第三章函数 单元测评-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第三章函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，1]　　　　　　 　 B．(－∞，1) C．(－∞，0)∪(0，1] D．(－∞，0)∪(0，1) 2．若f (x)＝(x＋a＋1)(x2＋a－1)为奇函数，则a＝(　　) A．1或－1　　　B．1　　　 C．0　　　D．－1 3．已知函数f (x)＝则f 的值为(　　) A． B．－ C． D．18 4．已知f ＝2x－5，且f (a)＝6，则a等于(　　) A．－ B． C． D．－ 5．函数f (x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 6．函数f (x)＝－的图象大致是(　　) A　　 　　　　　　B C　　 　　　　　　D 7．若函数f (x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D．∅ 8．已知定义域为R的函数f (x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则(　　) A．f (2)>f (3) B．f (2)>f (5) C．f (3)>f (5) D．f (3)>f (6) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示．则下列说法正确的是(　　) A．图②的建议为减少运营成本 B．图②的建议可能是提高票价 C．图③的建议为减少运营成本 D．图③的建议可能是提高票价 10．已知函数f (x)＝的最小值为f (1)，则a的可能取值是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 11．设函数f (x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f (x)＋f (2－x)＝2的函数可以是(　　) A．f (x)＝2－x B．f (x)＝(x－1)2 C．f (x)＝ D．f (x)＝(x－2)3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f (x)在R上为奇函数，且x>0时，f (x)＝x3＋x2＋1，则当x<0时，f (x)＝________． 13．二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 3 4 y －12 m 0 m 则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为________． 14．已知函数f (x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R． (1)若函数f (x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________； (2)若函数f (x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．(本小题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知定义在R上的函数f (x)是奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f (x)＝． (1)求函数f (x)在R上的解析式； (2)判断函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 16．(15分)已知函数f (x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a． (1)若函数f (x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围； (2)求a的值，使f (x)在区间[－5，5]上的最小值为－1． 17．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系． (1)写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f (t)，图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)； (2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问：何时上市的纯收益最大？ 18．(17分)函数f (x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)<0． (1)证明：f (x)是奇函数； (2)证明：f (x)在R上是减函数； (3)若f (3)＝－1，f (3x＋2)＋f (x－15)－5<0，求x的取值范围． 19．(17分)在①a＝－2；②a＝1；③a＝5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 已知函数f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b，且________． (1)判断f (x)的单调性； (2)若f (x)的图象与x轴有两个交点，求实数b的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 1．C　[要使函数有意义，需满足即x≤1且x≠0．故选C．] 2．D　[∵f (x)＝(x+a+1)(x2+a－1)＝x3+(a－1)x+(a+1)x2+(a2－1)，f (－x)＝－x3－(a－1)x+(a+1)x2+(a2－1)， ∵f (x)是奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)， ∴ ∴a＝－1．故选D．] 3．C　[由题意得f (3)＝32－3－3＝3， 那么， 所以f ＝f ＝1－．] 4．B　[令t＝x－1，则x＝2(t+1)， 进而f (t)＝4(t+1)－5＝4t－1． 由f (a)＝6，得4a－1＝6，解得a＝．] 5．B　[因为f +4×－1＝>0， f (0)＝－1<0， 所以f (x)＝x3+4x－1的零点所在的区间为． 故选B．] 6．A　[f (x)＝－是奇函数，图象关于原点对称，由此排除选项C．又x>0时，f (x)<0，排除选项B． 当x>0时，x+≥2， ∴0<≤， ∴－≤－<0， ∴排除选项D．故选A．] 7．A　[由题意可得<a≤， 所以实数a的取值范围为．故选A．] 8．D　[∵y＝f (x+4)为偶函数， ∴f (－x+4)＝f (x+4)． 令x＝2，得f (2)＝f (－2+4)＝f (2+4)＝f (6)， 同理，f (3)＝f (5)．又知f (x)在(4，+∞)上为减函数， ∵5<6， ∴f (5)>f (6)， ∴f (2)<f (3)，f (2)＝f (6)<f (5)，f (3)＝f (5)>f (6)． 故选D．] 9．AD　[根据题意和题图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由题图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，综上可得AD正确，BC错误．] 10．AB　[函数y＝x+－3a在x∈(1，3)上单调递减， 在x∈(3，+∞)上单调递增， 故当x>1时，f (x)min＝f (3)＝6－3a． y＝x2－2ax+2＝(x－a)2+2－a2，对称轴为x＝a， 当a≥1时，当x≤1时，f (x)min＝f (1)＝3－2a， 要想函数的最小值为f (1)， 只需f (3)≥f (1)，6－3a≥3－2a，a≤3，即1≤a≤3， 显然选项AB符合． 当a<1时，当x≤1时，f (x)min＝f (a)＝2－a2， 显然不是f (1)． 综上所述，只有选项AB符合条件，故选AB．] 11．AC　[(法一)A项，f (x)+f (2－x)＝2－x+[2－(2－x)]＝2为定值，故A项正确； B项，f (x)+f (2－x)＝2(x－1)2不为定值，故B项错误； C项，f (x)+f (2－x)＝+＝2，符合题意，故C项正确； D项，f (x)+f (2－x)＝(x－2)3－x3不为定值，故D项不正确． (法二)因为任意x∈A恒有f (x)+f (2－x)＝2， 所以函数的图象关于点(1，1)中心对称，函数f (x)＝2－x的图象是过点(1，1)的直线，符合题意； 函数f (x)＝＝1+的图象关于点(1，1)中心对称，符合题意；B，D中两个函数的图象都不关于点(1，1)中心对称，不符合题意．] 12．x3－x2－1　[设x<0，则－x>0，故f (－x)＝(－x)3+(－x)2+1＝－x3+x2+1． 由于函数f (x)在R上为奇函数， 故f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)＝x3－x2－1．] 13．(－1，3)　[对于二次函数f (x)＝ax2+bx+c，由表格可得f (－2)＝f (4)，则二次函数的对称轴为直线x＝－＝1，则b＝－2a． 又 结合b＝－2a，解得a＝－1，b＝2，c＝3， 所以不等式ax2+bx+c>0即为不等式－x2+2x+3>0，(x－3)(x+1)<0，解得－1<x<3，则不等式的解集为(－1，3)．] 14．(1)(1，+∞)　(2)[－8，0]　[(1)∵f (x)的图象与x轴无交点， ∴Δ＝16－4(a+3)<0， ∴a>1， 即实数a的取值范围为(1，+∞)． (2)∵函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上， ∴f (x)在[－1，1]上单调递减， ∴要使f (x)在[－1，1]上存在零点， 需满足 ∴－8≤a≤0， 即实数a的取值范围为[－8，0]．] 15．解：(1)根据题意，f (x)为定义在R上的奇函数， 则f (0)＝0． 设x>0，则－x<0， 则f (－x)＝． 又由f (x)为R上的奇函数， 则f (x)＝－f (－x)＝－， 则f (x)＝ (2)函数f (x)在(0，+∞)上为增函数． 证明：根据题意，设0<x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝． 又由0<x1<x2， 则x1－x2<0，且1+x1>0，1+x2>0， 则f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)， 故函数f (x)在(0，+∞)上为增函数． 16．解：令x－1＝t，则x＝t+1，f (t)＝(t+1)2+(2a－2)(t+1)+3－2a＝t2+2at+2，所以f (x)＝x2+2ax+2． (1)因为f (x)图象的对称轴为x＝－a， 由题意知－a≤－5或－a≥5， 解得a≥5或a≤－5． 故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，+∞)． (2)当a>5时，f (x)min＝f (－5)＝27－10a＝－1， 解得a＝(舍去)； 当－5≤a≤5时，f (x)min＝f (－a)＝－a2+2＝－1， 解得a＝±； 当a<－5时，f (x)min＝f (5)＝27+10a＝－1， 解得a＝－(舍去)． 综上，a＝±． 17．解：(1)由题图①可得，当0<t≤200时， f (t)＝t+300＝300－t； 当200<t≤300时， f (t)＝(t－300)+300＝2t－300， 即题图①表示的市场售价与时间的函数关系式为 f (t)＝ 由题图②，设对应的二次函数解析式为g(t)＝a(t－150)2+100， 又该函数过点(250，150)， 所以150＝a(250－150)2+100， 解得a＝， 则g(t)＝(t－150)2+100，0<t≤300． (2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)， 则由题意，得h(t)＝f (t)－g(t)， 即h(t)＝ 当0<t≤200时，h(t)＝－t2+t+ ＝－(t－50)2+100， 当t＝50时，h(t)取得最大值100； 当200<t≤300时，h(t)＝－t2+t－ ＝－(t－350)2+100， 当t＝300时，h(t)取得最大值87.5． 综上，当t＝50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大． 18．(1)证明：由f (x+y)＝f (x)+f (y)， 令y＝－x，得f [x+(－x)]＝f (x)+f (－x)， 所以f (x)+f (－x)＝f (0)． 又f (0+0)＝f (0)+f (0)，所以f (0)＝0． 从而有f (x)+f (－x)＝0， 所以f (－x)＝－f (x)， 所以f (x)是奇函数． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝f (x1)－f [x1+(x2－x1)]＝－f (x2－x1)． 由x1<x2，所以x2－x1>0， 所以f (x2－x1)<0， 所以－f (x2－x1)>0， 即f (x1)>f (x2)， 从而f (x)在R上是减函数． (3)解：因为f (3)＝－1，函数f (x)为奇函数， 所以f (－3)＝1． 又5＝5f (－3)＝f (－15)， 所以f (3x+2)+f (x－15)<5＝f (－15)， 由f (x+y)＝f (x)+f (y)得f (4x－13)<f (－15)． 由函数f (x)单调递减得4x－13>－15， 解得x>－， 故x的取值范围为． 19．解：f (x)＝(x－a)2－3|x－1|－b ＝ 选择①． (1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝－≤1， 所以f (x)在[1，+∞)上单调递增． 当x<1时，f (x)的对称轴为x＝－<1， 所以f (x)在上单调递减， 在上单调递增． 综上所述，f (x)在上单调递减， 在上单调递增． (2)由(1)知，f (x)min＝f ＝－b－，f (1)＝9－b， 因为f (x)的图象与x轴有两个交点， 所以f (x)min<0， 即－b－<0， 所以实数b的取值范围是． 选择②． (1)当x≥1时，因为f (x)的对称轴为x＝>1， 所以f (x)在上单调递减， 在上单调递增． 当x<1时，因为f (x)的对称轴为x＝－<1， 所以f (x)在上单调递减， 在上单调递增． 综上所述，f (x)在上单调递减， 在上单调递增． (2)由(1)知，f ＝－b－， f ＝－b－＝f ，f (1)＝－b， 因为f (x)的图象与x轴有两个交点， 所以f ＝f ＝0或f (1)<0． 由－b－＝0或f (1)＝－b<0，得b＝－或b>0， 所以实数b的取值范围是∪(0，+∞)． 选择③． (1)当x≥1时，f (x)的对称轴为x＝>1， 所以f (x)在上单调递减， 在上单调递增． 当x<1时，f (x)的对称轴为x＝>1， 所以f (x)在(－∞，1)上单调递减． 综上所述，f (x)在上单调递减， 在上单调递增． (2)由(1)知，f (x)min＝f ＝－b－． 因为f (x)的图象与x轴有两个交点， 所以f (x)min<0． 由－b－<0，得b>－， 所以实数b的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$