精品解析：河南省周口市商水县2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题

高二年级下学期期末教学质量监测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 【答案】A 【解析】 【分析】比较相关系数绝对值的大小，即可得结论. 【详解】由题设，则线性相关程度最强的是组. 故选：A 2. 已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项公式结合及对应的范围求参数即可. 【详解】若，则，显然， 若，则，满足. 故选：B 3. 已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（ ） 参考数据：，，． A. 34.135% B. 15.73% C. 13.59% D. 4.28% 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊区间的概率及正态分布的对称性估计该班数学成绩良好的学生比例即可. 【详解】由题设 . 故选：C 4. 已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，根据题意可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数， 所以， 即，因为，解得. 故选：D. 5. 为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（ ） A. 1200种 B. 1800种 C. 2400种 D. 3600种 【答案】C 【解析】 【分析】应用分步计数及排列数求不同的人员安排方案数. 【详解】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工，则有种， 再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染，则有种， 所以共有种. 故选：C 6. 某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全概率公式进行计算. 【详解】设事件表示“抽取人购买了纪念品”，事件表示“抽取人来自上午场”，事件表示“抽取人来自下午场”. 已知上午场人数占比为60%，即,则下午场人数占比为. 上午场每人购买纪念品概率为，即;下午场每人购买纪念品概率为，即. 根据全概率公式：， 代入上述概率值得：. 故选：A. 7. 已知圆C：，若圆心在圆O：上且半径为1的圆与圆C相交于M，N两点，则最大时，=（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知判断圆与圆C可能位置情况，数形结合判断最大对应长度，在应用几何法求即可. 【详解】由题设，则，故， 由圆半径为1，易知圆与圆C可能内切、相交、外切，三种情况， 要使最大，只需弦最长，如下图， 最长是圆的直径，即时，最大，此时. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、的夹角为，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用已知条件和双曲线的定义求出、，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设、的夹角为，则，解得， 因为，由双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 即，可得，故. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为2 B. 的系数为64 C. 各项系数之和为5 D. 展开式中不存在项 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用二项式定理写出的展开式通项，结合乘积形式判断A、C、D；应用赋值法判断C. 【详解】对于，展开式通项为，， 当，则，故原式的常数项为2，A对； 当，则，故的系数为，B错； 令，各项系数之和为，C对； 当，则，当，则， 所以项的系数为，D对. 故选：ACD 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D. 被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率，过点的直线l与C交于A，B两点，且的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. C的方程为 B. 若，则是直角三角形 C. 使得为直角三角形的l共有4条 D. 若，则l的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义求得，由离心率及椭圆参数关系得，即可得方程判断A；根据已知及椭圆的定义得，结合，应用勾股逆定理判断B；根据B分析及椭圆对称性，结合与上下顶点重合的情况即可判断C；令且，，联立椭圆并应用韦达定理和已知条件列方程求参数，即可判断D. 【详解】由题设，，即， 由，可得，故，则，A错； 由且，可得，又， 显然，即是直角三角形，B对； 由B的结论，结合椭圆的对称性知类似结论的直角有4个，对应的直线有3条， 又与上下顶点重合时，为等边三角形，则， 所以的最大值为，故不可能是以为直角顶点的直角三角形， 综上，使得为直角三角形的l共有3条，C错； 令且，由，即， 由上，可设，代入，整理得， 所以，，即，， 所以，可得，则， 所以直线l的斜率为，D对. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 【答案】## 【解析】 【分析】由题设，应用独立重复试验的概率求法求概率即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知函数在处取得极值0，则b=______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有、列方程求参数值，注意验证即可. 【详解】由题设，则，且， 所以代入，得，则， 所以或， 当，则，有恒成立，显然是拐点，不是极值点，不符合； 当，则，有， 所以或时，时，易知是一个极值点，符合； 综上，. 故答案为： 14. 如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，得，，且，，由已知及向量数量积的坐标运算得，结合向量模长的坐标运算得，且，即可求最值. 【详解】设为下底面中心，构建如下图示的空间直角坐标系， 结合题设知，，且，， 所以，，故， 所以，可得， 而，则， 又，故时，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点． （1）若准线l的方程为，求C的方程； （2）设直线AM，AN的斜率分别为，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：由题设知，，若，， 联立，可得，则，， 由 ，得证. 【解析】 【分析】（1）由抛物线准线得，即可得抛物线方程； （2）由题意，设，，联立抛物线并应用韦达定理及斜率的两点式求，即可证. 【小问1详解】 由抛物线的准线为，则，故抛物线； 【小问2详解】 略 16. 随着全民健身热潮的兴起，各地积极举办各类体育活动．某市为了解居民参与体育运动的次数与性别是否有关，随机抽取了200名居民进行调查，其中男性、女性居民各100人．在男性居民中，每周参与体育运动至少3次的有30人；在女性居民中，每周参与体育运动少于3次的有40人． （1）完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析居民每周参与体育运动的次数与性别是否有关； 性别 每周参与体育运动次数 合计 至少3次 少于3次 男 30 女 40 合计 （2）从每周参与体育运动至少3次的居民中，按男女人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人做进一步调研，记抽取的3人中男性的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关； （2）分布列见解析，期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论； （2）根据已知确定随机变量对应的可能值，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，列联表如下， 性别 每周参与体育运动次数 合计 至少3次 少于3次 男 30 70 100 女 60 40 100 合计 90 110 200 所以， 故居民每周参与体育运动的次数与性别有关； 【小问2详解】 由列联表知，抽取的6人中有2男4女， 所以任意抽取3人，男性人数， ，，， 所以分布列如下， 0 1 2 故. 17. 已知数列满足，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，整理即可得通项公式； （3）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，可得，即， 又，故是首项、公比均为的等比数列，得证； 【小问2详解】 由（1），则； 【小问3详解】 由（2）知，故，则， 所以， 所以. 18. 如图（1），在菱形中，，，是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起，落到的位置，此时，如图（2）． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）设为线段上的点，平面与平面的夹角为，若，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、、，如下图所示： 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，故， 因为四边形为菱形，且，故为等边三角形， 因为为的中点，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，因此，. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）利用余弦定理求出的大小，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出菱形的面积以及的长，再利用锥体的体积可求得四棱锥的体积； （3）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，根据空间向量法可得出关于的等式，结合可求得的值，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 且， 因为是以为直角的等腰直角三角形，故，， 由余弦定理可得， 因为，故， 过点在平面内作，垂足为点，如图所示： 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为，。 因此. 【小问3详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 所以，取，可得， 设，其中， 则， ，设平面的一个法向量为， 则， 取，可得， 所以， 整理可得，即， 因为，解得或. 故当时，或. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1） （2） （3）证明： 代入，化简不等式：即，因为，两边除以x，即. 令，求其最小值. 求导：. 因为单调递增，且，所以恒成立；又，故的符号由决定. 当时，，单调递减; 当时，，，单调递增. 故在处取最小值： 所以，即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）计算函数在处的值，求导数，代入得切线斜率，再用点斜式写出切线方程； （2）找到a使得有解，构造函数，分析函数的最小值； （3）化简不等式，构造函数，求导，得出在时恒成立. 【小问1详解】 当时，. 求导： 切线斜率为： 曲线在点处的切线方程为： ，得. 【小问2详解】 导数，要求存在使得，即. 令，则. 当时， ，单调递增. 最小值在处， 故当时，存在使，故a的取值范围为：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末教学质量监测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知A，B，C，D四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. A组 B. B组 C. C组 D. D组 2. 已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（ ） 参考数据：，，． A. 34.135% B. 15.73% C. 13.59% D. 4.28% 4. 已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（ ） A. 1200种 B. 1800种 C. 2400种 D. 3600种 6. 某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C：，若圆心在圆O：上且半径为1的圆与圆C相交于M，N两点，则最大时，=（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为2 B. 的系数为64 C. 各项系数之和为5 D. 展开式中不存在项 10. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，被圆截得的弦长为 B. 恒过点 C. 当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D. 被圆截得的弦长的最小值为 11. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率，过点的直线l与C交于A，B两点，且的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. C的方程为 B. 若，则是直角三角形 C. 使得为直角三角形的l共有4条 D. 若，则l的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某在线教育平台推出一个学习打卡活动，用户每天打卡成功的概率为0.8，且每天打卡结果相互独立．若小明连续参与5天的打卡活动，设他打卡成功的天数为X，则=______．（用数字作答） 13. 已知函数在处取得极值0，则b=______． 14. 如图，正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，E为棱的中点，点F，G分别在棱，BC上（含端点），若，则线段FG长度的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过点F的动直线m与C交于M，N两点． （1）若准线l的方程为，求C的方程； （2）设直线AM，AN的斜率分别为，，证明：． 16. 随着全民健身热潮的兴起，各地积极举办各类体育活动．某市为了解居民参与体育运动的次数与性别是否有关，随机抽取了200名居民进行调查，其中男性、女性居民各100人．在男性居民中，每周参与体育运动至少3次的有30人；在女性居民中，每周参与体育运动少于3次的有40人． （1）完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析居民每周参与体育运动的次数与性别是否有关； 性别 每周参与体育运动次数 合计 至少3次 少于3次 男 30 女 40 合计 （2）从每周参与体育运动至少3次的居民中，按男女人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人做进一步调研，记抽取的3人中男性的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列满足，，． （1）证明：是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前n项和． 18. 如图（1），在菱形中，，，是以为斜边的等腰直角三角形．将沿直线折起，落到的位置，此时，如图（2）． （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）设为线段上的点，平面与平面的夹角为，若，求的值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围； （3）当时，证明：当时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $