等腰三角形的判定 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

等腰三角形的判定 思维导图 知识要点： 等腰三角形的判定方法：（1）由定义判定，即说明两条边相等。（2） 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等（简称：等角对等边）。 1. 等腰三角形提供了相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形 是证明线段相等、角相等的重要手段。 2. 对于判定定理的说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既 作为性质，又可作为判定方法；②等腰三角形的判定和性质互逆；③判 定定理在同一个三角形中才能适用。 3. 常用的确定或构造等腰三角形的方法有：（1）“角平分线+平行线”构 造等腰三角形。（2）“角平分线+垂线”构造等腰三角形。（3）线段垂 直平分线构造等腰三角形。（4）用三角形中的倍角关系分割或构造等 腰三角形。 4. 对于等腰三角形“三线合一”性质的拓展：在①等腰；②底边上的高 线；③底边上的中线；④顶角的平分线这四个元素中，从中任意取出两 个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论。 知识点一：等腰三角形的判定 如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA的延长线于点G。 （1）求证：AC=AF。 （2）若∠FCD=30°，求∠G的度数。 （1）由题意可得∠ACF=∠DCF，∠AFC=∠DCF，则 ∠ACF=∠AFC，即可证得结论。（2）由∠FCD=30°可求出∠GAF=60°，∠AFC=30°，继而可求出∠GFA=75°，利用三角形的内角和即可求得∠G的度数。 （1）∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，∴∠ACF=∠DCF。 ∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF。∴∠ACF=∠AFC。∴AC=AF。 （2）∵∠FCD=30°，AB∥CD，∴∠ACD=∠GAF=60°， ∠AFC=30°。 ∵∠AFE的平分线交CA的延长线于点G，∴。∴∠G=180°-∠GAF-∠AFG=180°-60°-75°=45°。 本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定 义等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定 理。 如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC=AC。求证： （1）△ACE是等腰三角形。 【答案】（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAF=∠CAF。 ∵CE∥AD，∴∠CAF=∠ACE，∠BAF=∠E。 ∴∠E=∠ACE。∴AE=AC。∴△ACE是等腰三角形。 （2）AB∥CF。 【答案】（2）∵FC=AC，∴∠CAF=∠F。 ∵∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF。∴AB∥CF。 知识点二：等腰三角形的判定与性质的综合应用 在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD=AD。 （1）如图1，求∠A的度数。 （2）如图2，E是AB的中点，连结ED并延长，交BC的延长线于点F，连 结AF。求证：AF=AB+BC。 （1）设∠ABD=x°，由条件结合等腰三角形的性质可得， ∠C=∠ABC=2x°，∠A=x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程即可求得x，即可求得∠A。（2）证明EF是AB的垂直平分线，得AF=BF，再根据等腰三角形的性质利用线段的和差即可解决问题。 （1）设∠ABD=x°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2x°。 ∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=2x°。又∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°。 ∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得x=36。 ∴∠A=36°。 （2）∵E是AB的中点，BD=AD，∴EF是AB的垂直平分线。∴AF=BF。 ∴∠FAB=∠FBA=72°。∴∠AFB=180°-∠FAB-∠FBA=36°，∠FAC=∠FAB-∠BAC=36°。∴∠AFB=∠FAC。∴CA=CF。∴AB=AC=CF。∴AF=BF=CF+BC=AB+BC。 本题考查等腰三角形的判定与性质，根据条件找出图形中的 等腰三角形是解题的关键，同时注意三角形内角和定理和方程思想的应 用。 如图，在△ABC中，E，F分别是边AC，AB上的点，且AE=AF，连结BE，CF交于点D，∠ABE=∠ACF。 （1）求证：△BCD是等腰三角形。 【答案】（1）∵AE=AF，∠A=∠A，∠ABE=∠ACF，∴△ABE≌△ACF（AAS）。 ∴AB=AC。∴∠ABC=∠ACB。∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACF，即∠DBC=∠DCB。∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形。 （2）若∠A=40°，BC=BD，求∠BEC的度数。 【答案】（2）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=×（180°-40°）=70°。∵BD=DC，∴∠BDC=∠BCD。∵∠DBC=∠DCB，∴△DBC是等边三角形。∴∠DBC=60°。∴∠ABE=10°。∴∠BEC=∠A+∠ABE=50°。 如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E在BC边上，连结DE，且 DE=AD。 （1）求证：∠A与∠BED互补。 （2）点F在AB边上，连结DF，若∠A+2∠DFB=180°，探究线段BF，BE，DE之间满足的等量关系，并加以证明。 （1）在BA上截取BM=BE，证明△BDE≌△BDM即可解决问题。（2）只要证明MD=MF，BM=BE即可解决问题。 （1）如图，在BA上截取BM=BE，连结DM。 ∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBM。在△BDE和△BDM中， ∵∴△BDE≌△BDM（SAS）。∴∠BED=∠BMD， DE=DM。 ∵DA=DE，∴DA=DM。∴∠A=∠AMD。∵∠AMD+∠BMD=180°，∴∠A+∠BED=180°，即∠A与∠BED互补。 （2）BF=BE+DE。理由如下：由（1）知DE=DM，∠A=∠DMA。 ∵∠A+2∠DFB=180°，∠DFM+∠DMA+∠FDM=180°，∴∠DFM=∠FDM。∴MF=MD=DE。∴BF=BM+MF=BE+DE。 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性 质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题。 1. 下列三角形中，不属于等腰三角形的是（　A　） A. B. C. D. A 2. 如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也 是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为 （　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 3. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N，则△AMN的周长为（　B　） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 B 4. 如图，已知P是射线OD上一动点（即点P在射线OD上运动）， ∠AOD=30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数为（　C　） A. 120° B. 30°或75° C. 30°或75°或120° D. 120°或75°或45°或30° C 【解析】分三种情况：①当OA=OP时，∠A=∠OPA=×（180°-30°）=75°。 ②当AO=AP时，∠APO=∠O=30°，∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°。 ③当PO=PA时，∠A=∠O=30°。综上所述，当∠A=75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形。故选C。 5. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画 弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连结AC，BC。若∠ABC=70°，则∠1的度数为 ⁠。 40° 6. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E。若DE=6，CE=5，则AC的长为 ⁠。 11 7. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海 里的速度向正北方向航行，2 h后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则 N处与灯塔P的距离为 ⁠海里。 80 8. 如图，已知S△ABC=24 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则 S△ADC= m2。 12 【解析】如图，延长BD交AC于点E。∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。∴BD=DE。∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE。 ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC。∴S△ADC=×24=12（m2）。故答案为12。 9. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，OD⊥AB于点D，点O在AC的垂直平分线上。 （1）求证：△BOC是等腰三角形。 【答案】（1）连结OA。∵D是AB的中点，OD⊥AB于点D，∴OD垂直平分AB。∴OA=OB。∵点O在AC的垂直平分线上，∴OA=OC。∴OB=OC。∴△BOC是等腰三角形。 （2）若∠BAC=80°，求∠BCO的度数。 【答案】（2）∵OA=OB，OA=OC，∴∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA。∴∠ABO+∠ACO=∠BAO+∠CAO=∠BAC=80°。∴∠OBC+∠OCB=180°-80°-80°=20°。∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB。∴∠BCO=×20°=10°。 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD平分∠ACB并交AB于点D。 （1）求∠ADC的度数。 【答案】（1）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠B=∠ACB= （180°-∠BAC）=72°。∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠DCB=∠ACB=36°。 ∴∠ADC=∠B+∠DCB=72°+36°=108°。 （2）过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E。 ①求证：△ADE是等腰三角形。 【答案】（2）①∵AE∥BC，∴∠EAB=∠B=72°。∵∠B=72°，∠DCB=36°，∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°。∴∠EAD=∠ADE。∴AE=DE，即△ADE是等腰三角形。 ②△ACE是否为等腰三角形？请说明理由。 【答案】②△ACE是等腰三角形。理由如下：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCE=∠ACE。∵AE∥BC，∴∠BCE=∠E。∴∠ACE=∠E。∴AE=AC。∴△ACE是等腰三角形。 11. 如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=40°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交AB于点E。关于下面两个结论：①∠ADE=20°；②BC=BE。下列说法中正确的是（　A　） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. 只有①正确 D. 只有②正确 A 12. 如图，在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°。P为直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动，若点P与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形，则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的位置有（　C　） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 9个 C 【解析】如图。∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∴∠ACB=180°-70°-40°=70°。①若△ACP为等腰三角形：当CP=CA时，点P在P1，P2位置；当AP=AC时，点P在P3位置；当PA=PC时，点P在P4位置。②若△ABP为等腰三角形：当BP=BA时，点P在P5，P6位置；当AP=AB时，点P在P7位置；当PA=PB时，点P在P8位置。综上所述，满足条件的点P的位置有8个。故选C。 13. 如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=4，ED=8，则EB+DC= ⁠。 【解析】∵ED∥BC，∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB。∵G平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABG=∠CBG，∠ACF=∠FCB。∴∠EBG=∠EGB，∠DFC=∠ACF。∴EB=EG，DF=DC。∵FG=4，ED=8，∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=12。故答案为 12。 12 14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=62°，AB+BD=CD，则∠BAC的度数为 ⁠。 87° 【解析】如图，延长DB至点E，使BE=AB，连结AE，∴∠E=∠BAE。 ∴∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E=62°。∴∠E=31°。∵AB+BD=CD，∴BE+BD=CD，即DE=CD。∵AD⊥BC，∴AD垂直平分CE。∴AC=AE。∴∠C=∠E=31°。∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=87°。故答案为87°。 15. 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，∠D=∠E，∠BAD=∠CAE。 求证： （1）△ABE≌△ACD。 【答案】（1）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE。 ∴∠BAE=∠CAD。 在△ABE和△ACD中，∵∴△ABE≌△ACD（AAS）。 （2）AF平分∠BAC。 【答案】（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD。∴∠ABE-∠ABC=∠ACD-∠ACB。 ∴∠FBC=∠FCB。∴BF=CF。在△ABF和△ACF中， ∵∴△ABF≌△ACF（SAS）。∴∠BAF=∠CAF。 ∴AF平分∠BAC。 16. 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在线段AC上，点D在AB的延长线上，连结DE交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G。 （1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数。 【答案】（1）∵∠A=50°，AB=AC，∴∠C=×（180°-50°）=65°。∵EG⊥BC，∴∠CEG=90°-∠C=90°-65°=25°。∵∠A=50°，∠D=30°，∴∠CEF=∠A+∠D=50°+30°=80°。∴∠GEF=∠CEF-∠CEG=80°-25°=55°。 （2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG。 【答案】（2）如图，过点E作EH∥AB交BC于点H，则 ∠ABC=∠EHC，∠D=∠FEH。∵AB=AC，∴∠ABC=∠C。 ∴∠EHC=∠C。∴EC=EH。∵BD=CE，∴BD=EH。 在△BDF和△HEF中，∵∴△BDF≌△HEF （AAS）。 ∴BF=FH。又∵EC=EH，EG⊥BC，∴CG=HG。 ∴FG=FH+HG=BF+CG。 17. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC=AD， ∠BAC=∠BDC=α，∠CAD=β。 （1）求证：∠ABD=∠ADC。 【答案】（1）∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC。∵∠AED是△ABE和△CDE的外角，∠BAC=∠BDC=α，∴∠AED=∠ABD+α=∠ACD+α。∴∠ABD=∠ACD。 ∴∠ABD=∠ADC。 （2）若∠AED=65°，求β-2α的度数。 【答案】（2）∵AC=AD，∠CAD=β，∴∠ACD=+α=65°。∴β-2α=50°。 （3）若α+2β=180°，求证：BD=CD。 【答案】（3）如图，延长BA到点F，使AF=AC，连结 FD。∵∠BAC=α，∠CAD=β，∴∠DAF=180°-α-β。 ∵α+2β=180°，∴∠DAF=180°-α-β=α+2β-α-β=β=∠DAC。 在△ADF和△ADC中，∵ ∴△ADF≌△ADC（SAS）。 ∴FD=CD，∠F=∠ACD。 ∵由（1）得∠ABD=∠ACD，∴∠F=∠ABD。∴FD=BD。∴CD=BD。 $$