1.4 全等三角形的性质与应用 期末复习专题突破 课件-2024-2025学年浙教版数学八年级上册

全等三角形的性质与应用 思维导图 知识要点： 1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2. 全等三角形的对应边上的高线、中线以及对应角的平分线相等。 3. 全等三角形的周长相等，面积相等。 1. 全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对 应角和对应边。 2. 平移、翻折、旋转前后的图形全等，熟悉全等基本模型并能用变换的 眼光找到全等三角形。 3. 在应用三角形全等的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必 要时添加适当辅助线构造三角形。常见的辅助线作法：①把三角形一边 的中线延长，把分散的条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的常 用方法。②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短 法”。这些问题经常需要用到全等三角形来证明。 4. 利用全等三角形解决实际问题一般是把实际问题先转化为数学问题， 再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中 的边角关系是关键。 知识点一：全等三角形在生活实际中的应用 小明利用一根长3 m的竿子CD来测量垂直于地面的路灯杆AB的高 度，方法如下：如图，在地面上选一点P，使BP=3 m，并测得 ∠APB=70°，然后把CD在BP的延长线上左右移动，使竿子CD垂直于地 面，且∠CPA=90°，此时测得BD=11.2 m。 （1）此时∠C的度数为 　　　　。 （2）路灯杆AB的高度为 　　　　 m。 （1）根据角之间的数量关系即可求得答案。（2）根据题意 可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可。 （1）∵∠APB=70°，∠CPA=90°，∴∠CPD=20°。∵∠CDP=90°，∴∠C=90°-∠CPD=70°。故答案为70°。 （2）在△CPD和△PAB中，∵∴△CPD≌△PAB（ASA）。∴DP=BA。 ∵BD=11.2 m，BP=3 m，∴DP=BD-BP=8.2 m，即AB=8.2 m。 故答案为8.2。 本题考查全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是 解题的关键。 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造 △ABC与△BCD来测量点A，B间的距离，其中AC=CD，∠ACB=∠BCD，那么量出的BD的长度就是AB的距离。请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由。 【答案】正确。理由如下：在△ABC和△DBC中，∵ ∴△ABC≌△DBC（SAS）。∴AB=DB。 知识点二：利用全等三角形的性质解决几何问题 如图，BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的高线，且BP=AC， CQ=AB。求证： （1）AP=AQ。 （2）AP⊥AQ。 （1）首先证明∠FCA=∠ABP，再加上条件BP=AC，AB=CQ可以证明△APB≌△QAC，进而得到AP=AQ。（2）根据△APB≌△QAC可得∠PAB=∠Q，再证明∠Q+∠FAQ=90°可得∠PAB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°，即可证出AP⊥AQ。 （1）∵BE，CF是△ABC的高线，∴∠BFP=∠CEP=90°。 ∴∠BAC+∠FCA=90°，∠ABP+∠BAC=90°。∴∠FCA=∠ABP。 在△APB和△QAC中，∵∴△APB≌△QAC（SAS）。∴AP=AQ。 （2）∵△APB≌△QAC，∴∠PAB=∠Q。∵AB⊥QC，∴∠QFA=90°。∴∠Q+∠FAQ=90°。∴∠PAB+∠FAQ=90°，即∠PAQ=90°。∴AP⊥AQ。 本题考查全等三角形的判定与性质，关键是证明 △QAC≌△APB，根据三角形全等可证明角和边的相等关系。 已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD交于点F。 （1）如图1，当α=90°时，求证：△ACE≌△BCD，AE⊥BD。 【答案】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。在△ACE和△BCD中，∵∴△ACE≌△BCD（SAS）。 ∴∠CAE=∠CBD。∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，即∠EAB+∠ABD=90°。 ∴∠AFB=90°。∴AE⊥BD。 （2）如图2，当α=60°时，直接写出∠AFB的度数为 　　　　。 【答案】（2）同（1）理可证△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD。∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=120°，即 ∠EAB+∠ABD=120°。∴∠AFB=180°-120°=60°。故答案为60°。 （3）如图3，直接写出∠AFD的度数为 　　　　（用含α的式子表示）。 【答案】（3）同（1）理可证△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE=∠CBD。∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°-α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°-α，即∠EAB+∠ABD=180°-α。∴∠AFD=∠FAB+∠ABF=180°-α。故答案为180°-α。 如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P，设∠A=n°。 （1）当n=56时，求∠CPD的度数。 （2）求∠BPC的度数。（用含n的代数式表示） （3）当n=60时，求证：BC=CD+BE。 （1）根据∠CPD=∠1+∠2，∠1+∠2=（180°-∠A），即可解决问题。（2）利用（1）中的结论∠CPD=（180°-∠A），即可解决问题。（3）在线段BC上截取CG，使得CG=CD，利用全等三角形的性质，证明BE=BG，进而可以解决问题。 （1）∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB。∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）。∴∠CPD=∠1+∠2=（180°-∠A）。 当n=56时，∠CPD=（180°-∠A）=×（180°-56°）=62°， 即∠CPD=62°。 （2）由（1）得∠CPD=（180°-∠A）=（180°-n°）。∴∠BPC=180°-∠CPD=180°-（180°-n°）=90°+n°。 （3）如图，在线段BC上截取CG，使得CG=CD，连结PG。当n=60时， ∠CPD=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，∠BPC=180°-∠CPD=120°。在△CPD和△CPG中，∵∴△CPD≌△CPG（SAS）。∴∠CPG=∠CPD=60°。 ∴∠BPG=∠BPC-∠CPG=60°。∵∠BPE=∠CPD=60°， ∴∠BPE=∠BPG。 在△BEP和△BGP中，∵∴△BEP≌△BGP（ASA）。 ∴BE=BG。 ∴BC=BG+GC=BE+CD。∴BC=BE+CD。 本题考查三角形的内角和、三角形全等的判定、全等三角形 对应角、对应边相等的性质，难点是利用“截长补短”的方法构造全等三 角形来证明两条线段之和等于第三条线段。 1. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的 垂线BF上的点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A，C在一条直线上，这时测得DE=4 m，CE=5 m，BD=6 m，则AB的长为 （　C　） A. 6 m B. 3 m C. 4 m D. 5 m C 2. 如图，小雨同学为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一 点P，测得PC与地面夹角∠DPC=18°，测得PA与地面夹角∠APB=72°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度都是9 m，量得旗杆与楼之间的距离DB=36 m，则楼高AB为（　B　） A. 36 m B. 27 m C. 25 m D. 18 m B 3. 如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=65°，则∠ACD的度数为（　D　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° D 4. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=64°，则∠A的度数为（　B　） A. 42° B. 52° C. 62° D. 51° B 5. “三月三，放风筝”，如图所示为小明制作的风筝的示意图，他根据 DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 ⁠（用字母表示）。 SSS 6. 如图，△ABC≌△DEC，过点A作AF⊥CD于点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为 ⁠。 25° 7. 如图，在正方形网格中，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中点A， B，C，D中的点 ⁠。 D 8. 如图，在△ACD中，∠CAD=90°，AC=5，AD=12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F。若AB=DE，则图中涂色部分的面积为 ⁠。 30 9. 如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OP，OQ为海岸 线，一轮船从码头开出，计划沿∠POQ的平分线航行，在航行途中的某 时刻测得船所在的位置C与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离 航线？请说明理由。 【答案】此时轮船没有偏离航线。理由如下： 连结OC。在△AOC和△BOC中，∵∴△AOC≌△BOC（SSS）。∴∠AOC=∠BOC。∴此时轮船没有偏离航线。 10. 如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知 ∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4。 （1）求∠CBE的度数。 【答案】（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴∠ABD+∠CBE=132°。∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC=∠DBE。∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE。∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，即∠CBE的度数为66°。 （2）求△CDP与△BEP的周长和。 【答案】（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4。∴△CDP与△BEP的周长和DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5。 11. 如图，在△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠ABC=∠AEF，∠EAB=40°，AB交EF于点D，连结EB。下列结论：①∠FAC=40°；②AF=AC；③∠EFB=40°；④∠EBC=110°。其中正确的是（　C　） A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ C 12. 如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若∠1=150°，则∠α的度数为 ⁠。 【解析】∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=150°，∠ACD=∠E。∴∠CAE=360°-∠1-∠BAE=360°-150°-150°=60°。∵∠DFE=∠AFC，∴∠α=∠CAE=60°。故答案为60°。 60° 13. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，E为BC上一点，连结AE，∠BAE∠CAD，连结DE。有下列结论：①AC⊥DE；②∠ADE=∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE=CE+2BE。其中正确的是 ⁠。（填序号） ②③④ 【解析】如图，延长EB至点G，使BG=BE，连结AG，设AC与DE交于点 M。∵∠ABC=90°，∴AB⊥GE。∴AB垂直平分GE。∴AG=AE，∠G=∠AEB。∴∠GAB=∠BAE= ∴△GAC≌△EAD（SAS）。∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE。 故②正确。∵∠AEG=∠G=∠AED，∴AE平分∠BED。当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90°，则AC⊥DE；当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE。故①不正确。设∠BAE=x，则∠CAD=2x，∴∠ACD=∠ADC==90°-x。∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=90°-x。∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=90°-x-x=90°-2x。∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°- 2x+2x=90°。∴AE⊥AD。故③正确。∵△GAC≌△EAD，∴CG=DE。∵CG=CE+GE=CE+2BE， ∴DE=CE+2BE。故④正确。 故答案为②③④。 14. 如图所示为某小区内小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于 铅垂线BD上，转轴中心B到地面的距离BD=3 m。在荡秋千过程中，当秋 千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2 m，点A到地面的距离 AE=1.8 m；当从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB。求： （1）点A′到BD的距离。 【答案】（1）如图，过点A'作A'F⊥BD，垂足为F。 ∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠A'FB=90°。在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2=90°。∴∠2=∠3。 在△ACB和△BFA'中，∵∴△ACB≌△BFA'（AAS）。 ∴A'F=BC。∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD=AE=1.8 m。∴BC=BD-CD=3-1.8=1.2（m）。∴A'F=1.2 m，即点A'到BD的距离是1.2 m。 （2）点A′到地面的距离。 【答案】（2）由（1）知△ACB≌△BFA'，∴BF=AC=2 m。如图，过点A'作A'H⊥DE，垂足为H。∵A'F∥DE，∴A'H=FD。∴A'H=BD-BF=3-2=1（m），即点A'到地面的距离是1 m。 15. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线EG交AB于点E，交AB的平行线CG于点G，DF⊥EG，交AC于点F。 （1）求证：BE=CG。 【答案】（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。∵AB∥CG，∴∠B=∠DCG。在△BDE和△CDG中，∵∴△BDE≌△CDG（ASA）。∴BE=CG。 （2）判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。 【答案】（2）BE+CF>EF。理由如下：连结FG。∵△BDE≌△CDG， ∴DE=DG。又∵FD⊥EG，∴FD垂直平分EG。∴EF=GF。 又∵△CFG中，CG+CF>GF，∴BE+CF>EF。 16. 把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD， 其中∠A=∠B=90°，AC=BC，以点D为顶点作∠MDN，分别交边AC，BC于点M，N。 （1）如图1，若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论。 【答案】（1）AM+BN=MN。证明如下：如图1，延长CB 到点E，使BE=AM，连结DE。 ∵∠A=∠CBD=90°，∠ACD=30°，∴∠A=∠EBD=90°， ∠ADC=∠BDC=60°，∠ADB=120°。在△DAM和△DBE中，∵∴△DAM≌△DBE（SAS）。∴∠BDE=∠ADM，DM=DE。 ∴∠BDE+∠BDM=∠ADM+∠BDM，即∠MDE=∠ADB=120°。∵∠MDN=60°， ∴∠EDN=60°。在△MDN和△EDN中，∵∴△MDN≌△EDN（SAS）。∴MN=EN。∵EN=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN。 （2）如图2，当∠ACD+∠MDN=90°时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论。 【答案】（2）AM+BN=MN。证明如下：如图2，延长CB到点E，使BE=AM，连结DE。同（1）理得 △DAM≌△DBE，∴∠BDE=∠ADM，DM=DE。 ∴∠MDE=∠ADB=。 ∵∠ACD+∠MDN=90°，∠ACD+∠ADC=90°，∴∠MDN=∠ADC。∴∠MDE=2∠MDN。∴∠MDN=∠EDN。在△MDN和△EDN中，∵∴△MDN≌△EDN（SAS）。∴MN=EN。∵EN=BE+BN=AM+BN，∴AM+BN=MN。 （3）如图3，在（2）的条件下，若将M，N分别改在CA，BC的延长线 上，完成图3，其余条件不变，则AM，MN，BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）？ 【答案】（3）BN-AM=MN。如图3，在CB上截取 BE=AM，连结DE。同（1）（2）理得△DAM≌△DBE，△MDN≌△EDN。∴MN=EN。∵EN=BN-BE=BN-AM，∴BN-AM=MN。 $$