07讲 全称量词与存在量词 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

07讲　全称量词与存在量词 【人教版2019】 知识点（一）　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意: (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定； (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 【典题练习】 1．（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 2.下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 3．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 4.写出命题“”的否定： . 知识点（二）　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意 (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 【典题练习】 1．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 2．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 3.（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 4.命题存在实数，使方程有实数根，则“”形式的命题是 知识点3（三）　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.对含有量词的命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词(存在量词)换为恰当的存在量词(全称量词)． (2)否定性质：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 【典题练习】 1.命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3.已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 知识点4　全称量词命题和存在量词命题的应用 【典题练习】 1.已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为，则A=________________. 2.已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 3.已知命题命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围． 4.已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【巩固练习】 一、单选题 1．下列命题中形式不同于其他三个的是（    ） A．， B．， C．每一个正数的倒数都大于0 D．，x－3＜0 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 4．若命题菱形是中心对称图形，则（    ） A．是全称量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形 B．是全称量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形 C．是存在量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形 D．是存在量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形 5．下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 6．命题“方程有一个根是偶数”的否定是（    ） A．方程有一个根不是偶数 B．方程至少有一个根不是偶数 C．方程至多有一个根不是偶数 D．方程的每一个根都不是偶数 7．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 二、多选题 8．下列存在量词命题中，是真命题的是（     ） A．， B．至少有一个，使能同时被和整除 C．有些自然数是偶数 D．， 9.下列命题的否定是假命题的是（    ） A．每个正方形都是平行四边形 B．是无理数，是无理数 C．， D．，关于x的方程有实数根 10．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题 11．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 12.若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 13.下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 四、解答题 14.已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 15.已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 16.已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07讲　全称量词与存在量词 【人教版2019】 知识点（一）　全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意: (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定； (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来． 【典题练习】 1．（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【分析】根据全称量词及存在性量词的概念求解. 【详解】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题. 故选：ACD 2.下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 3．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 4.写出命题“”的否定： . 【答案】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“”的否定是 故答案为： 知识点（二）　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意 (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． 【典题练习】 1．下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 2．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 3.（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【答案】CD 【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假． 【详解】对于A，命题是全称量词命题，故A错误； 对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确． 故选：CD． 4.命题存在实数，使方程有实数根，则“”形式的命题是 知识点3（三）　全称量词命题和存在量词命题的否定 1．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.对含有量词的命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词(存在量词)换为恰当的存在量词(全称量词)． (2)否定性质：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 【典题练习】 1.命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论， 可得命题，的否定是： ，. 故选：B 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由命题的否定的定义即可得解. 【详解】命题“”的否定是“”， 故选：B． 3.已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 知识点4　全称量词命题和存在量词命题的应用 【典题练习】 1.已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为，则A=________________. 【答案】 【详解】（1）命题为真命题，，解得， 又； 2.已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式与根与系数关系求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时的取值范围， 再根据假真，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根， 则 ， 解得：， （2）若方程无实根，则，解得：， 当假真时， ，解得：， 故的取值范围为. 3.已知命题命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】命题都是真命题，则均成立，从而解出a的范围；，即方程有实数根，解得a的范围，再取交集即可. 【详解】命题为真命题 对恒成立 ，即 命题为真命题 方程有实数根，即 或 命题都是真命题 故答案为：. 4.已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 【巩固练习】 一、单选题 1．下列命题中形式不同于其他三个的是（    ） A．， B．， C．每一个正数的倒数都大于0 D．，x－3＜0 【答案】B 【分析】根据全称命题与特称命题即可求解. 【详解】“任意”，“每一个”是全称量词，故ACD是全称命题，而“存在”是存在性量词， 故B为特称命题，故B与ACD命题不同， 故选：B 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案． 【详解】命题“，”的否定是为：，. 故选：C. 3．设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 4．若命题菱形是中心对称图形，则（    ） A．是全称量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形 B．是全称量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形 C．是存在量词命题，且的否定:所有的菱形不是中心对称图形 D．是存在量词命题，且的否定:有些菱形不是中心对称图形 【答案】B 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可得出答案. 【详解】该命题是全称量词命题，且该命题的否定：有些菱形不是中心对称图形． 故选：B 5．下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D 6．命题“方程有一个根是偶数”的否定是（    ） A．方程有一个根不是偶数 B．方程至少有一个根不是偶数 C．方程至多有一个根不是偶数 D．方程的每一个根都不是偶数 【答案】D 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】命题“方程有一个根是偶数”的否定是：方程没有一个根是偶数，只有D符合． 故选：D． 7．已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 二、多选题 8．下列存在量词命题中，是真命题的是（     ） A．， B．至少有一个，使能同时被和整除 C．有些自然数是偶数 D．， 【答案】BC 【分析】由，，可判断A选项；取可判断B选项；取自然数可判断C选项；解方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，，，A选项中的命题为假命题； 对于B选项，能同时被和整除，B选项中的命题为真命题； 对于C选项，有些自然数是偶数，如，C选项中的命题为真命题； 对于D选项，由可得， 因为，解得，即，D选项中的命题为假命题. 故选：BC. 9.下列命题的否定是假命题的是（    ） A．每个正方形都是平行四边形 B．是无理数，是无理数 C．， D．，关于x的方程有实数根 【答案】ACD 【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解. 【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故A错误； 对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题， 所以该命题的否定是真命题，故B正确； 对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故C错误； 对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题， 所以该命题的否定是假命题，故D错误； 故选：ACD. 10．设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程根的判别，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误； 对于B，由题意可得， 由，解得，，故B正确； 对于C，由题意可得， 由B可知不等式的解集为， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为，，故C错误， 对于D，由题意可得，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．“所有自然数都是整数”的否定为 ． 【答案】“有些自然数不是整数” 【分析】由全称命题的否定的定义即可得解. 【详解】“所有自然数都是整数”的否定为“有些自然数不是整数”. 故答案为：“有些自然数不是整数”. 12.若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得为真命题，从而求得的范围. 【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题， ，， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 13.下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 四、解答题 14.已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 15.已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 16.已知命题，命题，若命题和命题都是真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，进而求解即可. 【详解】命题，即， 因为，所以. 命题， 则，即或. 因为命题和命题都是真命题， 所以，即， 学科网（北京）股份有限公司 $$