2.2 等腰三角形及其性质 期末复习专题突破 课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

等腰三角形及其性质 思维导图 知识要点： 1. 等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边 对等角）。（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高线相互重合（简称：三线合一）。 1. 等腰三角形是一类特殊的三角形，它有两条边相等，两个角相等，是 轴对称图形，底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合（简称“三 线合一”），这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴。 2. 等腰三角形是最简单的轴对称结构，平面几何中相等的角或边的证明 大多可以利用这个对称结构实现，而解等腰三角形的相关问题，全等三 角形依然是重要工具，但更多的是思考利用轴对称性来确定图形的全 等，从而得到角、线、形之间的关系。 3. 等腰三角形中的分类讨论：（1）若已知等腰三角形的一条边，需对 该边为腰还是底边进行分类讨论。（2）若已知等腰三角形的一个角， 需对该角为顶角还是底角进行分类讨论。（3）若已知等腰三角形的一 条高线，需对该高线是底边上的高线还是腰上的高线进行分类讨论，同 时还要考虑钝角三角形和锐角三角形产生的分类讨论。（4）已知等腰 三角形的三个顶点，需对哪个顶点是顶角的顶点进行分类讨论。 知识点一：等腰三角形的边角关系 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，E为底边BC上一点，以点E为圆心，EA长为半径画弧，交AB于点D，测得∠CAE=80°，∠EAD=54°，则∠DEB= 　　　　°。 根据角的和差关系结合等腰三角形的性质可求∠B，根据等 腰三角形的性质可求∠EDA，再根据三角形外角的性质即可求解。 ∵∠CAE=80°，∠EAD=54°，∴∠CAB=134°。∵AB=AC，∴∠B=（180°-134°）÷2=23°。由作图可知EA=ED，∴∠EDA=∠EAD=54°。 ∴∠DEB=∠EDA-∠B=31°。故答案为31。 本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和、外角的性 质，关键是根据“等边对等角”确定图中的等角。 如图，在△ABC中，已知AB=AD=DC，∠C=35°，则∠B的度数为 ⁠。 【解析】∵AD=DC，∴∠DAC=∠C。∵∠C=35°，∴∠DAC=35°。 ∴∠BDA=∠C+∠DAC=70°。 ∵AB=AD，∴∠B=∠BDA=70°。故答案为70°。 70° 知识点二：等腰三角形性质的应用 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD上任意一点。 （1）如图1，连结BE，CE，则BE=CE吗？请说明理由。 （2）若∠BAC=45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F，如图2，则BD=AE成立吗？请说明理由。 （1）根据等腰三角形的性质可知AD⊥BC，再根据垂直平分线的性质即可得出结论。（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°可以推出AF=BF，再证明△AEF≌△BCF就可以得出结论。 （1）BE=CE。理由如下：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC。 ∴AD为BC的垂直平分线。∴BE=CE。 （2）BD=AE。理由如下：∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∠CBF+∠C=90°。∴AF=BF。由（1）知AD⊥BC，∴∠C+∠EAF=90°。∴∠EAF=∠CBF。在△AEF和△BCF中，∵∴△AEF≌△BCF（ASA）。∴AE=BC。∵BD=BC，∴BD=AE。 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质的运 用，根据等腰三角形的轴对称性以及“三线合一”确定图中相等的线段并 找出全等三角形是解题的关键。 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC>90°，CD与直线AB垂直，垂足为D，∠BCD的平分线CE交BD于点E，点H在线段AC上，HE的延长线与CD的延长线相交于点F。 （1）求证：∠ACE=45°。 【答案】（1）∵CD⊥AD，∴∠ADF=90°。∴∠ACD+∠A=90°。∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE。∵AB=BC，∴∠A=∠ACB。 ∴∠ACD+∠A=2∠ACB+2∠BCE=90°。 ∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°。 （2）若FH⊥AC，求证：CF=AE。 【答案】（2）∵FH⊥AC，∴∠AHE=∠FHC=90°。由（1）得∠ACE=45°，∴∠HEC=45°。∴HC=HE。 ∵CD⊥AB，∴∠EDF=90°。∴∠AHE=∠EDF。∵∠AEH=∠FED，∴∠A=∠F。在△AHE和△FHC中，∵∴△AHE≌△FHC（AAS）。∴CF=AE。 探究与发现：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE。 （1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数。 （2）当点D在BC（点B，C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系。 （3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图2探究∠BAD与∠CDE的数量关系。 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=45°，由于AD=AE，于是得到∠AED=75°，根据三角形外角的性质即可得到∠CDE=∠AED-∠C=30°。（2）设∠BAD=x，于是得到∠CAD=90°-x，根据等腰三角形的性质得到∠AED=45°+，根据∠CDE=∠AED-∠C即可得到结论。（3）设∠BAD=x，∠C=y，同理（2）中的思路即可得到结论。 （1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。 ∵∠BAD=60°， ∴∠DAE=30°。∵AD=AE，∴∠AED=75°。 ∴∠CDE=∠AED-∠C=30°。 （2）设∠BAD=x，∴∠CAD=90°-x。∵AE=AD， ∴∠AED=45°+x。 ∴∠CDE=∠AED-∠C=x。∴∠CDE=∠BAD。 （3）设∠BAD=x，∠C=y。∵AB=AC，∠C=y，∴∠BAC=180°-2y。 ∵∠BAD=x，∴∠DAE=180°-2y-x。∵AE=AD，∴∠AED=y+x。 ∴x。∴∠CDE=∠BAD。 本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质，三个小题 的解题过程遵循从特殊到一般的思考过程，要善于从特殊的图形中找出 几何元素之间的关系从而体会条件变化过程中不变的量。 1. 已知一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（　B　） A. 13 B. 22 C. 22或17 D. 17 2. 已知一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个 等腰三角形顶角的度数为（　C　） A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 65°或130° B C 3. 如图所示为螳螂的示意图，已知AB∥DE，AB=BC，∠ABC=120°， ∠CDE=72°，则∠BCD的度数为（　A　） A. 12° B. 30° C. 42° D. 24° A 4. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰 三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=50°，则它的“特征值”k等于（　D　） A. B. C. 或 D. 或 D 【解析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时，等腰三角形的底 角为×（180°-50°）=65°。∴这个等腰三角形的“特征值”。当等腰三角形的底角为50°时，等腰三角形的顶角为180°-2×50°=80°。∴这个等腰三角形的“特征值”。故选D。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD为△ABC的角平分线，则∠BDC= ⁠。 126° 6. 如图，在△OCD中，CO=CD=5，OA∥CD，DE⊥OA，垂足为E，DE=4，则△OCD的面积为 ⁠。 10 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=12，点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE的长为 ⁠。 8 【解析】∵AB=AC=12，∴∠B=∠C。∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE。∵AE的垂直平分线交BC于点D， ∴AD=ED。在△ABD和△DCE中，∵ ∴△ABD≌△DCE（AAS）。∴CD=AB=12，BD=CE。∵CD=3BD，∴CE=BD=4。∴AE=AC-CE=12-4=8。故答案为8。 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，D为BC上一点，连结AD，作∠ADE=35°，DE交线段AC于点E。 （1）求∠B，∠C的度数。 【答案】（1）∵AB=AC，∠BAC=110°， ∴∠B=∠C=×（180°-110°）=35°。 （2）若AE=DE，求∠BDA的度数。 【答案】（2）∵AE=DE，∴∠DAE=∠ADE=35°。 ∵∠C=35°，∴∠BDA=∠DAE+∠C=35°+35°=70°。 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点（不与点B，C重 合），PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD=8。求PF+PE的值。 【答案】连结AP。∵BD为△ABC的高线， ∴S△ABC=BD ⋅ AC。∵PF⊥AB，PE⊥AC，AB=AC， ∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AC ⋅ （PF+PE）。 ∴BD=PF+PE。∵BD=8，∴PF+PE=8。 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D是BC边上的动点（不与点B，C重合），连结AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为（　D　） A. 80° B. 110° C. 120° D. 80°或110° D 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°。∴∠BAC=180°-40°-40°=100°。当AD=CD时，∠C=∠CAD=40°，∴∠ADB=∠C+∠CAD=80°。当AD=AC时，点D与点B重 合，不符合题意，舍去。当CD=AC时，∠C=40°，∴∠ADC=（180°-∠C）=70°。∴∠ADB=180°-∠ADC=110°。综上所述，∠ADB的度数为80°或110°。故选D。 11. 小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B= ⁠。 67.5° 【解析】设∠ECF=x。∵EC=EF，∴∠EFC=∠ECF=x。∴∠GEF=2x。∵EF=GF，∴∠FGE=∠GEF=2x。∴∠DFG=∠FGE+∠ECF=3x。∵DG=GF， ∴∠GDF=∠DFG=3x。∴∠AGD=∠GDF+∠ECF=4x。 ∵DG=DA，∴∠A=∠AGD=4x。∴∠BDC=∠A+∠ECF=5x。∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=5x。∴∠ACB=∠BCD+∠ECF=6x。∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=6x。∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴4x+6x+6x=180°，解得x=11.25°。∴∠B=6x=67.5°。故答案为67.5°。 12. 如图，∠BOC=θ（0°<θ<90°），现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB，OC上，其中AA1为第1根小棒，且OA=AA1。若恰好能摆放4根小棒，则θ的取值范围 是 ⁠。 18°≤θ<22.5° 【解析】∵OA=AA1，∠BOC=θ，∴∠OA1A=∠BOC=θ。 ∴∠A1AA2=∠OA1A+∠BOC=2θ。∵A1A2=AA1，∴∠A1AA2=∠AA2A1=2θ。 ∴∠A2A1A3=∠A1A2A+∠BOC=2θ+θ=3θ。∵A1A2=A2A3， ∴∠A1A3A2=∠A2A1A3=3θ。 同理可得∠A3A4A2=∠A3A2A4=4θ，∠A4A3C=5θ。∵恰好能摆放4根小棒，∴∴18°≤θ<22.5°。故答案为18°≤θ<22.5°。 13. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A<90°，CD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P。 （1）当∠A=52°时，求∠BPC的度数。 【答案】（1）∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB= （180°-∠A）=64°。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠ABC=32°。 ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°。∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=122°。 （2）当∠A=x°时，求∠BPC的度数（用含x的代数式表示）。 【答案】（2）∵AB=AC，∠A=x°，∴∠ABC=∠ACB=。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=。∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°。∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=。 14. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M。 （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数。 【答案】（1）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=（180° -∠A）=70°。∵MN是AB的垂直平分线，∴∠MNB=90°。 ∴∠NMB=90°-∠B=20°。 （2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数。 【答案】（2）∵AB=AC，∠A=70°，∴∠B=∠ACB=（180°- ∠A）=55°。∵MN是AB的垂直平分线，∴∠MNB=90°。 ∴∠NMB=90°-∠B=35°。 （3）∠A与∠NMB之间有什么关系？写出你的猜想，并说明理由。 【答案】（3）∠A=2∠NMB。理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）。 ∵MN是AB的垂直平分线，∴∠MNB=90°。 ∴∠NMB=90°-∠B=∠A。∴∠A=2∠NMB。 15. 如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BP⊥AD，垂足为P。已知AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABC=3∠ACB。 【答案】如图，延长BP，交AC于点E。∵AD平分∠BAC，BP⊥AD， ∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE。又∵AP=AP，∴△ABP≌△AEP。 ∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE。∵AB=5，BP=2，∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5。 ∴CE=AC-AE=9-5=4。∴CE=BE。∴△BCE是等腰三角形。 ∴∠EBC=∠C， 又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，∴∠ABE=2∠C。 ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C。 $$