三角形全等的判定 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

三角形全等的判定 思维导图 知识要点： 1. 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角 形的对应边相等、对应角相等。 2. 判定两个三角形全等有四个判定定理：SSS，SAS，ASA和AAS。 1. 三角形全等用符号“≌”表示。注意：在记两个三角形全等时，通常把 对应顶点写在对应位置上。 2. 三角形全等的判定定理：（1）判定定理1（SSS）：三边对应相等的 两个三角形全等。（2）判定定理2（SAS）：两边及其夹角对应相等的 两个三角形全等。（3）判定定理3（ASA）：两个角及其夹边对应相等 的两个三角形全等。（4）判定定理4（AAS）：两角及其中一个角的对 边对应相等的两个三角形全等。 3. 三角形全等的四种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已 知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角 对应相等，则必须再找一组边对应相等；若已知一边一角对应相等，则 找另一组角，当已知边为该已知角的邻边时，也可以找这个角的另一组 对应邻边。 知识点一：三角形全等的判定 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连结BE，CF，且BE∥CF。求证：△CDF≌△BDE。 利用中线的性质可得BD=CD，由平行线的性质可得 ∠DBE=∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE=∠CDF，即可证得结论。 ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。 ∵BE∥CF，∴∠DBE=∠DCF。 在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（ASA）。 本题考查三角形全等的判定，证明三角形全等需要三个条 件，证明时题目中的间接条件需要先转化为直接条件。本题也可根据 BE∥CF，得出∠BED=∠CFD，∠DBE=∠DCF，结合条件BD=CD，由判定定理4（AAS）证明三角形全等。 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD=AB，过点C作CE∥AB且CE=BC，连结DE并延长，分别交AC，AB于点F，G，求证：△ABC≌△DCE。 【答案】∵CE∥AB，∴∠B=∠DCE。 在△ABC和△DCE中，∵ ∴△ABC≌△DCE（SAS）。 知识点二：利用全等三角形证明边角相等 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是边BC上一点，CD=AB，点E在边AC上。 （1）若∠ADE=∠B，求证： ①∠BAD=∠CDE。 ②BD=CE。 （2）若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度数。 （1）①利用三角形的内角和等于180°，通过角度换算即可 解决问题。②利用ASA证明△ABD≌△DCE，即可解决问题。（2）由SAS证明△ABD≌△DCE，可得∠BAD=∠CDE，进而根据三角形的内角和等于180°即可解决问题。 （1）①∵在△ABD中，∠BAD+∠B+∠ADB=180°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB。又∵∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，且∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE。 ②由①得∠BAD=∠CDE。 在△ABD和△DCE中，∵∴△ABD≌△DCE（ASA）。 ∴BD=CE。 （2）在△ABD和△DCE中，∵∴△ABD≌△DCE（SAS）。 ∴∠BAD=∠CDE。又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∴∠ADE=180°-∠BAD- ∠ADB=∠B。在△ABC中，∵∠BAC=70°，∠B=∠C，∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=×110°=55°。∴∠ADE=55°。 本题考查全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是利用 △ABD≌△DCE得到线段和角之间的等量关系。 如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD=4 cm，BC=3 cm，且AD∥BC。 （1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？ 【答案】（1）当点F运动到离点A为4 cm（即AF=AD=4 cm）时， △ADE≌△AFE。理由如下：∵EA平分∠DAB，∴∠DAE=∠FAE。在△AFE和△ADE中，∵∴△AFE≌△ADE（SAS）。 （2）在（1）的条件下，此时BF=BC吗？为什么？并求出AB的长。 【答案】（2）BF=BC。理由如下：∵△AFE≌△ADE，∴∠D=∠AFE。∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°。∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠C=∠BFE。 ∵EB平分∠CBA，∴∠EBF=∠EBC。在△EFB和△ECB中，∵∴△EFB≌△ECB（AAS）。∴BF=BC。∵AF=AD=4 cm，BF=BC=3 cm，∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）。 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，CF⊥BD于点F。 （1）求证：BE=CF。 （2）若BD=2AE，求证：∠EAD=∠ABE。 （1）欲证明BE=CF，只要证明△ABE≌△BCF即可。（2）将条件转化为BF=DF，再证明△BCF≌△DCF可得∠BCF=∠DCF，最后根据平行线的性质证得结论。 （1）∵∠ABC=90°，CF⊥BD，AE⊥BD， ∴∠ABE+∠EBC=90°=∠EBC+∠BCF，∠E=∠BFC=90°。∴∠ABE=∠BCF。 在△ABE和△BCF中，∵∴△ABE≌△BCF（AAS）。 ∴BE=CF。 （2）由（1）得△ABE≌△BCF，∴AE=BF。又∵BD=BF+FD=2AE，∴BF=DF。 ∵CF⊥BD于点F，∴∠DFC=∠BFC=90°。在△BCF和△DCF中， ∵∴△BCF≌△DCF（SAS）。∴∠BCF=∠DCF。∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CF。∴∠EAD=∠ACF。∵∠ABE=∠BCF=∠ACF，∴∠EAD=∠ABE。 本题考查全等三角形的性质和判定，关键是利用三角形内角 的关系进行角之间的等量转换，并能利用全等三角形的对应边、对应角 相等证明线段或角之间的等量关系。 1. 下列所给条件中，能画出唯一的△ABC的是（　B　） A. AC=3，AB=4，BC=8 B. ∠A=50°，∠B=30°，AB=10 C. ∠C=90°，AB=90 D. AC=4，AB=5，∠B=60° 2. 如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数为（　A　） A. 72° B. 60° C. 58° D. 50° B A 3. 如图，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件是（　B　） A. AC∥DF B. BC=EF C. AC=DF D. ∠ACB=∠F B 4. 如图，AD∥BC，AD=BC，AC与BD相交于点O，EF过点O并分别交AD，BC于点E，F，则图中的全等三角形共有（　C　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 C 5. 如图，CM=CN，若用“边边边”证明△CMO≌△CNO，则需要添加的条件是 ⁠。 OM=ON 6. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAE=∠BAD，AC=AE。 （1）若添加条件 ，可用SAS推得△ABC≌△ADE。 （2）若添加条件 ，可用ASA推得△ABC≌△ADE。 AB=AD ∠C=∠E 7. 如图，AB=AE，AB∥DE，∠ACB=∠D，求证：△ABC≌△EAD。 【答案】∵AB∥DE，∴∠E=∠BAC。 在△ABC和△EAD中，∵∴△ABC≌△EAD（AAS）。 8. 如图，AC∥DF，B为线段AC上一点，连结BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC，DF于点G，E，DG=CH，求证：△CAG≌△DFH。 【答案】∵AC∥DF，AE∥BF，∴∠C=∠D，∠AGC=∠DHF。 ∵DG=CH，∴CH+HG=HG+DG，即CG=DH。 在△CAG和△DFH中，∵∴△CAG≌△DFH（ASA）。 9. 如图1，AB=AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点F。 （1）求证：BD=CE。 【答案】（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CDA=∠BEA=90°。在△ADC和△AEB中，∵∴△ADC≌△AEB（AAS）。∴AD=AE。∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。 （2）如图2，连结AF，请直接写出图中所有的全等三角形。 【答案】（2）△ADC≌△AEB，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF， △BDF≌△CEF。 10. 如图，已知线段AB=40 m，AM⊥AB于点A，AM=20 m，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1 m，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走3 m，点P，Q同时从点B出发，则出发x s后，在射线AM上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为（　D　） A. 10 B. 20 C. 8或10 D. 10或20 D 11. 如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线的交点。画 出△DEF，使得△DEF与△ABC全等，这样的点F有 ⁠个。 4 12. 如图，BE交AC于点M，交CF于点D，AB交CF于点N， ∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列五个结论中，正确的是 ⁠。（填序号） ①∠1=∠2；②BE=CF；③△CAN≌△BAM；④CD=DN；⑤△AFN≌△AEM。 ①② ③⑤ 13. 如图，已知∠A=∠D，AB=DB，点E在AC边上，∠AED=∠CBE，AB和DE相交于点F。求证：△ABC≌△DBE。 【答案】∵∠A=∠D，∠AFE=∠BFD，∴∠AEF=∠DBF。 又∵∠AED=∠CBE，∴∠DBF=∠CBE。∴∠CBE+∠ABE=∠ABD+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。在△ABC和△DBE中，∵∴△ABC≌△DBE（ASA）。 14. 如图1，在△ABC中，∠A=∠ABC，延长AC到点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到点G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于点H，且EF=GH。 （1）求证：△AEF≌△BGH。 【答案】（1）∵∠ABC=∠GBH，∠A=∠ABC，∴∠A=∠GBH。∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠AFE=∠BHG。在△AEF和△BGH中， ∵∴△AEF≌△BGH（AAS）。 （2）如图2，连结EG与FH相交于点D，若AB=4，求DH的长。 【答案】（2）∵△AEF≌△BGH，∴AF=BH。∴AF-BF=BH-BF，即AB=FH。∴FH=4。∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFD=∠GHD。在△EFD和△GHD中，∵∴△EFD≌△GHD（AAS）。。 15. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本 图形。如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E。求证：DE=BD+CE。 【答案】（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°。 ∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°。 ∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD。在△ADB和△CEA中， ∵∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。∴DE=AE+AD=BD+CE。 （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？ 如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角。请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。 【答案】（2）DE=BD+CE成立。证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α。∴∠DBA=∠CAE。在△ADB和△CEA中，∵∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴BD=AE，AD=CE。∴DE=AE+AD=BD+CE。 （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解 决问题：如图3，过△ABC的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形 ACFG，AH是BC边上的高线，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点。 【答案】（3）如图，过点E作EM⊥HI于点M，过点G 作GN⊥HI交HI的延长线于点N。∴∠EMI=∠GNI=90°。由 （1）和（2）的结论可知EM=AH=GN。在△EMI和 △GNI中，∵∴△EMI≌△GNI（AAS）。∴EI=GI。∴I是EG的中点。 $$