第一章 空间向量与立体几何 章末综合测试（能力提升）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 2. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则m的值（ ） A. B. C. 4 D. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 与向量共线的单位向量是（     ） A． B． C． D． 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 平面 D. 异面直线与夹角的余弦值为 11. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，且，则_________. 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________． 14. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则_________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 16. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的大小； （2）求点B到平面ADE的距离． 17. 如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求二面角的余弦值． 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明:平面平面； （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》章末综合测试（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C D B C D AD ACD BC 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】A 由于， 由于三点共线，所以，解得， 故. 2. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且，则m的值（ ） A. B. C. 4 D. 【详解】B 若，则有， 即，解得. 3. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【详解】C因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量为： . 4. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【详解】C 因为四点共面，且任意三点不共线，得出，都不是0， 当时，，计算可得，的最大值为， 当且仅当时取最大值， 当时，， 所以的最大值为. 5. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【详解】D ∵， ∴， 则 所以． 6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【详解】B 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【详解】C 由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 8. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【详解】D 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 与向量共线的单位向量是（     ） A． B． C． D． 【详解】AD 因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ） A. B. C. 平面 D. 异面直线与夹角的余弦值为 【详解】ACD 因为平面平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，平面的一个法向量为，故C正确； 对于D，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故D正确． 11. 已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，则 C. 已知，，，则三棱锥的体积 D. 已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值 【解析】BC 对于A，，，， ，，故A错； 对于B，∵，， ∴， ∴， ，故B对； 对于C，由题意，三棱锥是棱长为1的正四面体，则正四面体的高为 ， ，故C对； 对于D，由，，得， ∴，，， ∴， 当时， ， 当时，，则与的夹角不一定取得最小值，故D错． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，且，则_________. 【详解】因为，所以，即，解得： 13. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________． 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为. 14. 已知球的半径等于4，，是球的某内接圆柱的上下底面圆心，，是球的直径（点在上，点在上），为的中点，若四边形是圆的内接矩形，，是圆柱的母线，且平面平面，则_________． 【详解】 如图为过球、圆柱的上下底面圆心、与的截面， 因球的半径等于4，，故， 故圆柱底面半径为, 因为的中点，故，， 如图，以为坐标原点，以平行于,的线为轴，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 由题意，则，故， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则， 令，得，故， 令，得，故， 因平面平面，故，得， 又，故，故. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，平行六面体中，，. （1）用向量表示向量； （2）求及. 【详解】（1）如图，. （2）因为，，， 所以 又， ， 所以. 16. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB中点. （1）求直线BD与直线PC所成角的大小； （2）求点B到平面ADE的距离． 【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系.    由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为， 因为，， ， 所以直线BD与直线PC所成角为； （2）因为，，， 所以， ， 则为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得， 所以点到平面的距离为. 17. 如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值 （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）因为平面，且， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 且平面的法向量， 可得， 由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明:平面平面； （2）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 在正方形中，，并且 中，， 所以，. 因为平面， 所以平面 而平面， 所以平面平面； （2）存在点，当时，满足题意，理由如下： 因为两两垂直， 所以建立如图所示的空间直角坐标系, 则， 因为平面， 所以平面的法向量为 假设存在满足题意的点，且， 则， 设平面MBC的法向量为， 则有 不妨设， 得， 所以 两边平方，整理得， 解得或（舍）， 经检验，满足题意， 因此，存在点，只需即可. 19. 若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：， 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关， （1）对于，判断下列各组向量是否线性相关： ①； ②； （2）已知线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由； （3）证明：对于中的任意两个元素，均有， 【解析】（1）对于①，假设与线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，即， 可取，所以线性相关， 对于②，假设线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则，得， 可取，所以线性相关. （2）假设线性相关， 则存在不全为零的实数， 使得， 则， 因为线性无关， 所以，得，矛盾， 所以向量线性无关. （3）设， 则， 所以， 又， 所以 ， 当且仅当同时成立时，等号成立， 所以. ( 第 1 页 共 18 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$