与三角形有关的线段 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

与三角形有关的线段 知识要点： 1. 从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角 形的高线。 2. 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，这个内角的顶 点与所交的点之间的线段叫作三角形的角平分线。 3. 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫作三角形的中线。 1. 三角形有三条中线，三条高线，三条角平分线，它们都是线段。 2. 锐角三角形的三条高线在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三 角形有两条高线与直角边重合，另一条高线在三角形内部，它们的交点 是直角顶点；钝角三角形有两条高线在三角形外部，一条高线在三角形 内部，三条高线所在的直线相交于三角形外一点。三角形三条高线的交 点称为三角形的垂心。 3. 三角形的面积等于底边长与高线长乘积的一半，即S=×底×高。根据 等底同高的三角形面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的 两部分。 知识点一：三角形的高线、中线与三角形的面积关系 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是16，则涂色部分的面积是 　　　　。 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可知 △ADC是涂色部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，由此可解。 ∵D，E分别是BC，AD的中点，∴，。 ∴。故答案为4。 本题考查根据三角形的中线求面积，掌握“三角形的中线将 三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键。 如图，在△ABC中，AD是高线，AE是中线，若AD=3， S△ABC=12，则BE的长为（　D　） A. 1 B. C. 2 D. 4 D 在△ABC中，AD，AE，AF分别是它的高线、角平分线和中线，则下列说法中，错误的是 （　　） A. BF=CF B. ∠ACB+∠CAD=90° C. AD≤AE D. S△ABC=2S△ABF 根据中线定义可判定选项A；根据当∠ACB>90°时，高线AD在△ABC的外部，此时∠ACB+∠CAD>90°可判定选项B；根据垂线段最短可判定选项C；根据中线的性质可判定选项D。 ∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴BF=CF。故A选项不符合题意。 ∵在△ABC中，AD是△ABC的高线，∴当∠ACB>90°时，高线AD在△ABC的外部，此时∠ACB+∠CAD>90°。故B选项符合题意。 ∵在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是角平分线，垂线段最短， ∴AD≤AE。故C选项不符合题意。∵在△ABC中，AF是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ABF。故D选项不符合题意。故选B。 本题考查三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形 的高线、中线、角平分线的定义与性质是解题的关键。 如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若△ABC的面积为32，求四边形ADEF的面积。 【答案】∵D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，∴S△ABD=S△CBD， S△ABF=S△ADF，S△BDE=S△CDE，S△BEF=S△DEF。∴S△ADF=×32=4。∴S四边形ADEF=S△ADF+S△DEF=8+4=12。 知识点二：三角形的高线、角平分线与角度计算问题 如图，AD为△ABC的高线，AE，BF为△ABC的角平分线。若 ∠CBF=32°，∠AFB=72°。 （1）求∠DAE的度数。 （2）若G为线段BC上任意一点，当△GFC为直角三角形时，求∠BFG的度数。 （1）根据∠DAE=∠BAE-∠BAD，求出∠BAE，∠BAD的度数即可解决问题。（2）分两种情况：①当∠FGC=90°时；②当∠GFC=90°时，分别求解即可。 （1）∵BF为△ABC的角平分线，∴∠ABF=∠CBF=32°，∠ABD=2∠CBF=64°。∴∠BAF=180°-∠ABF-∠AFB=180°-32°-72°=76°。 ∵AD为△ABC的高线，∴∠ADB=90°。∴∠BAD=180°-∠ABD- ∠ADB=26°。 ∵AE为△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=38°。∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-26°=12°。 （2）分两种情况： ①当∠FGC=90°时，∠BGF=90°，∴∠BFG=180°-∠BGF-∠FBC=180°-90°-32°=58°。 ②当∠GFC=90°时，∠BFG=180°-∠AFB-∠GFC=180°-72° -90°=18°。 综上所述，∠BFG的度数为58°或18°。 本题考查三角形内角和定理，高线、角平分线的定义等知 识，解题的关键是熟练根据定义确定角之间的数量关系。 如图，在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC交BC于点D，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E。 （1）若∠B=35°，∠ACB=75°，求∠E的度数。 【答案】（1）∵∠B=35°，∠ACB=75°，∴∠BAC=70°。 ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=35°。∴∠ADC=70°。 又∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°。∴∠E=20°。 （2）求证：∠E=（∠ACB-∠B）。 【答案】（2）∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠BAC=180°-（∠B+∠ACB）。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=（∠B+∠ACB）。∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°-（∠ACB-∠B）。∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°。∴∠ADC+∠E=90°。 ∴∠E=90°-∠ADC，即∠E=（∠ACB-∠B）。 如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD是△ABC的角平分线，BE是AC边上的高线，设∠BAC=α。 （1）探究与发现： ①如图1，若α=30°，则∠C的度数为 　　　　，∠DBE的度数 为 　　　　。 ②试探究∠DBE与α的数量关系，并说明理由。 （2）拓展与思考： 如图2，∠BDC的平分线DF交BC于点F。当DF∥AB时，求∠DBE的度数。 （1）①根据三角形的内角和定理及角平分线的定义可得 ∠C=75°，∠ABD=37.5°，则∠BDE=67.5°，然后根据垂直定义得出∠BED=90°即可求得∠DBE。②从特殊到一般，参考（1）①的解题思路即可用含α的代数式表示出∠DBE的度数。（2）利用（1）的结论，结合角平分线的定义可得∠BDF，然后利用平行线的性质可得∠ABD=∠BDF，从而列出关于α的方程，解出α，从而求得结果。 （1）①75° 22.5° ②∠DBE=45°-α。理由如下： ∵∠BAC=α，∴∠ABC=∠C=（180°-α）=90°-α。 ∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=45°-α。 ∴∠BDC=∠A+∠ABD=45°+α。∵BE是AC边上的高线，∴∠BED=90°。 ∴∠DBE=180°-∠BED-∠BDC=180°-90°-=45°-α。 （2）由（1）可得∠ABD=45°-α，∠BDC=45°+α，∠DBE=45°-α。 ∵DF平分∠BDC，∴∠BDF=∠BDC=22.5°+α。 ∵DF∥AB，∴∠ABD=∠BDF。∴45°-α=22.5°+α，解得α=36°。 ∴45°-α=18°，即∠DBE=18°。 本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理、外角性质等 与角有关的性质，从复杂的图形中找出三角形并根据三角形的有关性质 确定角之间的数量关系是解题的关键。 1. 下列各三角形中，正确画出AC边上的高线的是（　D　） A. B. C. D. D 2. 如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点。若BD=5，CD=9，则CE的长为（　C　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 C 3. 有下列说法：①三角形的中线、角平分线、高线都是线段；②三角形 的三条高线必交于一点；③三角形的三条角平分线必交于一点；④三角 形的三条高线必在三角形内。其中正确的是（　B　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 4. 如图，G为△ABC三边的中线AD，BE，CF的交点。若S△ABC=24 cm2，则图中涂色部分的面积为（　C　） A. 6 cm2 B. 7 cm2 C. 8 cm2 D. 10 cm2 B C 5. 已知BD是△ABC的中线，若AB=10，BC=8，则△ABD与△BCD的周长之差为 ⁠。 6. 如图，∠D=∠E=∠FAC=90°，则线段 是△ABC中AC边上的高。 2 BD 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4 cm2，则涂色部分的面积为 cm2。 1 8. 如图，AD是△ABC的高线，△ABC的两条角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC=60°，∠C=70°，求∠CAD，∠BOA的度数。 【答案】∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC=90°。∵∠ADC+∠C+∠CAD=180°， ∠C=70°，∴∠CAD=180°-90°-70°=20°。∵∠ABC+∠C+∠CAB=180°，∠C=70°， ∠BAC=60°，∴∠ABC=180°-70°-60°=50°。∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO=∠ABC=25°。∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°，∴∠AOB=180°-25°-30°=125°。 9. 如图，在△ABC中，AB∶AC=3∶2，BC=AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7的两部分，求边AB，AC的长。 【答案】设AB=3x，AC=2x，则BC=2x+1，AD=DC=x。 由题意得，①3x+x=（3x+2x+2x+1）×。 10. 如图，BD是△ABC的角平分线，E为BC上一点，AE⊥BD，垂足为F。若∠ABC=40°，∠C=45°，则∠CAE的度数为（　D　） A. 35° B. 40° C. 45° D. 25° D 11. 如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线。若△ABC的面积是32，则涂色部分的面积是（　B　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 20 B 【解析】∵BD是△ABC的边AC上的中线，∴。∵AE是△ABD的边BD上的中线，∴。又∵BF是△ABE的边AE上的中线，则CF是△ACE的边AE上的中线，∴。∴S涂色=S△BEF+S△CEF=4+8=12。故选B。 12. 如图，已知△ABC的面积是10 cm2，AD=2AE，BC=3DC，则涂色部分的面积是 ⁠。 4 cm2 13. 如图，BE，CE分别为△ABC的内、外角平分线，BF，CF分别为△EBC的内、外角平分线。若∠A=44°，则∠BFC= °。 11 【解析】∵CE平分∠ACD，BE平分∠ABC，∴∠ECD= ∠ABC。又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E=∠ECD-∠EBC=×44°=22°。同理可证∠BFC=×22°=11°。故答案为11。 14. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D。 （1）求∠BDC的度数。 【答案】（1）∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°。∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD= ∠ACB。∴∠CBD+∠BCD=×110°=55°。∴∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-55°=125°。 （2）试比较DA+DB+DC与（AB+BC+AC）的大小，写出推理过程。 【答案】（2）DA+DB+DC>（AB+BC+AC）。 15. 已知在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高线。 （1）如图1，若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数。 【答案】（1）∵∠B=40°，∠C=60°，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=80°。∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=40°。∵AE是△ABC的高 线，∴∠AEC=90°。∵∠C=60°，∴∠CAE=180°-90°-60°=30°。∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°。 （2）如图2（∠B<∠C），则∠DAE，∠B，∠C之间的数量关系 为 　　　　　　　　。 【答案】（2）∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C。∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠B。 （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数。 【答案】（3）∵∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，∴∠CAE=2∠CAG， ∠FCB=2∠FCG。∵∠FCB-∠AEC=∠CAE，∠CAG=∠FCG-∠G，∴2∠FCG-∠AEC=∠CAE=2∠CAG=2（∠FCG-∠G）=2∠FCG-2∠G，即∠AEC=2∠G。 ∵AE是△ABC的高线，∴∠AEC=90°。∴∠G=45°。 16. 如图，已知△ABC。 （1）在图1中，若D1，E1分别为AB，BC的中点，则涂色部分与△ABC的面积比等于 　​ 　。 【解析】（1）设△BD1E1的面积为1，则空白三角形的面积为1，另一个 涂色部分三角形的面积为2，∴涂色部分与△ABC的面积比=。 ​ （2）在图2中，若D1，D2为AB的三等分点，E1，E2为BC的三等分点，则涂色部分与△ABC的面积比等于 　​ 　。 【解析】（2）设△BD1E1的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别 为1，2，3，从右到左空白三角形的面积分别为2，1，∴涂色部分与 △ABC的面积比=。 ​ （3）在图3中，若D1，D2，D3为AB的四等分点，E1，E2，E3为BC的四等分点，则涂色部分与△ABC的面积比等于 　​ 　。 【解析】（3）设△BD1E1的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别 为1，2，3，4，从右到左空白三角形的面积分别为3，2，1，∴涂色部分 与△ABC的面积比=。 ​ （4）在图4中，若D1，D2，D3，…，D8为AB的九等分点，E1，E2， E3，…，E8为BC的九等分点，则涂色部分与△ABC的面积比等于 　​ 　。 【解析】（4）设△BD1E1的面积为1，则从左到右涂色三角形的面积分别 为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从右到左空白三角形的面积分别为8， 7，6，5，4，3，2，1，∴涂色部分与△ABC的面积比=。 ​ $$