专题2.1 比例线段（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题2.1 比例线段 教学目标 1.了解相似多边形及相似比等有关概念。 2.了解比例线段的概念，了解比例的基本性质、合比性质、等比性质，会运用比例性质进行简单的变形。 3.了解黄金分割点的概念，掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论。 教学重难点 教学重点：比例的基本性质；合比性质与等比性质；平行线分线段成比例定理及其推论 教学难点：成比例线段的 “顺序性” 理解；比例基本性质的灵活变形与应用；合比、等比性质的推导逻辑与限制条件；平行线分线段成比例定理的 “图形转化” 与 “对应关系”；黄金分割的概念与计算；比例线段在几何证明中的综合应用 知识点01 相似图形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1）相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2）在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为 小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 学法指导： 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。 【即学即练】下列图形，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解． 【解答】解：A．两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故A选项不符合题意； B．两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B选项不符合题意； C．两个等边三角形的对应角一定相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故C选项符合题意； D．两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似图形，熟悉各种图形的性质是解题的关键． 知识点02 相似多边形的概念 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 学法指导： 在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。 【即学即练】1.如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 2.如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？    【答案】四边形四边形，见解析 【分析】根据三角形的中位线定理证明两个多边形对应边的比相等、对应角相等即可得到答案． 【详解】解：四边形与四边形相似，理由如下： 证明：、是、的中点， ，， ， 同理， ， ， ，， 同理， ，， 四边形与四边形相似    【点睛】本题考查的是相似多边形的性质、三角形中位线定理，掌握相似多边形的判定定理、灵活运用三角形中位线定理是解题的关键． 知识点03 两条线段的比及比例线段 1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段的比叫 作这两条线段的比，记作a：b 注意！！！ （1）在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2）两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3）在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的 一种形式。 2． 成比例线段：对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 【即学即练】1.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km． 【答案】96； 【解析】解：设AB两地实际距离为，根据题意得：，解得：（cm），∴AB两地实际距离为96km. 【易错总结】在求两条线段的比时要统一单位。 2.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【答案】或或． 【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有： （1）对应的外项是时，； （2）对应的外项是时，； （3）对应的外项是时， 【易错总结】判断线段是否成比例时，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论． 知识点04 比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是 比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项 之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 【即学即练】已知，那么下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练运用比例的性质是解题关键． 由已知比例式出发，利用比例的基本性质及等式变形，逐项分析判断即可． 【详解】解：， ． A、可变为，无法得出，故此选项错误，不符合题意； B、，两边同乘得，当时，即，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； C、，得，即，则，不一定成立，故此选项错误，不符合题意； D、，得，即，故此选项正确，符合题意． 知识点05 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 【即学即练】《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 知识点06 平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 【即学即练】如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是将、、代入求解． 将、、代入，其中，解分式方程即可得到答案． 【详解】解：，，，， 又， ， 解得， 经检验是原方程的解． 的长为． 题型01 相似多边形的性质 【例1】如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形与矩形相似，求的长 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】根据正方形的性质得出，根据矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵是边长为2的正方形， ∴， ∵是矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似 ∴， ∴， 解得：= （负数舍去）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质和相似多边形的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形与四边形相似，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形相似 ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似， ， 设,， 则， ，即， ，， 原矩形长与宽的比为， 故选：C． 【变式1-3】如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】设，从而可得，根据相似图形的性质可得，化简可得，由此即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题关键． 题型02 比例尺与成比例线段 【例2-1】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 【例2-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 【例2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，，． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为 ． 【答案】60 【知识点】比例线段 【分析】本题主要考查了比例尺，根据比例尺及图上距离可得实际距离． 【详解】∵比例尺为，且的图上距离是3， ∴两地间实际距离是． 故答案为：60． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6，线段的长为4． (2)线段的长为 【知识点】成比例线段、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得答案． 【详解】（1）解：， 设，， ∵， ， ， ，， 线段的长为6，线段的长为4． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 题型03 比例的性质 【例3-1】（设辅助元求值）（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，运用设k法即可解答． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例3-2】（分类讨论法）（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）已知，求的值． 【答案】8或 【知识点】比例的性质 【分析】观察 与 发 现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出 的值解出，因此设 通过变换化为 那么可能是 或 对这两种情况分别讨论； 【详解】设 则 即 所以或 当时，则 同理 所以 当时， 所以 故答案为 8 或 -1 【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系 【例3-3】（合比性质）如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． 【解析】证明：（1）， ． 根据比例的合比性质，，． 根据比例的合比性质，，即． 根据比例的合比性质，． 【总结】考查比例的合比性质的应用． 【例3-4】（等比性质）（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)10 【知识点】比例的性质 【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答； （2）利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，且， ， 的值为2； （2）解：， ， ， ， ， 的值为10． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键 【例3-5】（比例的性质探究与证明)（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【答案】（3）见解析；【实践应用】 【知识点】约分、判断分式变形是否正确 【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可． 【详解】（3）④设，则，， ，， ． ⑤设，则，， ，，． （6）设， 则，，…，， ， ． 【实践应用】解：， 设， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键． 【变式3-1】比例的性质 （1）基本性质：若 (，)． （2）合比性质：若 (，)． （3）等比性质：若 (b·d·…·)，那么 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的基本性质即可作答． 【详解】解：（1）基本性质：若 (，)． （2）合比性质：若 (，)． （3）等比性质：若 (b·d·…·)，那么． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质、合比性质和等比性质，掌握比例的基本性质、合比性质和等比性质的内容是解答本题的关键． 【变式3-2】已知：，则k＝ ． 【答案】2或﹣1 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换即可得答案． 【详解】解：此题要分情况考虑： 当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k＝＝2； 当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1， 故答案为：2或﹣1． 【点睛】此题由于没有条件的限制，一定要分情况计算．要熟悉比例的等比性质，注意等比性质的条件的限制． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知实数x，y，满足，试求的值． 【答案】10 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质得出，再把，代入求出即可． 【详解】解：设， 则， 所以， ． 【变式3-4】已知为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】三边的长为6，8，10 【知识点】比例的性质 【分析】设，则，，，根据进行计算求出的值即可． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， 三边的长为6，8，10． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【变式3-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 题型04 黄金分割 【例4-1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为， ∴， 故选：B． 【例4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【答案】或 【知识点】分母有理化、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割比，分母有理化，解题关键是掌握黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．分两种情况讨论：①当时；②当时，利用黄金比分别列式求解，即可求出线段的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； 综上可知，线段的长为或 【变式4-1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】黄金分割、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出，在根据黄金分割点的定义即可求出结果． 【详解】解：， ∵点为线段的黄金分割点， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽·期末）已知线段，是线段的黄金分割点，那么 ． 【答案】或2 【知识点】黄金分割、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义是解题关键．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为．根据黄金分割点的定义，分和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， ①若，则有， 所以； ②若，则有． 综上所述，或2． 故答案为：或2． 题型05 由平行判断成比例的线段 【例5-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线，下列比例式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故A、B、C正确，不符合要求； 无法判断，故D错误，符合要求； 故选：D． 【例5-2】（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项不符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符合题意； 故选：D． 【例5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 【变式5-2】如图，，直线a，b相交于点，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，结果正确，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，结果正确，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，结果错误，故本选项符合题意； D、∵， ∴，结果正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 【变式5-3】如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【详解】解：对A、B选项．∵，， ∴， ∴，，故AB正确，不符合题意； C．∵，， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵，而， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 【例6-1】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）是的高，为的中点，，如果，那么等于 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理知识的应用．由是的高，，即可证得，又由E为的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由，即可求得的值． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【例6-2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 【例6-3】如图，ACEFBD． (1)求证：+ ＝； (2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由EFBD得到①，由EFAC得到②，然后把①+②后变形即可得到结论； （2）利用（1）中的结论进行计算． 【详解】（1）证明：∵EFBD， ∴①， ∵EFAC， ∴②， ①+②得， ∴； （2）解：， ， ∴BD＝6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，掌握分线段成比例是解题的关键． 【例6-4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线，交于点，．若，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合已知数据即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 【变式6-4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 【变式6-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，，，得不到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，， 但不能得到，即选项D不正确． 故选：D 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，若，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长． 【详解】解：， ， 即：， ， ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案． 【详解】解：C是线段的黄金分割点，， ， 故选D． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，故选项A、C错误，不符合题意； ∴，， 故选项B正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交直线于点E， 根据题意，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；根据题意易得，，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，分式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键. 设，得到，代入中计算即可得到答案. 【详解】解：设， ， ， 故选：B. 8．（2025·安徽安庆·一模） 在中，点D是边上的中点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法不正确的是（    ） A．，则四边形是菱形 B．，则四边形是菱形 C．，则四边形是矩形 D．，则四边形是矩形 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、由平行判断成比例的线段 【分析】先根据，，证明四边形是平行四边形，再证明，，根据中位线性质得出，，根据菱形的判定，垂直平分线的性质，即可判定A、B正确；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，证明，即可判定C正确，根据，无法证明四边形是矩形，即可判定D错误． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴、为的中位线， ∴，； A．若，则， ∴， ∴四边形是菱形；选项A正确，不符合题意； B．若，则垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；选项B正确，不符合题意； C．若，则， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形；选项C正确，不符合题意； D．无法证明四边形是矩形，选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行线分线段成比例，中位线的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 9．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 10．（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形是菱形，得到，分和，两种情况，判断B，根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先证明四边形是菱形，再证明，得到，判断D． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴； 若，则：， ∴；故选项A正确，不符合题意； 若，则：四边形是菱形； ， ， 如图，当与不垂直时，上还存在一点，使， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 而另一点也满足，但与不平行， 与不一定平行，故B选项错误，符合题意； 若，则：， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 11．（2025·安徽合肥·一模）已知如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点是轴上一动点，作直线交轴于点，以点为旋转中心把直线逆时针旋转 得直线 ，交轴于点，交 轴于点，在点变化过程中，下列说法错误的是（    ） A．当时，的值不存在 B．若，且时，点是的黄金分割点 C．连接，当 ，的周长为定值 D．当 时，，而当时，的值不确定 【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、黄金分割 【分析】当时，过点作交于点，分别过点、做轴和轴的平行线，交点为、、，交轴于点，交轴于点，交轴于点，先证明，从而表示出点，得到直线的表达式，接着表示出直线，得到点，的坐标，从而得出，当 时，，同理可知，当时，仍为定值，故D选项错误；利用可证，得出B选项正确；利用勾股定理，可求得，利用可知C选项正确；当时，，以点为旋转中心把直线逆时针旋转 得直线 ，此时为直线，与轴无交点，故点不存在，那么A选项正确；一一判断从而得出答案． 【详解】解：当时，过点作交于点，分别过点、做轴和轴的平行线，交点为、、，交轴于点，交轴于点，交轴于点，如图所示： 轴，轴， 四边形、、、为平行四边形， ， 四边形、、、为矩形， ，， 点，点， ，， ， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线为，代入，， 得到，解得， 直线为：， ， ，， 设直线为，代入， ， 得到，解得， 直线为：， ， 点， ，， 当时，， ， 当时，， ， 即， ，， ， ， 点是的黄金分割点，故B正确； 直线为：， 时，， ， ， ， 的周长为： ， 故C正确； 当时，同理可得出，直线为：， 直线为：， ， 点， ， 故D选项错误； ，， ， 当时，，以点为旋转中心把直线逆时针旋转 得直线 ， 此时为直线，与轴无交点，故点不存在，那么A选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一次函数，勾股定理，黄金分割点，熟练掌握以上知识点并能构造出等腰直角三角形是解题的关键． 二、填空题 12．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握设k法是解题的关键． 由题意可设，，再代入求值即可． 【详解】解：由可设，， ∴， 故答案为：． 13.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 14．如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 15．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题、与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数，正比例函数，平移的性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；过点作轴于点，根据平行线分线段成比例可得，是的中位线，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴于点， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，则 ∴是的中位线， ∵， ∵ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为 ； （2）在（1）的条件下的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、公式法解一元二次方程、求一次函数解析式、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，进而可得，，由此即可求出的值； （2）由，可得二次函数的解析式为，点的横坐标是，进而可得，由轴于点，轴于点可得，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得，于是可得直线的解析式为，设，则有，解方程即可求得，过点作轴于点，则，由垂直于同一直线的两直线平行可得轴，由平行线分线段成比例定理可得，由（1）可得，且，于是得解． 【详解】解：（1），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， ，， ， 故答案为：； （2），， 二次函数的解析式为，点的横坐标是， 当时，， ， 轴于点，轴于点， ，， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 与抛物线交于点， 设，则有： ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 如图，过点作轴于点， ， 轴，轴轴， 轴， ， 由（1）可得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，公式法解一元二次方程，垂直于同一直线的两直线平行，平行线分线段成比例定理，分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 三、解答题 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知，，求的值． 【答案】4 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后表示出a，b，c，再求解，进一步可得答案． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：4． 18．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质．设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 19.如图，，AD=15，AC=16.求BD、EC的长． 【答案】BD=9，EC=6 【知识点】比例的性质、比例线段 【分析】由AE+EC=AC，然后把AD=15，AC=16代入比例式即可得到结论． 【详解】解：∵，AD=15，AC=16， ∴， 解得：BD=9，EC=6， 经检验，符合题意， ∴BD=9，EC=6． 【点睛】本题考查比例的性质，掌握比例的性质，准确计算是解题关键． 20．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 21．如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例线段的知识，解题的关键是比例线段的性质，进行求解，即可． （1）根据，得，求出，即可； （2）根据（1）可得的值，根据，根据，则，根据，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有， 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、已知两点坐标求两点距离、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点和点代入二次函数表达式，解方程即可； （2）先求得点的坐标，设点的坐标为，通过两点坐标公式表示出和的长度，求得点坐标，从而求得直线的表达式，再求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标； （3）设点的坐标为，从而求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标，过点作交于点，作交于点，通过求得的最大值． 【详解】（1）将，代入 得到，解得 ，； （2）由（1）可知， 将代入，，解得， 的坐标为 设点的坐标为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 设直线的表达式为，代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为 点横坐标为； （3）有最大值； 设点的坐标为，直线的表达式为 代入， 得到，解得 所以直线的表达式为 联立直线和 ，解得 点坐标为， 过点作交于点，作交于点，如图所示 点坐标为，点坐标为 ， 时，的最大值为 的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，两点之间的距离，解二元一次方程组，平行线分线段成比例，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 比例线段 教学目标 1.了解相似多边形及相似比等有关概念。 2.了解比例线段的概念，了解比例的基本性质、合比性质、等比性质，会运用比例性质进行简单的变形。 3.了解黄金分割点的概念，掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论。 教学重难点 教学重点：比例的基本性质；合比性质与等比性质；平行线分线段成比例定理及其推论 教学难点：成比例线段的 “顺序性” 理解；比例基本性质的灵活变形与应用；合比、等比性质的推导逻辑与限制条件；平行线分线段成比例定理的 “图形转化” 与 “对应关系”；黄金分割的概念与计算；比例线段在几何证明中的综合应用 知识点01 相似图形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 重点剖析： （1）相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。 （2）在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为 小的图形是由大的图形经过缩小而成的。 学法指导： 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。 【即学即练】下列图形，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 知识点02 相似多边形的概念 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 注意！！！ 判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。 学法指导： 在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。 【即学即练】1.如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 2.如图，在四边形的边上任取一点O（不与点A、B重合）连接、，分别取的中点、、、，连接、、，四边形与四边形相似吗？为什么？    知识点03 两条线段的比及比例线段 1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a、b，得到它们的长度，我们把这两条线段的比叫 作这两条线段的比，记作a：b 注意！！！ （1）在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2）两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3）在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的 一种形式。 2． 成比例线段：对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 【即学即练】1.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为 km． 【易错总结】在求两条线段的比时要统一单位。 2.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【易错总结】判断线段是否成比例时，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论． 知识点04 比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是 比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项 之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 【即学即练】已知，那么下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 注意！！！ 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 【即学即练】《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是 （结果保留根号）． 知识点06 平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 【即学即练】如图，在中，点，分别在边，上，，，，且，求的长． 题型01 相似多边形的性质 【例1】如图，四边形是边长为2的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形与矩形相似，求的长 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形与四边形相似，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么的值为 ． 题型02 比例尺与成比例线段 【例2-1】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【例2-2】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 题型03 比例的性质 【例3-1】（设辅助元求值）（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且，求的值． 【例3-2】（分类讨论法）（22-23九年级上·安徽马鞍山·期中）已知，求的值． 【例3-3】（合比性质）如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． 【例3-4】（等比性质）（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【例3-5】（比例的性质探究与证明)（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【变式3-1】比例的性质 （1）基本性质：若 (，)． （2）合比性质：若 (，)． （3）等比性质：若 (b·d·…·)，那么 ． 【变式3-2】已知：，则k＝ ． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知实数x，y，满足，试求的值． 【变式3-4】已知为的三边长，且，，求三边的长． 【变式3-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 题型04 黄金分割 【例4-1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在绚丽多姿的秋色叶类植物中，爬山虎有着油画般浓郁的色彩。我们学校墙上的五叶爬山虎树叶，蕴含着一种数学美：“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为8cm，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知点是线段的黄金分割点，且分成的两部分之差为2，求线段的长． 【变式4-1】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号） 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽·期末）已知线段，是线段的黄金分割点，那么 ． 题型05 由平行判断成比例的线段 【例5-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线，下列比例式子不成立的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，已知，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】如图，，直线a，b相交于点，与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 【例6-1】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）是的高，为的中点，，如果，那么等于 ． 【例6-2】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【例6-3】如图，ACEFBD． (1)求证：+ ＝； (2)若AC＝3，EF＝2，求BD的值． 【例6-4】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线，交于点，．若，，，则的值为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，则的值为 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是 ．    【变式6-4】（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【变式6-5】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知直线m，n被一组平行线所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，已知，，若，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知，，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．， B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（   ） A．2 B．1 C． D．4 6．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽安庆·一模） 在中，点D是边上的中点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法不正确的是（    ） A．，则四边形是菱形 B．，则四边形是菱形 C．，则四边形是矩形 D．，则四边形是矩形 9．（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 10．（2025·安徽合肥·一模）在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025·安徽合肥·一模）已知如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点是轴上一动点，作直线交轴于点，以点为旋转中心把直线逆时针旋转 得直线 ，交轴于点，交 轴于点，在点变化过程中，下列说法错误的是（    ） A．当时，的值不存在 B．若，且时，点是的黄金分割点 C．连接，当 ，的周长为定值 D．当 时，，而当时，的值不确定 二、填空题 12．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为 ． 13.（24-25九年级上·安徽合肥·期中）研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉产音效果最佳，如图，主持人现站在8米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）． 14．如图，已知，，如果，那么 ． 15．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为 ． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，点在该抛物线上，的横坐标是，过点作轴于点，作轴于点，连接交抛物线于点． （1）若，，则的值为 ； （2）在（1）的条件下的值为 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知，，求的值． 18．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知为的三边长，且满足，，求的周长． 19.如图，，AD=15，AC=16.求BD、EC的长． 20．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 21．如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 22．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D． (1)求，的值； (2)若，求点Q的横坐标； (3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$