第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元测试·强化卷）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设抛物线的焦点为F，x轴上方有两点A，B在上，若直线AF与BF的倾斜角互补，且点到准线的距离为3，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】抛物线 的焦点坐标为；设，满足， 由抛物线的定义知：，所以，再代入到抛物线中可得到， ，又直线AF与BF的倾斜角互补，， 设，则， 又，联立可得到， 解得或（舍去，与重合）. 故选：B 2．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 3．已知双曲线的右焦点为，过点作互相垂直的直线，，与的右支交于，两点，，若与的左支交于点，且，，三点共线（是坐标原点），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：设点为双曲线的左焦点，不妨设，则， 由双曲线的定义可得，，易知为的中点， 由双曲线的对称性，知为的中点，故四边形为平行四边形． 因为，故四边形为矩形，则． 由勾股定理得，即，解得， 故，．又， 由勾股定理可得，即，整理可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：D 4．椭圆，圆与椭圆相交于四点，圆与椭圆相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】不妨设点在第一象限， 由矩形与矩形的面积相等， 得，即， 又在椭圆上，则 ，即，解得， 从而， 所以. 故选：B 5．已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因，则. 将代入双曲线方程，则. 则，则由对称性可得，则，. 由题可得四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD面积为. 从而.则. 又可得双曲线渐近线方程为：，将渐近线方程与直线l方程联立， 可得或， 则，. 令，可得直线l与x轴交点为. 则. 因为双曲线C上任意一点，则. 则. 故选：D 6．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C 7．已知为抛物线上的三个点，焦点是的重心．记直线的斜率分别为，则下列说法错误的是（ ） A．线段的中点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 【答案】C 【详解】设， 因为为重心， 所以，设中点，则， ，由重心分中线得， 即， 又点在抛物线上，所以，所以，即，故A正确； ， ，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； ，同理， 所以，故D正确． 故选：C.    8．窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设为原点，我们可以把放入平面直角坐标系中， 连接，再利用曲线的对称性，我们不妨设， 因为，所以， 我们把视为以为主元的一元二次方程， 故，解得， 即，代入，解得，此时， 此时由两点间距离公式得，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，E的左、右两支的顶点距离也为2，故若A在E的左支上， 则A，B均为E的顶点，故A正确； 对于B，若，则三点共线，考虑A中的情况依然符合题意， 此时从左到右三点顺序分别为A，B，，有，故B错误； 对于C，P是l上一点，若轴，注意到当三点共线时恰为2， 不妨设A在第一象限，则， 取B关于l的对称点，， 则当三点共线时最小， 即，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 10．已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（    ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 【答案】ACD 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由， 消去y得，所以，所以，故A正确： 对于B，，线段BD中点横坐标， 弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C，由，得，同理， 则，故C正确． 对于D，设直线，联立，得，则， 直线，直线OB与准线l交于， 联立，解得， 又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确． 故选：ACD 11．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 【答案】BCD 【详解】A：如下图，当，则为圆与正半轴的交点，则是圆的一条弦， 所以必与原点重合，即是一个点，不是抛物线，错；    B：如下图，当，则在线段上，故， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆， 即，故离心率为，对；    C：如下图，当，则在线段两侧的延长线上，且， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 即，故离心率为，对；    D：由上分析，时是定点（原点），不满足； 时，是以为焦点，长轴长为2的椭圆，且，显然不可能与圆O有公共点，不满足； 时，是以为焦点，实轴长为2的双曲线， 若时，，即双曲线左支与圆O有公共点， 若时，，即双曲线不可能与圆O有公共点， 所以，对. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，，，解得， 则， 设，与联立得， 设，则， 则， 直线，， 则，， 则 故答案为： 13．已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，， 设直线的方程为， 联立可得：，解得：或， 因为是抛物线在第一象限上一点，所以， 所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点， 可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为， 根据椭圆的性质，， 因为焦距为，即， 当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小， 此时，即， 点到直线的距离为：， 到直线的最小值为，即， 所以为最小值. 故答案为：. 14．1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率 【答案】 -2 【详解】设双曲线方程为， 根据题意一条渐近线方程为，所以，即， ，即该双曲线的离心率为， 又经过，所以， 所以双曲线方程为， 设直线的方程为， ， ，解得或， ， ， ， 若，则，即， 此时直线过点，不符合题意， 所以. 故答案为：，-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． (1)求的方程； (2)若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； (3)若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题知， 则的方程为. （2）因为直线：与的右支交于点（）， 所以， ， 则的取值范围为. （3）证明：根据题意直线斜率存在， 设，， ， ， ， ， 由（1）知，又的平分线垂直于， 所以直线的斜率互为相反数， 即 ， ， 异于点，点不在直线上， 即， 所以， 即直线的倾斜角为定值. 16．已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意可作图如下： 由（1）可得，，则由得直线的方程为， 联立，化简可得，解得，， 将代入，可得，由题意可得在直线上， 直线的斜率，则直线的方程为， 将代入，可得，则. 17．已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，设，， 将代入得，，解得， 所以的标准方程为． （2）设，，直线， 联立直线与抛物线的方程，得方程组， 消去，得，判别式，即． ，，，， 由，，得， 所以，中点的纵坐标为，则， 所以，代入，解得或， 当时，点在直线上，不合题意，舍去， 故直线的方程为． （3）证明：设过点的切线方程为， 与联立，整理得， ， 得，即（或，，过点的切线的斜率）， 即过点的切线方程为，即， 令，得， 同理可得过点的切线方程为，令，得， 直线的方程为，直线的方程为． 设，切线，交于点，得，， 解得，，点在直线上，则， 设直线与直线交于点，， 同理，设直线与直线交于点，， 由，得，则，两点重合， 即直线与直线的交点在定直线上． 18．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的标准方程是. （2）当点不是椭圆的顶点时，由，得点不是椭圆的顶点， 设直线方程为，点，则直线方程为， 由得，，同理， 面积， 而，因此，当且仅当时取等号， 点是椭圆的顶点时，点也是椭圆的顶点，， 所以面积的取值范围是. （3）依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或，则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 则，即，设， 由消去并整理得：， ，， 则 ， 所以为定值. 19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设抛物线的焦点为F，x轴上方有两点A，B在上，若直线AF与BF的倾斜角互补，且点到准线的距离为3，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D．1 2．已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．已知双曲线的右焦点为，过点作互相垂直的直线，，与的右支交于，两点，，若与的左支交于点，且，，三点共线（是坐标原点），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆，圆与椭圆相交于四点，圆与椭圆相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 5．已知双曲线（，）的离心率为，左、右焦点分别为，，过，分别作直线AD，BC垂直于x轴，分别交E于A，D，B，C四点，且四边形ABCD的面积为．设点为双曲线C上任意一点，过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，记O为坐标原点，则OMN的面积为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知为抛物线上的三个点，焦点是的重心．记直线的斜率分别为，则下列说法错误的是（ ） A．线段的中点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 8．窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用软件为家里制作了一幅窗花图案（如图），其外轮廓为方程所表示的曲线.设图案的中心为为曲线上的最高点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 10．已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（    ） A．若直线BD的斜率为1，则 B．以BD为直径的圆与y轴相切 C． D．B，O，G三点共线 11．已知P是圆上的动点，（），线段PQ的垂直平分线交直线OP于点M，记点M的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．当时，是抛物线 B．当时，是离心率为的椭圆 C．当时，是离心率为的双曲线 D．若与圆O有公共点，则m的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 13．已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 14．1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． (1)求的方程； (2)若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； (3)若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 16．已知椭圆为该椭圆的左、右两个焦点，为该椭圆上的动点，椭圆的离心率面积的最大值为. (1)求椭圆的方程. (2)已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点，，在直线上是否存在一点，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 17．已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是焦点，若点，在以（异于点）为直径的圆上，求直线的方程； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 18．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆的两个焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上． (1)求的标准方程； (2)已知直线与交于两点，且，求面积的取值范围； (3)过的蒙日圆上一点，作的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，证明：为定值． 19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$