专题01 椭圆的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题01 椭圆 题型一：椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题 题型二：轨迹问题 题型三：椭圆的简单几何性质 题型四：椭圆的实际问题 题型一：椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题 1．已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 2．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 3．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故答案为： 4．已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【详解】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 5．已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 6．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】 由题意得，记点，则，即为线段的中点， 为线段的中点，则在中，，， 则，所以动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 其焦距为，长轴长为，短半轴长为， 可得的最小值为2． 故选：B. 7．已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 8．（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为点和点在椭圆上，所以，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. （2）由的周长为，可知， 解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得， 即．① 又，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积， 则， 因为长轴长为，即， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以， 在椭圆中有，即， 解得. 10．平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 题型二：轨迹问题 11．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 12．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 13．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A 14．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 【答案】8 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 因为两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大， 最大值为. 故答案为：8 15．已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，曲线上的点构成集合， 设曲线C上的点，则， 所以，所以，即， 所以设， 所以曲线上的点到直线的最大距离为 ， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，曲线上的点到直线的最大距离为. 故选：A. 16．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 【答案】B 【详解】 如图建系，设正方体边长为，则， 可得， 又因为，所以， 化简得，即得， 动点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：B. 17．已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 18．如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 (1)求曲线C的方程; (2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为 （2）证明：设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； 由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，易知 由，得， ，得 所以 由可知，， 即， 将代入化简得，解得或舍去， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 19．已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， (1)求点T的轨迹的方程； (2)已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 因为，，所以，， 由，得，整理得， 则点T的轨迹的方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 此时AB中点， 因为，所以直线PD与直线AB垂直， 所以，即， 解得， 则 . 20．已知点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程; (2)设直线与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线与x轴相交于点D，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则点P到直线的距离为， 由题意得，，即， 整理化简得，所以曲线C的方程为. （2）设，，则. 联立，得，则，. 直线的方程为， 令，得，即. 由题意得，直线l过定点，∴， 化简得， 令，则， ∵在上单调递增，∴，得. ∴的面积的取值范围为. 题型三：椭圆的简单几何性质 21．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知椭圆方程，则. 根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为. 因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得： 即，移项可得. 因为，所以. 由，. 根据椭圆离心率公式，可得. 此椭圆的离心率为. 故选： B. 22．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 23．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点. 设，则.因为，所以， 所以.因为为的中点， 所以由梯形的中位线定理， 得， 所以.因为，所以，所以.因为， 所以在中由余弦定理， 得， 即，所以，即.又因为， 所以，即椭圆的长轴为8. 故选：C. 24．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为6 D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】 对于A，由题知，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，设上顶点为，，即，所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 对于C，设，由题知，，所以， 所以， 所以当时，，故C正确； 对于D，， 由C选项得， 所以当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 25．已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 26．已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 27．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 28．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）由题意知，且过点，即，，解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在点，使得 ，则 ．       设 ，则 ， ∴ ，直线 的方程为 ． ∵点 在直线上，∴， ∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得 ∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ∴存在点 ，使得 ，点的坐标为 或 ．    29．在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 【答案】(1)长轴长为6，离心率为． (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆方程得，，； 所以， 所以，； 所以椭圆长轴长为6，离心率为． （2）设点，，，， 设直线，联立方程 ， 消去y可得： 则；； 椭圆上顶点A坐标为， 所以直线；直线； 将，分别代入直线AB、AC 解得；； 所以 所以 将、代入 解得，得证． 30．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 题型四：椭圆的实际问题 31．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 32．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 33．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 34．已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：设切线上一动点为， 一方面根据椭圆定义得到， 当且仅当点在切点时，取到等号； 另一方面，设右焦点关于切线的对称点为， 设左焦点关于切线的对称点为， 则， 当且仅当点，，，三点共线时，取到等号； 所以，，三点共线，所以，故选项A正确； 对于选项B：由前面分析得到，同理， 所以，故选项B正确； 对于选项C：举反例说明，如取切点在椭圆上顶点时，则， 而所给椭圆中与的大小不确定，故选项C不正确； 对于选项D：设，，， 所以，，则， 又在中，， 化简得，即， 所以，故选项D正确. 故选：ABD. 35．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 36．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 【答案】 【详解】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为： 37．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：    延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故选：A. 38．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 39．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 【答案】 【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，， 则， 因为， 故， 所以， . 故答案为：. 40．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 椭圆 题型一：椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题 题型二：轨迹问题 题型三：椭圆的简单几何性质 题型四：椭圆的实际问题 题型一：椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题 1．已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 2．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 3．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为 ． 4．已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是 （    ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 5．已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 6．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一动点，延长到点，使得为线段的中点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 8．（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值. 10．平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 题型二：轨迹问题 11．在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 12．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 13．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为 ． 15．已知集合，曲线上的点构成集合，则曲线上的点到直线的最大距离为（   ） A． B． C． D． 16．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（    ） A．拋物线的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对 17．已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 18．如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 (1)求曲线C的方程; (2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 19．已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， (1)求点T的轨迹的方程； (2)已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 20．已知点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程; (2)设直线与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线与x轴相交于点D，求的面积的取值范围. 题型三：椭圆的简单几何性质 21．已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 22．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 23．古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 24．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为的中点，为上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最大值为6 D．的取值范围为 25．已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 26．已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 27．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 28．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 29．在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 30．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 题型四：椭圆的实际问题 31．（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 32．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 33．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 34．已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆的一条切线，切点为，，在直线上的投影分别为，，则（    ） A． B． C． D． 35．小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 36．嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是 . 37．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 38．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 39．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 40．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$