2024-2025学年高一下学期数学暑假作业（1）-（18）

高一数学暑假作业（4） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列命题中正确的是(    ) A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B. 平面内有不共线的三个点，，到平面的距离相等，则 C. ，，则 D. ，，，则 2.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是(    ) A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 3.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在正方体中，，分别为的中点，异面直线与所成角为(    ) A. B. C. D. 5.在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.如图所示，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，，，体积分别为，，，下列结论正确的是(    ) A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是          ． 9.如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面，则           ． 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 如图，已知是平行四边形所在平面外一点，，分别是的三等分点靠近，靠近； 求证：平面． 在上确定一点，使平面平面． 11.本小题分 如图，在正方体中，为的中点． 求三棱锥的体积； 求证：平面； 若为的中点，求证：平面平面． 12.本小题分 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，． 求三棱锥的体积； 已知为棱上的点，证明：． 13.本小题分 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点，，点在底面的射影恰好是边的中点． 求证平面 求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（14） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是虚数单位，a，b是实数，则复数在复平面内对应的点是    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，下列条件中能使唯一确定的是    A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在中，内角的对边分别为，已知，则的形状为     A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4.若圆柱的母线长是圆柱底面圆半径r的2倍，则该圆柱的表面积与体积比是     A. B. C. 2r D. 6r 5.某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球球与圆锥的底面和侧面均相切半径为1，则该圆锥外接球的表面积为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是    A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 7.已知，是复数，则下列命题错误的是     A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则此三棱台的体积是          . 9.文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高          米． 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知的内角所对边的长度分别为 若，求A和外接圆半径R的值； 若，求的值． 11.本小题12分 已知函数 求的最小正周期和对称中心； 求的单调递减区间； 当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值． 12.本小题12分 已知函数，直线是图象的一条对称轴. 试求的值； 已知函数的图象是由图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若，，求的值. 13.本小题12分 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且 求角A； 若，，求的面积； 若，求的最大值． 第8页，共9页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（3） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且：：用表示向量的结果是(    ) A. B. C. D. 4.在平面四边形中，为正三角形，，，如图，将四边形沿折起，得到如图所示的四面体，若四面体外接球的球心为，当四面体的体积最大时，点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方体中，直线与平面所成的角为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有(    ) A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 若是的中点，若是的中点，则到平面的距离是 D. 直线与直线所成角最小时，线段长为 7.如图所示，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.如右图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为          ． 9.如图，在长方体中，，，动点，分别在线段和上 给出下列四个结论： ； 不可能是等边三角形； 当时，； 至少存在两组，，使得三棱锥的四个面均为直角三角形． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 如图，在直三棱柱中，，． 求证：； 求点到直线的距离． 11.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． 求证：平面； 求证：平面． 12.本小题分 在四棱锥中，底面，，，，． 证明： 求与平面所成的角的正弦值． 13.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，． 若为线段中点，求证：平面． 若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（7） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，若，则    A. B. C. D. 2.设向量，，，其中O为坐标原点，，，若A，B，C三点共线，则的最小值为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 3.已知，，在上的投影向量为，则与的夹角为(    ) A. B. C. 或 D. 4.已知锐角中，，，则AB边上的高的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围     A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知平面向量，，则    A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 7.已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有(    ) A. 若，则 B. 若，，则外接圆半径为10 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知点与，点P在直线AB上，且，则点P的坐标为          . 9.在斜中，若，则的最大值是          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知向量，若与的夹角为 求； 向量与互相垂直，求实数k的值. 11.本小题12分 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求角B的大小; 若为锐角三角形，且，，求的面积. 12.本小题12分 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知 Ⅰ求角B的大小； Ⅱ设，，求b和的值． 13.本小题12分 在非钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b， 证明： 若， Ⅰ求a的取值范围. Ⅱ当C取得最小值时，，若在内有且只有一个零点，求的取值范围. 第2页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业综合卷（18） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于  A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是     A. 面积为的矩形 B. 面积为的矩形 C. 面积为的菱形 D. 面积为的菱形 3.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城如图，等腰梯形的直棱柱体，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺丈尺”，则该问题中“城”的体积等于(    ) A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 5.球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的球面面积为    A. B. C. D. 6.如图所示，在正方体中，E是棱的中点，点F在棱上，且，若平面，则(    ) A. B. C. D. 7.在正四面体 ABCD 中，点 E ， F ， G 分别为棱 BC ， CD ， AC 的中点，则异面直线 AE ， FG 所成角的余弦值为    A. B. C. D. 8.随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分满分10分，得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是(    ) 1 2 3 4 5 6 甲 乙 A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若复数，则(    ) A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 10.下列命题中，正确的是(    ) A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形ABC中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则  A. 二面角的大小为 B. 直线与底面ABCD所成的角的大小为，则 C. 过点E且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D. 以E为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则          . 13.已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆台分成上下两部分的体积之比为          . 14.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______ 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 Ⅰ求； Ⅱ若， ⅰ求的值； ⅱ求的面积. 16.本小题15分 在三棱柱中，，平面ABC，E，F分别是AC，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面 17.本小题15分 已知， Ⅰ化简，并求的值; Ⅱ若，求的值; Ⅲ若，，求的值. 18.本小题17分 如图，在平行四边形ABCD中，点C在直线l上，延长AB与l相交于点O，且，以l为轴，平行四边形ABCD的四条边旋转一周形成的面围成一个几何体． 写出这个几何体的结构特征； 求该几何体的体积； 求该几何体的表面积． 19.本小题17分 某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如图直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. 求n和乙样本直方图中a的值； 试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表； 若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 第16页，共17页 第15页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（12） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. 0 D. 3.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 4.已知空间向量，若，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方体中，直线与平面所成的角为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.如图，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有    A. 直线AM与是相交直线 B. 直线BN与是异面直线 C. AM与BN平行 D. 直线与BN共面 7.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是              A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，          . 9.如图，在中，，， P 为 CD 上一点，且满足，若，，则的值为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知复数是一元二次方程的根. 求的值； 若复数其中为纯虚数，求复数的模. 11.本小题12分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，， 求c的值； 求的值； 求的值． 12.本小题12分 如图，在四棱锥，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，，   设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；   求证：平面PCD；   求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 13.本小题12分 如图所示，在中，AD是边BC边上中线，E为AD中点，过点E点直线交边AB，AC于M，N两点，设，，与点B，C不重合 证明：为定值； 求的最小值，并求此时的，的值. 第10页，共13页 第5页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（11） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，若，则m的值为    A. B. C. 2 D. 4 2.古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面ABCD，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为(    ) A. B. C. D. 41 3.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是    A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4.已知向量，，则“”是“”的    A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为    A. B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.的重心为点G，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则(    ) A. O，P，G三点共线 B. C. D. 点P在的内部 7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则  A. B. 满足条件的有两个 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 的最大值为6 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.在中，，，AC的中垂线交BC于点M，则的面积的最大值是          . 9.所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 如图，在三棱台中，，D， E分别为AB，AC的中点． 求证：平面 若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积． 11.本小题12分 记锐角中，内角 所对的边分别为，且 求的值； 若，且，求的面积． 12.本小题12分 如图，在四棱锥，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，，   设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；   求证：平面PCD；   求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 13.本小题12分 已知函数 求的最小正周期及对称轴、对称中心； 求单调递增区间； 若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业综合卷（16） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若向量，，且，则  A. B. C. D. 2.下列命题中正确的是(    ) A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行 B. 平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则 C. ，，则 D. ，，，则 3.已知的面积为1，D为所在平面内一点，且，则的面积为(    ) A. B. C. D. 4.在中，若满足，则A等于    A. B. C. D. 5.已知非零向量，，那么“、的夹角为钝角”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.棱长为a的正四面体，下列说法错误的是    A. 正四面体的体积是 B. 正四面体外接球半径是 C. 正四面体内切球是 D. 正四面体表面积是 8.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且则的最大值为      A. 6 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若复数z满足，则    A. B. z的虚部为 C. D. 10.某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示， 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有(    ) A. 众数是32 B. 众数是5 C. 极差是17 D. 分位数是30 11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，设圆柱、圆锥、球的表面积分别为，，，体积分别为，，，下列结论正确的是    A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是          . 13.已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为          . 14.“大美中国古建筑名塔”文峰塔以石为基，用青砖白砂灰砌筑建成．如图，测量河对岸的文峰塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角，则塔高AB为           四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知复数 求z： 设在复平面内对应的点分别为，求向量在向量上的投影向量的坐标为坐标原点 16.本小题15分 如图，在正方体中，M为的中点. 求三棱锥的体积； 求证：平面AMC； 若N为的中点，求证：平面平面 17.本小题15分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 Ⅰ求； Ⅱ若， ⅰ求的值； ⅱ求的面积. 18.本小题17分 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.   求圆柱的底面半 径； 求三棱柱的体积. 19.本小题17分 在锐角中，角所对的边分别为，且 求角C的大小； 若，且的面积为，求的周长. 2 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（5） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，满足，，则(    ) A. B. C. 0 D. 1 2.已知平面向量，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 3.已知在中，，点D满足，且，则面积的最大值为  A. B. C. 2 D. 4.在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若且，则的取值范围是    A. B. C. D. 5.如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最小值是    A. 0 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.在中，，，，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则 A. B. C. D. 7.已知向量，，则下列说法正确的是    A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积为           9.如图，在中，，， P 为 CD 上一点，且满足，若，，则的值为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 求B； 若，求 11.本小题12分在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且 求角 若，求面积的最大值. 12.本小题12分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 求角 若，，AD是中线，求AD的长. 13.本小题12分在锐角中，角A，B，C的对边为，若， 求角C的大小； 若E为AB的中点，且，求的面积S； 如图，过A点在所在平面内作，且满足求线段的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业参考答案（1） 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7. 8.   9.   10. 解：如图，在正三棱柱中， 设，的中点分别为，， 则，，， 故以为基底，建立空间直角坐标系， ， ，，， ，，． 点为的中点． ，，． ．异面直线与所成角的余弦值为； 为的中点．，， 设平面的一个法向量为， 由，可取，设直线与平面所成角的正弦值为， ，直线与平面所成角的正弦值为．  11. 解：平面，，，且，， 所以四棱锥的体积； 分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系， 如图： 由，，可得：，，，，， 由知平面，平面，，， ，，平面， 所以平面，为平面的一个法向量，且； 设为平面的一个法向量，则，， ，，，， 令，则，，， 设平面与平面所成的二面角为，， 平面与平面所成二面角的余弦值为．   12. 解：在正四棱柱中，以点为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，所以， 则． 由题意得， 则，异面直线与所成角的余弦值为； 由题意知，设平面的法向量为， 则，解得，， 直线与平面所成角的正弦值为； 在正四棱柱中，， 平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为， ，平面与平面所成角的余弦值为， 则，平面与平面所成角的正弦值为．  13. 解：设，，，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 连接，则，，，，，，得， 因此，即，，，四点共面， 所以点在平面内． 由已知得，，，，，，，． 设为平面的法向量，则 即，可取． 设为平面的法向量，则，同理可取． 因为，所以二面角的正弦值为．   高一数学暑假作业参考答案（2） 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10. 解：设底面圆的直径为， 由题可知，圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为； 因为为正三角形，底面圆的半径为， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积．  11. 解：连接，设与交点为，连接， 四边形为正方形，是的中点，是的中点，． 又平面，平面，平面 ，是异面直线与所成的角， 直三棱锥各棱长均为，，． ，，，， 中，由余弦定理得， ，异面直线与所成角的正弦值是 12. 解：证明：如图，连，由四边形为菱形， 为的中点，为的中点，所以为的中点，所以， 因为平面，不在平面上，所以平面； 因为平面，平面，所以， 在菱形中，，为菱形的对角线，所以，又因为，，平面， 所以平面．  13. 证明：矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，， 平面，平面与半圆弧所在平面相交于， 半圆弦所在平面，半圆弦所在平面，， 是上异于，的点．，又，、平面，平面， 又平面，平面平面； 解：存在是的中点，理由：连接交于，取的中点， 连接，在矩形中易得是的中点， 可得，平面，平面，所以平面．   14. 证明：Ⅰ连结，，是的中点，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面，又平面，， ，，， ，E、平面，平面， 又平面，； 解：Ⅱ取中点，连结、，则是平行四边形， 由于平面，故A，平行四边形是矩形， 由Ⅰ得平面，则平面平面， 在平面上的射影在直线上， 连结，交于，则是直线与平面所成角或其补角， 不妨设，则在中，，， 是的中点，故E， ，直线与平面所成角的余弦值为．  高一数学暑假作业参考答案（3） 1.   2.   3.   4.  5.   6.   7.  8.  9.   10. 解：证明：由题意，直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，，，， 所以，，因为，所以； 因为，， 所以，所以，， 于是点到直线的距离：．  11. 解：证明：如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，所以，，， 因为，所以，所以， 所以，，所以，，即，， 又因为，平面，所以平面； 证明：由可得，则， ，，设平面的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以，因为平面，所以平面．   12. 解：如图所示，取中点为，连接，，则． 又，所以四边形为平行四边形．又， 所以四边形为菱形，所以．同理可得，四边形为菱形，所以， 所以．因为底面，底面，所以， 又，平面，所以平面． 因为平面，所以． 13. 由知，又，所以， 所以三角形为正三角形．过点作垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，．则，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以．设直线与平面所成的角为， 则，所以直线与平面所成的角的正弦值为．  13. 解：取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面，所以平面． 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取，故， 故平面与平面夹角的余弦值为． 高一数学暑假作业参考答案（4） 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.  8. ：  9.   10. 解：证明：过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面． 证明：取上一点，使得，即点为上靠近点的三等分点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由知平面，且，平面， 所以平面平面，即当点为上靠近点的三等分点时，能使得平面平面．   11. 解：正方体中，为的中点， 底面，故三棱锥的体积 ； 证明：如图，连接交于点， 是的中点，是的中点，， 平面，平面，平面；证明：是的中点，是的中点， 四边形为平行四边形，，平面，平面， 平面，由知平面，，平面平面．  12. 解：在直三棱柱中，， 又，，，平面， 平面，， 平面，又平面，， 又，故，， 而侧面为正方形，， ，即三棱锥的体积为； 证明：如图，取中点，连接，，设， 点是的中点，点时的中点，，，、、、四点共面， 由可得平面，平面，又平面， ，，且这两个角都是锐角， ，， ，又，，平面， 平面，又平面，．  13. 证明：点在底面的射影恰好是边的中点， 即平面，连接，而平面，， 又底面是边长为的等边三角形，则， 而，，平面，平面， 连接，则四边形为平行四边形，，平面． 解：在正中，，，由知， ，，，，则， 过点作于，连接， ，则为二面角的平面角． 在等腰中，如图，为底边的中线， ，，， ，，，故二面角的余弦值为．  高一数学暑假作业参考答案（5） 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】D  6.【答案】BCD 7.【答案】AB  8.【答案】 9.【答案】3  10.【答案】解：在中，由余弦定理及， 得，因为，所以 由正弦定理及，得， 即，所以， 整理得，，因为，所以，所以， 所以  11.【答案】解：由等面积可得：， 整理得，故； ，由余弦定理可得：， 当时等号成立;  即，所以面积的最大值为  12.【答案】解：因为，由正弦定理可知：， ， ， 又A为三角形内角，所以 由，得，又，在中由余弦定理得： ，所以   13.【答案】解：因为， 由正弦定理可得， 即，因为，所以， ，因为，所以 由得  ①， 因为E为AB的中点，所以， 则， 化简得   ②，由①②解得，所以设，当DC与外接圆相切时，可得，则 则，，在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为  高一数学暑假作业参考答案（6） 1.【答案】C  2.【答案】B  3.【答案】C  4.【答案】A  5.【答案】B  6.【答案】AB  7.【答案】BCD  8.【答案】30  9.【答案】  10.【答案】解：，由正弦定理得：， ，，又A为锐角， 由三角形面积公式得：， 由余弦定理得：，  11.【答案】解：， ，又， 由正弦定理可知结合得 ，而， 由得 则的周长为  12.【答案】解：由  得，  ， 所以  ， 又  ，所以  ，所以  ，因为  ，所以  ； 由  外接圆的半径为  ，则得  ， 由余弦定理得，  ，即  ， 所以  ，解得  ，当且仅当时取等号， 所以  ，故  面积的最大值为  . 13.【答案】解：由，得， 即， 所以 因为当时，，， 所以 ， 令，则 由，得， 所以，因为，所以， 所以的值域为  高一数学暑假作业参考答案（7） 1.【答案】D  2.【答案】D  3.【答案】D  4.【答案】D  5.【答案】B  6.【答案】BC  7.【答案】ACD  8.【答案】 或  9.【答案】  10.【答案】解： ； 因为向量与互相垂直，所以， 即，整理可得k²，解得  11.【答案】解：由正弦定理和得， ， 因为，所以， 所以，即，因为，所以或 因为三角形ABC为锐角三角形，所以，由余弦定理得，， 因为，，所以，所以，， 所以三角形ABC的面积为  12.【答案】解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得， 又，， 即， ，又， Ⅱ在中，，，， 由余弦定理得，由，得， ，，，，   13.【答案】解：证明： Ⅰ由题意， 从而，故 即，即 由于A，B为三角形内角，故或舍 从而，而 由于为非钝角三角形，故 故 即a的取值范围是 Ⅱ由Ⅰ，当时，C取最小值，即，所以 当时，，由题意，存在使得， 解得，故，解得，又，故k可取1或2， 当时， 当时，综上，的取值范围是  高一数学暑假作业参考答案（8） 1.【答案】C  2.【答案】B  3.【答案】C  4.【答案】C  5.【答案】A  6.【答案】AC  7.【答案】BC  8.【答案】5  9.【答案】  10.【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 又， 则， 由正弦定理得：，， ， ，，由正弦定理得， ，即， 即，即，， ，，，   11.【答案】解：Ⅰ由余弦定理以及，，， 则，，； Ⅱ由正弦定理，以及，，， 可得； Ⅲ由，及，可得， 则，，   12.【答案】解：Ⅰ在三角形ABC中，由正弦定理得，所以， 又由，得，即，又因为，得，，由余弦定理可得； Ⅱ由Ⅰ得，从而， ，故   13.【答案】解：由题意可得 易知， 因为为锐角，所以，所以. 所以 所以 在中，，因为，所以， 所以，即，因为AD是的中线，所以， 所以， 因为，所以① 又因为，所以② ①-②，得，即 因为，所以， 所以的面积 不等式，即为 因为，所以，所以， 所以不等式等价于 令，则，所以不等式等价于 因为，所以， 当且仅当，即或时取“=”，所以  高一数学暑假作业参考答案（9） 1.【答案】D  2.【答案】C  3.【答案】A  4.【答案】B  5.【答案】B  6.【答案】AD  7.【答案】ACD  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】解：因为，则，且， 由正弦定理得为外接圆的半径，即， 即，，因为，所以， 因此，；因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以 11.【答案】解：由题意可知，   ， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 函数的对称中心为； 解不等式，解得， 因此，函数的单调递减区间为； 当时，， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为 12.【答案】解：向量，， 因为，所以，由正弦定理，得， ，，，， ，A为的内角，所以； 由余弦定理，得，已知 ，， ，， 因为， ，则 ； ，，，， ，，，，当且仅当时，等号成立，的最大值为  13.【答案】解：由，由正弦定理可得， 因为，则， 可得，即， 又因为，则，可得，即， 且，所以； 在锐角中，由得，则， 可得，解得， 可得 ，由，得， 则，即， 所以的取值范围为； 由知，当取得最大值时，，即， 且，可知为等边三角形， 在中，令， 由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， 则， 所以， 所以 ， 且，故当时等号成立，所以面积的最大值为 高一数学暑假作业参考答案（10） 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】A  6.【答案】ACD 7.【答案】ACD 8.【答案】 9.【答案】  ；      10.【答案】解：，，则； 因为， 若，则，解得， 所以实数x的值为； 因为，若，则，解得， 可得，，则， 且，所以向量与的夹角   11.【答案】解：因为是锐角，且在单位圆上， 所以， 则 ； 因为，所以， 又，所以， 可得，且， 所以   12.【答案】解：证明：因底面ABCD是矩形，则， 又侧面底面ABCD，侧面底面，底面ABCD， 则平面PAD，因为平面PAD，所以； 证明：取PD中点为G，连接FG，GA，因F是PC的中点， 则，又E是AB的中点，， 则，从而四边形EFGA是平行四边形， 则，又平面PAD，平面PAD，则平面PAD； 证明：因，又G为PD中点，则， 由可得平面PAD，又平面PAD，则， 又平面PCD，，则平面PCD， 由可得，则平面   13.【答案】解：取CD的中点M，连接， 因为，所以， 因此是二面角的平面角，又， 故， 由余弦定理得， 又，所以，所以二面角的大小为； 依题意，直线平面EFG，而平面EFG，则， 由，得，由为正三角形，得，则， 又为正三角形，即，因此； 由知，平面AMB，而平面BCD， 则平面平面BCD， 在平面AMB内过点A作于H，又平面平面， 于是平面BCD，， 则点E到平面BCD距离， 由知的面积，， ，显然， 则，，在中，， ，的面积， 设点C到平面DEF的距离为h，由，得， 因此，所以点C到平面DEF的距离为 高一数学暑假作业参考答案（11） 1.【答案】D  2.【答案】B  3.【答案】D  4.【答案】C  5.【答案】B  6.【答案】AC  7.【答案】ACD  8.【答案】12  9.【答案】  10.【答案】解：由题意， ， E 分别为 AB ， AC 的中点，  ，又  平面  ，  平面  ，  平面  ， ， D 为 AB 的中点，  ，  ，  ， 四边形  为平行四边形，  ，又  平面  ，  平面  ，  平面  ，又   平面  平面        平面  ，  平面  . 由题意及得，设  的面积为 S ， 则由几何知识知  的面积为 4S ，  的面积为 S ， 设三棱台  的高为 h ，则  ，   .   11.【答案】解：由条件及正弦定理得 而，所以， 因此，由于，则，得因为是锐角三角形，所以均存在， 所以， 故； 由可知，，则，且， 故，利用正弦定理得，解出， ，故， 因此的面积   12.【答案】证明：如图： 证明：连接BD，由题意得，，又由，得， 平面PAD，平面PAD，平面PAD； 证明：取棱PC中点N，连接DN，依题意得， 又平面平面PCD，平面平面，平面PCD， 平面PAC， 又平面PAC，，又，， 平面PCD，平面PCD，平面PCD； 解：连接AN，由中平面PAC，知是直线AD与平面PAC所成角， 是等边三角形，，且N为PC中点，， 又平面PAC，，， 在中，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为  13.【答案】解：因为 ， 即，所以的最小正周期， 令，解得，故对称轴为； 令，解得，故对称中心为； 令， 解得，所以单调递增区间为； 当时，，所以， 则在上的值域为， 因为不等式恒成立，所以，即实数m的取值范围为   高一数学暑假作业参考答案（12） 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A  6.【答案】BD 7.【答案】CD 8.【答案】 9.【答案】3  10.【答案】解：因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得； 因为复数为纯虚数， 所以且，即， 所以复数，故  11.【答案】解因为，，， 由余弦定理可得，解得：； ，，所以， 由，可得，由正弦定理可得，即， 可得，所以； 因为，， 所以，， ，可得， 所以， 所以的值为  12.【答案】证明：如图： 证明：连接BD，由题意得，， 又由，得， 平面PAD，平面PAD， 平面PAD； 证明：取棱PC中点N，连接DN， 依题意得， 又平面平面PCD，平面平面，平面PCD， 平面PAC，又平面PAC，， 又，，平面PCD，平面PCD， 平面PCD； 解：连接AN，由中平面PAC，知是直线AD与平面PAC所成角， 是等边三角形，，且N为PC中点，， 又平面PAC，，， 在中，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为  13.【答案】解：因为AD是边BC边上中线，，所以， 又E是AD的中点，，所以， 因为三点共线，所以且，所以，即为定值； 由，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值  高一数学暑假作业参考答案（13） 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】B  6.【答案】AD 7.【答案】ABD 8.【答案】 9.【答案】  10.【答案】解：证明：取AB的中点H，连接为BC的中点，且， 为的中点，且 且，四边形为平行四边形， 又平面平面平面 ， 平面点E到面ABC的距离等于点到面ABC的距离， ， 又平面   11.【答案】解：如图所示，设，可得且， 因为点D、E三等分线段BC，可得， ，则 ； 以线段BC所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为是边长为3的等边三角形，可得，， 又因为F在线段BC上，设，其中， 则， 所以， 当且仅当时，取得最小值，最小值为， 故F在线段BC的四等分点时，即，取得最小值，最小值为 12.【答案】解：由，由正弦定理得，， 则，所以， 所以，因为，所以，所以， 又，所以； 因为是锐角三角形，且由知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以，又，则， 所以，则， 所以的取值范围为  13.【答案】解：函数， 所以函数的“相关向量”为，则， 即所求模长为1； ①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， 即，当且仅当时取等号，所以， 所以周长的最大值为； ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令则 所以的取值范围为  高一数学暑假作业参考答案（14） 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】B  6.【答案】AD 7.【答案】BCD 8.【答案】 9.【答案】  10.【答案】解：因为，则，且， 由正弦定理得为外接圆的半径，即， 即，，因为，所以，因此，； 因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以  11.【答案】解：由题意可知，   ， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 函数的对称中心为； 解不等式，解得， 因此，函数的单调递减区间为； 当时，， 当时，即当时，函数取得最小值，最小值为   12.【答案】解： ， 由于直线  是函数  的一条对称轴，  ，  ，  ，又  ，  ，  ，从而  ，  .   ，由题意可得  ， 则  ，  ，  ， 又  ，  ，  ，     .   13.【答案】解：向量，，因为，所以，由正弦定理，得， ，，，， ，A为的内角，所以； 由余弦定理，得，已知 ，， ，， 因为， ， 则 ；， ，，， ，， ，，当且仅当时，等号成立，的最大值为  高一数学暑假作业参考答案（15） 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】B  6.【答案】BD 7.【答案】BC 8.【答案】662 ；276；656；502 9.【答案】  10.【答案】解：在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是，则； 由表知，少年一共有350名，由得青年有500名，所以中老年一共有150名观众， 从1000名观众中抽100名观众的抽样比为，故中老年应抽取名观众． 11.【答案】解：由和正弦定理，可得， 化简得， 即，因，则，即， 因，故， 又由且， 可得； 由正弦定理，， 可得，，则， 因，将其代入， 可得， 因，则，故， 则的取值范围是 12.【答案】解：因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得，即实数m的取值范围是； 由题可知，， 则点，，故，， 因此 13.【答案】解：证明： 如图，在四棱锥中，设E为PD的中点，连接EF，CE， 由分别为PD，PA的中点，得，， 因为O为AD的中点，所以，， 因为四边形OBCD为菱形，所以，， 所以，，故四边形BCEF为平行四边形， 所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD； 因为，所以， 因为，平面ABP，平面ABP，， 所以平面 连接OF，由分别为AD，PA的中点，得，， 所以平面ABP，所以直线OB与平面ABP所成的角为， 由平面ABP，得，因为四边形OBCD为菱形，所以， 在中，，所以直线OB与平面ABP所成角为 高一数学暑假作业参考答案（16） 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】C  7.【答案】A 8.【答案】D 9.【答案】AD 10.【答案】ACD 11.【答案】ABC  12.【答案】3：4 13.【答案】 14.【答案】  15.【答案】解：； 由可得，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为   16.【答案】解：正方体中，M为的中点， 底面ABC，故三棱锥的体积 ； 证明：如图，连接BD交AC于点O， 是DB的中点，M是的中点，， 平面AMC，平面AMC，平面AMC； 证明：是的中点，M是的中点，四边形为平行四边形，，平面AMC，平面AMC，平面AMC，由知平面AMC，，平面平面  17.【答案】解：Ⅰ由得，， 由余弦定理得，，且， ； Ⅱⅰ由正弦定理知，，， 又，，，； ⅱ由，即，解得舍去负根， 的面积  18.【答案】解：设底面圆的直径为2r，由题可知，圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1；因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长，所以三棱柱的体积   19.【答案】解：由，利用正弦定理得， 因为，所以又因为C为锐角，所以 由，所以， 又，即， 则，即又，所以 所以的周长为   高一数学暑假作业参考答案（17） 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】B  7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】AC 10.【答案】ABC 11.【答案】ABC  12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】  15.【答案】解： ，即的结果为 令且，则， 所以，则，可得， 所以，则 16.【答案】解：因为，， 所以 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以 因为向量与平行，所以， 由平面向量基本定理可得，解得或，所以的值为 17.【答案】解：证明：过点N作，交PD于点E，连接AE， 因为N为PC的三等分点，可得， 又因为M为AB的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形AMNE为平行四边形，所以， 又由平面PAD，平面PAD，所以平面 证明：取PB上一点Q，使得，即点Q为PB上靠近点B的三等分点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD； 又由知平面PAD，且，平面MNQ， 所以平面平面PAD， 即当点Q为PB上靠近点B的三等分点时，能使得平面平面   18.【答案】解：由题意可知：的面积，可得， 所以周期，则， 由，得，又，于是  所以； 由，则，得 即由，得  即在上恒成立， 亦即，因为， 所以，解得，即实数k的取值范围是   19. 【答案】Ⅰ证明：在中， ，P为AD的中点，， 平面平面ABCD，且平面平面，平面SAD， 平面ABCD， 又平面ABCD，； Ⅱ解：在直角梯形ABCD中，，，P为AD中点， ，且，则四边形BCDP为平行四边形， ，，由Ⅰ可知，平面ABCD， 所以可得SP，PA，PB两两垂直，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面SCD的一个法向量， 由，取，得； 设直线BS与平面SCD所成角为， 则 直线BS与平面SCD所成角的正弦值为； Ⅲ解：，，，SP，平面SBP， 平面SBP，即为平面SPB的一个法向量，为SC的中点， 点M的坐标为，而，， 设平面MPB的一个法向量为， 由，取，得 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为  高一数学暑假作业参考答案（18） 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】C  7.【答案】A 8.【答案】A 9.【答案】BCD 10.【答案】ABD 11.【答案】BD  12.【答案】 13.【答案】 14.【答案】  15.【答案】解：Ⅰ由得，， 由余弦定理得，，且， ； Ⅱⅰ由正弦定理知，，， 又，， ，； ⅱ由，即， 解得舍去负根， 的面积  16.【答案】证明：，F分别是AC，的中点． 所以，因为平面，平面， 所以平面； 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面  17.【答案】解：， ， ，， ，可得：，，   18.【答案】解：如图，由题意得，则， 这个几何体的结构特征是一个上底半径为2，下底半径为4，高为2的圆台内挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥； 该几何体的体积为 由题意得，则该几何体的表面积为  19.【答案】解：由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 又因为乙样本中数据在内有10个，所以，解得， 由乙样本数据直方图可知，，解得； 甲样本数据的平均值估计值为， 因为， ， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x， 则，解得，即乙样本数据的中位数为82； 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为，由样本估计总体得人，故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（1） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在四面体中，，，点在上，且满足，为的中点，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 3.设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.如图，在正方体中，为线段中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则 的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 5.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是(    ) A. 点可以是棱的中点 B. 线段的最大值为 C. 点的轨迹是正方形 D. 点轨迹的长度为 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则(    ) A. 平面 B. 四棱锥的外接球的表面积为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 7.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是(    ) A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.在四棱锥中，底面是平行四边形，点满足，点满足，若，，，四点共面，则          ． 9.在棱长为的正方体中，是线段的中点，是线段的中点，则直线到平面的距离为           四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点． 求异面直线与所成角的余弦值； 求直线与平面所成角的正弦值． 11.本小题分 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． 求四棱锥的体积 求平面与平面的夹角的余弦值． 12.本小题分 如图，在正四棱柱中，，，点是的中点． 求异面直线与所成角的余弦值 求直线与平面所成角的正弦值 求平面与平面所成角的正弦值． 13.本小题分 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，． 证明：点在平面内； 若，，，求二面角的正弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（9） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于  A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，下列条件中能使唯一确定的是    A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.一个扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为(    ) A. B. C. D. 4.计算的值为    A. 1 B. C. D. 5.已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3海里，乙船位于灯塔A的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔A之间的距离为     A. B. 2 C. D. 5 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是    A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 7.如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是(    ) A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点E爬行到点S，所经过的最短路程为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则此三棱台的体积是          . 9.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知的内角所对边的长度分别为 若，求A和外接圆半径R的值； 若，求的值． 11.本小题12分 已知函数 求的最小正周期和对称中心； 求的单调递减区间； 当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值． 12.本小题12分 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且 求角A； 若，，求的面积； 若，求的最大值． 13.本小题12分 在锐角中，是角的对边，若满足 求角B的大小； 求取值范围； 当取得最大值时，在所在平面内取一点与B在AC两侧，使得线段，求面积的最大值． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（2） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为     ． A. B. C. D. 2.设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是(    ) A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且 与相交与相交 3.十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 5.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点不含端点设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.如图，正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则(    ) A. 不存在 ，使得平面 B. 直线 与直线 异面 C. 不存在 ，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 7.如图，正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是(    ) A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为          ． 9.如图，在四面体中，，，，分别为，的中点，，则异面直线与所成的角是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．  求圆柱的底面半径； 求三棱柱的体积． 11.如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，是的中点． 求证：平面； 求异面直线与所成角的正弦值． 12.如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． 证明：平面； 证明：平面． 13.如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． 证明：平面平面； 在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 14.如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．  Ⅰ证明：； Ⅱ求直线与平面所成角的余弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（6） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 2.已知非零向量满足，且，则与的夹角为    A. B. C. D. 3.已知点，，则在上的投影向量为    A. B. C. D. 4.在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，，则的最小值为    A. B. C. D. 5.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，且，则的最大值为    A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知向量，，则下列说法正确的是    A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则下列说法正确的是 A. B. C. 有最大值 D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.在四边形ABCD中，已知，，，则四边形ABCD的面积是________. 9.已知向量，当时，求的值为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且 求 若，的面积为，求a的值. 11.本小题12分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求A； 若，，求周长． 12.本小题12分 在中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 求角 A ； 若外接圆的半径为，求面积的最大值. 13.本小题12分 已知向量， 若，求 若，函数，求的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（10） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是    A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 2.已知在边长为3的等边中，点E满足，则     A. 2 B. C. 1 D. 3.已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 1 4.已知，则    A. B. 3 C. D. 5.如图，边长为2的两个等边三角形，若点A到平面BCD的距离为，则二面角的大小为     A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是     A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若面积为S，若，则 D. 若则 7.已知都是复数，下列选项中正确的是     A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.若复数z满足，其中是虚数单位，则z的虚部为          . 9.如图，四边形ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为          ，四棱锥的体积的最大值为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 已知向量，， 求； 若，求实数x的值； 若，求向量与的夹角 11.本小题12分 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点 若点，求的值； 若，求 12.本小题12分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧面底面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点． 求证：； 求证：平面PAD； 若，求证：平面PCD； 13.本小题12分 在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F， 求二面角的大小； 求线段FG的长度； 求点C到平面DEF的距离． 第10页，共11页 第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（8） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则    A. 4 B. C. 2 D. 2.在中，，，其面积为，则(    ) A. B. C. D. 3.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则(    ) A. B. C. D. 4.锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.在ABC中，，，，点M满足，则(    ) A. 0 B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点含边界，且，，则下列正确的是(    ) A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 7.已知向量，，则    A. 若，则 B. 的最小值为 C. 可能成立 D. 的最大值为3 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.已知向量，若，则代数式的值是          . 9.已知平行四边形ABCD中，，，若点M满足，点N为AB中点，则          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，设 求A； 若，求 11.本小题12分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，， 求角C的大小; 求的值; 求的值. 12.本小题12分 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知， 求的值； 求的值． 13.本小题12分 已知函数 若为锐角，，求的值; 在中，若，，D是BC的中点，且，求的面积; 若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（15） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，下列说法正确的是    A. 总体是50000 B. 个体是每一户居民 C. 样本是500户居民 D. 样本容量是500 2.已知正四棱锥的体积为，其底面的斜二测直观图面积为4，则此正四棱锥的高为     A. B. C. D. 3.已知单位向量，，，，且，则与的夹角为     A. B. C. D. 4.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足，在上的投影向量模长为，则     A. B. C. D. 5.如图，在正四面体中，E为BD的中点，，，当时，四点共面，则     A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有     A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面 7.已知，都是复数，则下列选项中正确的是     A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是          下面抽取了随机数表第1行至第3行 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 9.在中，G为的重心，且，，则          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是 少年小于18岁 青年大于等于18，小于45岁 中老年大于等于45岁 女性 150 150 n 男性 200 m r 求m的值； 现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？ 11.本小题12分 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，， 求角A和边a； 求的取值范围． 12.本小题12分 已知复数 若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； 若，在复平面为坐标原点内对应的点分别为B，求向量在向量上的投影向量的坐标． 13.本小题12分 如图，在四棱锥中，，，设F，O分别为PA，AD的中点，四边形OBCD为菱形． 证明：平面PCD； 若，求直线OB与平面ABP所成角的大小． 第10页，共10页 第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业（13） 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知不重合的直线和平面，下列命题中真命题是    A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 2.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则     A. B. C. D. 3.“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是     A. B. C. D. 4.在中，，点D在线段AC上，且，则面积最大值为     A. B. C. D. 5.如图，在棱长为6正方体中，点P为棱AB的中点，点Q为棱的中点，点M为棱上靠近点C的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为     A. 五边形， B. 六边形， C. 五边形， D. 六边形， 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知向量，     A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 7.已知复数，则下列说法中不正确的是     A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 是的充分不必要条件 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 8.三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为          . 9.已知向量的模长分别为，且，则的最大值为          . 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题12分 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点． 证明：平面ABE； 求三棱锥的体积． 11.本小题12分 设是边长为3的正三角形，点D、E三等分线段如图所示 求的值； 在线段BC的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 12.本小题12分 在中，角的对边分别为，已知 求角B； 若是锐角三角形，求的取值范围. 13.本小题12分 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为 求函数的“相关向量”的模长； 在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知 ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学暑假作业综合卷（17） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，则实数    A. 2 B. 1 C. 0 D. 2.某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为    A. B. 75 C. D. 3.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根水平长尺称为“圭”和一根直立于圭面的标杆称为“表”如图，利用圭表测得南京市在夏至日的早上和中午的太阳高度角约为和设表高AC为1米，则影差BD约为参考数据： A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.已知，则    A. B. C. D. 5.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则  A. B. C. D. 6.如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为    A. B. C. D. 7.已知函数，则下列结论不正确的是  A. B. 的定义域是 C. 是的一个周期 D. 的图象关于点对称 8.如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为8cm，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是  A. 640元 B. 512元 C. 390元 D. 元 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的是(    ) A. 在中，，，，则的面积为 B. 已知向量，，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量，，与的夹角为钝角，则x的取值范围是 10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是    A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上为增函数 D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 11.已知的半径为2，为其内接三角形，则下列结论中正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则周长的最大值为 C. 若，则 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.          . 13.如图，底面是平行四边形的四棱锥中，，，且，若平面AEC，则          . 14.已知在三棱锥中，，，，平面PBC，则三棱锥的外接球的表面积是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 计算：； 已知是虚数单位，表示z的共轭复数，复数z满足求的值． 16.本小题15分 已知，，且与的夹角为 求的值； 求的值； 若向量与平行，求实数的值． 17.本小题15分 如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是的三等分点靠近B，N靠近； 求证：平面 在PB上确定一点Q，使平面平面 18.本小题17分 函数的部分图象如图所示，该图象与y轴交于点，与x轴交于点为最高点，的面积为 求函数的解析式； 若对任意的，都有，求实数k的取值范围． 19.本小题17分 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面平面ABCD，P为AD的中点，，， Ⅰ求证：； Ⅱ求直线BS与平面SCD所成角的正弦值； Ⅲ设M为SC的中点，求二面角的余弦值． 第16页，共16页 第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$