第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九上 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题 1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是则m的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 3．将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．B． C． D． 4．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 5 6 … … 4 1 4 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．关于的一元二次方程有两个不等的实数根 B． C．该二次函数有最大值 D．当时，的值随值的增大而增大 5．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 7．在直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的距离是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4m时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，二次函数与的图象与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于、两点，设面积为S，那么能表示S与函数关系的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式 ． 12．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6的最小值是 ． 13．二次函数的图象开口方向是 （填“向上”或“向下”）． 14．将抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线表达式为 ． 15．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为 ． 18．已知抛物线（，，是常数，且），经过，下列四个结论： ①若抛物线经过，则对称轴为直线； ②若抛物线顶点在第二象限，则； ③若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则； ④若该抛物线经过点和，不等式的解集中包含6个整数，则的取值范围是．其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 19．若二次函数的图象过点（0，2），且当x＝1时，此函数的最大值为3，求此二次函数的解析式． 20．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索上，，且，，求的长． 21．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； （4）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 参考答案 1．【答案】A 【分析】根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、当时，是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意, 故此题答案为A． 2．【答案】D 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴， 故选D． 3．【答案】C 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选C． 4．【答案】A 【分析】根据表格中给出的对应值的特征分析即可． 【详解】解：A、由可得，当时对应的和，即可得到关于的一元二次方程有两个不等的实数根，选项结论正确，符合题意； B、由表格可得，当时，选项结论错误，不符合题意； C、由表格可以发现，随着的增大，抛物线的值先减小再增加，则抛物线开口向上，有最小值，选项结论错误，不符合题意； B、由表格可得，抛物线过和，则对称轴为直线，当时，的值随值的增大而增大，选项结论错误，不符合题意； 故选A． 5．【答案】A 【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 6．【答案】A 【分析】根据当时，，可得函数的对称轴为，且开口向下，据此可得答案． 【详解】解：当时，， 可得函数的对称轴为，且开口向下， 所以二次函数的图象的对称轴为，且开口向下， 故B、C、D选项错误； 故选A． 7．【答案】A 【分析】先根据“上加下减”求出平移后的抛物线解析式，再令，求出新抛物线与轴交点，即可求解． 【详解】解：将函数的图象向上平移5个单位得到新函数为． 当，则， 解得：或 ∴交点横坐标为，． ∴新函数的图象与轴两个交点之间的距离是， 故选A． 8．【答案】C 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4m时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意. 故选C． 9．【答案】A 【分析】根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，从而求得和的长，即可求得与的比值． 【详解】根据题意：， 解得：， ， ， 根据题意得：， 解得：， ， ， 故选A． 10．【答案】B 【分析】根据题意可表示出各阶段的函数解析式，从而可以得到各阶段的函数图象，进而得到哪个是正确的． 【详解】解：∵当点从移至点A时． ，． ∴（）， 当时． 此时点到的距离不变． ∴． 当点时． ． 故选B． 11．【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】直接根据二次函数的顶点式即可得出结论． 【详解】解：写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式 12．【答案】-6 【分析】由二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣6， ∴最小值是﹣6. 13．【答案】向上 【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，， ∴二次函数的图象开口方向向上． 【知识归纳】二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小．当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口．|a|越大，则二次函数图像的开口越小． 14．【答案】 【分析】根据平移规律即可求出新抛物线的解析式． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线的表达式为． 【关键点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是，横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”． 15．【答案】16 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解： 解：∵， ∴当时，Ｓ取得最大值64， 即飞机着陆后滑行16秒才能停下来． 16．【答案】或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或. 17．【答案】4 【分析】将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 18．【答案】①③ 【分析】根据对称点求解对称轴，即可判断①；抛物线顶点为，由顶点在第二象限得到，，继而得到，而，那么的符合判断不了，即可判断②；由题意得，而，代入化简，结合完全平方公式证明，即可判断③；可得，设不等式的两根为，则，不等式的解集为，由于不等式的解集中包含6个整数，确定，而，则，那么，通过反比例函数的图象与性质解得，而，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线经过 ∴， ∴， ①∵抛物线经过，， ∴对称轴为直线：，故①正确； ②∵抛物线经过 可得抛物线顶点为， ∵顶点在第二象限， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴可以是正数，负数或0， ∴②错误； ③∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴③正确； ④∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设不等式的两根为， ∵，抛物线经过，， ∴ ∵， ∴不等式的解集为， ∵不等式的解集中包含6个整数， ∴整数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴， 故④错误， ∴正确的为①③. 19．【答案】 【分析】根据题意设抛物线解析式为顶点式，可以求得此二次函数的解析式； 【详解】解：∵当x＝1时，此函数的最大值为3， ∴顶点坐标为： 设抛物线为： ∵二次函数的图象过点（0，2）， ∴ 解得： ∴抛物线为： 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，得到抛物线的顶点坐标． 20．【答案】（1）； （2）的长为． 【分析】（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 21．【答案】（1）； （2）3元； （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得， 整理可得， 解得， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 22．【答案】（1） （2） （3）时，最大值为 （4） 【分析】（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． （3）解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （4）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$