四 图形类规律探索 10．如图，将一张等边三角形纸片沿三边中点连线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到85个小三角形，则需要操作的次数是（　　） A．25 B．28 C．33 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的规律探究，根据图形规律转化为数字规律是解题的关键． 按照同样的操作，依次剪出的三角形的个数为4，7，10，13……，由此数据可知，第n次操作后三角形共有个，根据题意得，求得n的值即可． 【详解】解：由题意， 第一次操作，小三角形的个数为4个； 第二次操作，小三角形的个数为7个； 第三次操作，小三角形的个数为10个； …… 第n次操作，小三角形的个数为个； 由， 解得， 故选：B． 11．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，……，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第2025个矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，此题要明确矩形四边的中点组成的四边形是菱形，菱形四边的中点组成的四边形是矩形，并熟练掌握矩形的面积为两邻边的积，明确后一个矩形的面积是前一个矩形的面积的是解题的关键．易得第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为，依此类推，第个矩形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图， 矩形的面积为，菱形的四个顶点分别是，，，的中点，矩形的四个顶点分别是，，，的中点，连接，，设，，则， ∴，， ∵矩形的四个顶点分别是，，，的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，， ∴矩形的面积为，即后一个矩形的面积是前一个矩形的面积乘以， ∴第二个矩形的面积是， ∴第三个矩形的面积是， ∴第四个矩形的面积是， …… ∴第个矩形的面积是， ∴第2025个矩形的面积为． 故选：B． 12．如图甲，直角三角形的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，理解题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”， ∴根据题意可得：， ∴， ∴， 以此类推，， ∵， ， ， 以此类推，， ∴的面积为， 故选：A． 考点五 整式的加减 13．已知都为整式． ①若且，则或； ②若，当时，则； ③若（为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点． 对于①，由题意，，即，代入得，再分类讨论求解；对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解；对于③，由于为非负整数且，所有可能的组合整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， 代入得， 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去； 当时，，解得，但此时，矛盾，舍去。 故原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由第二个方程解出， 代入第一个方程得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若和为0：则； 若和为1：则或或； 若和为2：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； ∴正确的有2个， 故选：C. 14．已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①根据组合数计算交换次数；②代入求系数和；③利用和的值联立求解奇次项系数和即可. 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有种不同结果， 所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，， 即的所有系数之和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，， 取时，， 取时，， 两式相减得， 解得，故③错误，不符合题意； 综上，正确的个数为2， 故选：C 15．【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算． 根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①； 根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②； 根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③． 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 考点六 整式的乘除 16．我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索问题，把转化为，再根据题中规律展开，即可求解． 【详解】解： ，其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 故选：B． 17．已知整式，其中，，，，是自然数，若，．下列说法： ①若，则； ②若，且，则满足条件的不同整式中共有7个； ③当时，设其四个实数根为，，，．若存在正整数使得为正整数，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的拓展应用，韦达定理．令和，可判断①；根据抽屉原理，可判断②；根据韦达定理得出，根据为正整数，通过解不等式组求出整数k，可判断③． 【详解】解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵， ，故①正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴或， ∴，或，或或或，， ∴，（舍去）或，或，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)；故②错误． 当时，该方程存在4个实数根记为，，，， ， 由等式两边常数项相等，可得：， ， 存在正整数k，使为正整数， 或， 或， 或， 或， 或，故③错误； 综上可知，正确的个数为1个， 故选：B． 18．观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 考点七 运用平方差公式进行计算 19．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个正整数为“杨梅数”．例如，就是一个“杨梅数”．则把所有的“杨梅数”从小到大排列后，第47个“杨梅数”是（     ） A．97 B．95 C．64 D．65 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 如果一个数是杨梅数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是杨梅数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“杨梅数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“杨梅数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是“杨梅数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“杨梅数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“杨梅数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“杨梅数”， 此后，每连续四个数中有三个“杨梅数”． ，， 64是第46个“杨梅数”， 65是第47个“杨梅数”． 故选∶D． 20．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 21．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 【答案】B 【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 考点八 平方差公式与几何图形 22．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 23．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 24．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是(     ) A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】C 【分析】设大小两个正方形的面积分别为a、b，得到a2-b2=40；又阴影部分面积=△AEC+△ADE ，然后使用三角形面积公式进行计算、化简即可解答． 【详解】 解：如图：设大小两个正方形的面积分别为a，b 则有a2-b2=40 又∵阴影部分面积=△AEC+△ADE = = = =20 故答案为C． 【点睛】本题考查了几何图形中阴影面积的求法，关在于运用数形结合，将不规则图形化归为规则的几何图形的组合． 考点九运用完全平方公式进行计算 25．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 26．设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键． 27．关于x，y的二次三项式（m为常数），下列结论正确的有（    ） ①当时，若，则 ②无论x取任何实数，等式都恒成立，则 ③若，则 ④满足的正整数解共有25个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】①将代入代数式，计算即可；②又可得，再根据题意求解即可；③两方程相加，令，可化为，求解即可；④根据题意可得，列出正整数解，即可． 【详解】解：将代入可得，，即 解得或，即或，①错误； 由可得， ∵无论x取任何实数，等式都恒成立， ∴，②正确； 两式相加可得： 即 令，则，解得， 即或，③错误； 由可得 正整数解为： ，总共有个，④错误 正确的个数为1， 故选：A 【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式． 考点十 通过完全平方公式变形求值 28．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，二次根式的性质，不定方程的解，①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据，得取值判断即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确， ② ， ，，是正整数， ，都是整数， ， ， ， 而只能分解成和的乘积， ∴当时， 解得：，，或，，， 当时， 解得：，， ， ，与矛盾，不符合题意，舍去， 故②错误， ③实数，，满足，， 两方程相减得：， 当，均大于或等于时， 即， ， 则，故不成立， 当，有一个大于有一个小于时， ，故不成立， 当，都小于时，，不符合题意， 故③错误． 故正确的为：①，共个， 故选：B． 29．如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（    ）． A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、完全平方公式、解二元一次方程组等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 设，则，；由、可得、，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后代入即可解答． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴（舍弃负值），（舍弃负值）， ∴， ∴． 故选B． 30．已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 考点十一 完全平方公式在几何图形中的应用 31．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，面积分别为，，，且.若，，则下列判断错误的是（　　） A．四边形的面积是 B． C．连接，则 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 写出四边形的边长与四个小正方形面积之间的关系，根据勾股定理可得的长度，由已知等式可得的值，由已知不等式可得与的大小关系，利用完全平方公式结合三角形的面积公式，可得四边形的面积，分析判断每一个选项即可． 【详解】解：由已知可得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴选项D不符合题意， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴选项B、C不符合题意， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴选项A符合题意． 故选：A． 32．如图，若一块长方形广场的原长为18米，宽为10米；现因施工改造，将广场的长和宽各增大米，广场面积增加了20平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃．请你计算出花圃的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由圆面积公式计算即可． 【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：B． 33．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，完全平方公式与图形的面积问题．先证明，得到，进而得到，推出空白部分的面积等于正方形的面积减去，即：，利用，结合勾股定理和完全平方公式得到，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①②得：， 解得或（负值舍去）． 故选：C． 考点十二 整式的混合运算 34．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查代数式的运算与等式推导，解题的关键是通过对已知条件进行变形、运算来推导结论． 由已知条件，，，通过代数推导和构造特例验证各结论是否成立． 【详解】（1）由和，结合，可构造，或，．此时，故结论（1）恒成立． （2）将代入，若，，则；若，，则．因此结论（2）恒成立． （3）取，，，，满足已知条件，但，故结论（3）不一定成立． 综上，结论（1）和（2）一定成立，正确命题个数为2， 故选C． 35．的三个顶点坐标分别为，，，关于的面积，下列说法正确的是（   ） A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都无关 D．与、的大小都有关 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解． 【详解】解：如图：过点作轴，过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点；过点作轴，与交于点； ∵，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，，， ，，， 的面积四边形的面积的面积的面积的面积， ， 即的面积是固定值，与与、的大小都无关． 故选： C． 36．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 一、单选题 1．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，，则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质以及代数式求值的方法．先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 代入，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若展开式中含项的系数是17，则的值 （     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ∵展开式中含项的系数是17 ∴ ∴ 故选：B． 3．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 4．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）一个数值转换器原理如图所示，若输入的值是5，5是奇数则第一次输出的结果是8，8为偶数第二次输出的结果是4，…，则第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值-程序框图，解题的的关键在于归纳总结得到一般性规律．根据程序框图依次算出输出的结果，结合输出的结果找出一般性规律，即可解题． 【详解】解：第一次输出的结果是8， 第二次输出的结果是4， 第三次输出的结果是2， 第四次输出的结果是1， 第五次输出的结果是4， 第六次输出的结果是2， 第七次输出的结果是1，... 即依次输出结果为：8、4、2、1、4、2、1、... 第一个输出8后，每3个一循环， 因为，， 所以第2023次输出为1． 故选：D． 5．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，则（    ） A． B．2 C． D．以上结果均可行 【答案】B 【分析】本题考查绝对值化简，以及整式的运算，根据题意得到，，再结合绝对值性质和整式的运算进行化简，即可解题． 【详解】解：因为 ， 所以，， 所以， 故选：B． 6．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）已知，，其中、为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．先将已知化为，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2024九年级上·浙江金华·竞赛）已知，，则的值等于（   ） A．10 B． C．0 D．10或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，求平方根，代数式求值等知识，解题的关键是将式子正确变形． 首先由变形得到，然后计算，然后求平方根即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或． 故选：D． 8．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 9．（2024七年级·全国·竞赛）如图，图1中大正方形被分成了4个正方形，图2中大正方形被分成了10个正方形，图3中大正方形被分成了22个正方形，按此规律，图5中大正方形被分成的正方形为（    ） A．92个 B．94个 C．96个 D．98个 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的变化类，由观察发现后一个图形中正方形的数量是前1个图形的正方形数量的2倍还多2个，从而可得答案． 【详解】解：由观察发现： 图1中大正方形被分成了4个正方形， 图2中大正方形被分成了10个正方形，而 图3中大正方形被分成了22个正方形，而， 图4中大正方形被分成了个正方形， 图5中大正方形被分成了个正方形， 故选B． 10．（2024七年级·全国·竞赛）同学们都知道，任何一个实数的平方都不可能为负数，当然也就不存在一个实数的平方会等于．现在我们规定：，且原有运算律和运算法则对与有关的四则运算和乘方运算仍然成立，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型数字的变化，解答本题的关键是计算出从开始，每相邻的4个数相加等于0，有一定难度．根据题意可计算出，，，从而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴从开始，每相邻的4个数相加等于0． ∵， ∴． 故选B． 二、填空题 11．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的解的定义，可得，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 13．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，令，再把得到的两个式子相加即可得出的值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴令，则， 令，则， 由可得：， ∴， 故答案为：． 14．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，计算多项式乘多项式等知识点，将已知等式变形后利用完全平方式的非负性得出，是解题的关键． 先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成，利用完全平方式的非负性得出，，然后代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 15．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根等知识点，将变形为是解题的关键． 先将变形为，进而可得，然后展开，得到，再两边求算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，，则 ． 【答案】4 【分析】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免错解． 利用完全平方和公式求得的值后，将其代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：4． 17．（22-23七年级上·四川内江·期末）有一列数：，，，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律题，涉及了整式的加减运算，由题意得：可推出该列数每三个数一循环，据此即可求解； 【详解】解：由题意得： ∴该列数每三个数一循环， ∵， ∴ ∵， ∴原式， 故答案为： 18．（2024九年级·全国·竞赛）已知一元二次方程的两根为，则代数式 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，关键在于明确根与系数的关系，求出，． 根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将方程变形为，再代入，，得，再把代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，，， ∴， ∴ ． 故答案为：0． 三、解答题 19．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 20．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）已知，． (1)化简：； (2)若（1）中代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）先化简，再把A、B的值代入计算即可； （2）根据“式子的值与a的取值无关”得到关于b的等式，求解即可． 【详解】（1）解： ； 将，，代入上式，得 ． （2）解：∵（1）中式子的值与a的取值无关， 原式． 则， ∴． 21．（2024八年级·全国·竞赛）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算： （1）先根据完全平方公式变形得出，求出，再估算出，即，最后求出答案即可； （2）将式子变形，再将代入，进而可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ． （2）解：∵ ， ． 22．（22-23八年级上·福建泉州·期末）阅读“若满足，求的值”． 设，， 则，， ． （1）理解 ①若满足，则的值为______； ②若满足，试求的值； （2）应用 如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）①25；②23；（2）． 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）①②可根据完全平方公式即可计算； （2）由条件表示出正方形的边长，由完全平方公式即可求解． 【详解】解：（1）①令，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：25． ②， ， 令，， ，， ， ， ； （2），， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$