专题3.3 抛物线（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题3.3 抛物线 教学目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 3.了解抛物线的几何图形及简单几何性质． 4.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用. 教学重难点 1.重点 掌握抛物线中焦点、焦距、顶点坐标、实轴、虚轴及离心率的内容. 2.难点 掌握抛物线中的定点、定值、最值等问题. 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做________________． 【即学即练】 1．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 知识点02 抛物线的标准方程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是________． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 【即学即练】 1．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 知识点03 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程________________的几何性质:范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向________，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也________，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于________对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有________对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，________． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 2．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 知识点04 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【即学即练】 1．已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 知识点05 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，．2、抛物线，． 3、抛物线，．4、抛物线，． 【即学即练】 1．抛物线的焦半径公式 已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 2．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ． 知识点06 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有________交点； 若，直线与抛物线有________交点，且交点既是________又是________； 若，直线与抛物线________交点． （2）直线的斜率存在．设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练】 1．已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 2．已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 知识点07 直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长:设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为________________． （1）弦长公式：________________________________________（为直线的斜率，且）． （2），（3）直线的方程为． 2、焦半径；抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦;若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值________，即所有焦点弦中通径________，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：________________（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦；若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）：（1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程;的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程:抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为________________，点在抛物线外.与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径:过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质; 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）， （3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【即学即练】 1．已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A．准线与圆相切 B．过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当，，三点共线时， D．满足的点有且仅有2个 2．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 题型01 抛物线的定义 【典例1】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【变式1】已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 【变式2】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】抛物线，焦点为，抛物线上一点，以为圆心，以为半径的圆与准线相切，与抛物线的相交弦长为6，则为（ ） A．5 B．7 C．6 D．3 题型02 抛物线的标准方程 【典例1】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 【变式1】已知抛物线，其通径为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率． 【变式2】已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于A、B两点. ①求弦长； ②求证：. 【变式3】已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 题型03 轨迹方程—抛物线 【典例1】在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．　　 【变式1】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式3】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 题型04 抛物线距离和与差的最值问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【变式1】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式2】已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 题型05 抛物线的实际应用 【典例1】某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 2、求抛物线实际应用的五个步骤 【变式1】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    【变式3】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网． (1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程； (2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）． 题型06 抛物线的简单几何性质 【典例1】已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1、用待定系数法求抛物线方程的步骤 注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　 2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 3、利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 【变式1】已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 【变式2】在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【变式3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 题型07 直线与抛物线的位置关系 【典例1】抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解． 【变式1】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【变式1】（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程． （2）已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴，与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程． （3）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程． 【变式3】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程； （2）斜率为的直线过定点，与抛物线C相交所得弦长为，求直线的方程. 题型8 焦点弦问题 【典例1】已知抛物线C：的焦点为，动点在抛物线上，的最小值为若直线过点交抛物线于两点，弦的中点为，现分别过点作抛物线的两条切线，两条切线交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点的纵坐标为5 C．若线段的中点为，则点的轨迹是抛物线 D．底边上的高线恒过定点 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式1】过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．弦长度的最小值为 B． C．点，，共线 D．若则 【变式3】已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 题型9 抛物线的定点、定值问题 【典例1】已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． ① 抛物线中的几何意义② 直线的点斜式方程，斜截式方程③ 抛物线中的弦长公式，一般圆锥曲线的弦长公式 【变式1】已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【变式2】已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【变式3】已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 1．已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 2．已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆不可能有交点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 3．已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 4．已知抛物线，，O为坐标原点，过点A的直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为F，直线与D相交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．为定值 C．当时， D．线段AB中点的坐标为 6．设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（   ） A．线段的中点到的准线距离为4 B．当直线过原点时， C．直线的倾斜角的最大值为 D．线段的垂直平分线过定点 7．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 8．已知点的坐标分别为，点是抛物线上的一个动点． (1)求证：以点为圆心，为半径的圆与直线的相切； (2)设直线与抛物线的另一个交点为点，连接，求证：． 9．已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 10．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 11．抛物线C：与直线：相切． (1)求抛物线C的方程． (2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 12．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求； (2)若点在椭圆上，且直线AB与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 13．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 14．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 15．已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 抛物线 教学目标 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 3.了解抛物线的几何图形及简单几何性质． 4.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用. 教学重难点 1.重点 掌握抛物线中焦点、焦距、顶点坐标、实轴、虚轴及离心率的内容. 2.难点 掌握抛物线中的定点、定值、最值等问题. 知识点01 抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 【即学即练】 1．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为， 所以或， 则. 故选：D 2．已知是抛物线的焦点，M是C上一点，的延长线交轴于点N，若M为的中点，则 . 【答案】6 【详解】方法一、抛物线的焦点为，点在轴上，设. 又为的中点，，即， 又点在抛物线上，， 所以. 方法二、依题意，抛物线的焦点，准线， 是上一点，的延长线交轴于点为的中点， 点的横坐标为1，. 方法三、抛物线的焦点为，准线， 如图，设与轴的交点为，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 由为的中点，易知线段为梯形的中位线， ， 又由抛物线的定义得，且， . 故答案为：6. 知识点02 抛物线的标准方程 如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系． 设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为． 设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合 ， 将上式两边平方并化简，得．① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是． 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，． 【即学即练】 1．设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 2．点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 知识点03 抛物线的简单几何性质 抛物线标准方程的几何性质:范围：，， 抛物线（）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标的横坐标满足不等式；当x的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 对称性：关于x轴对称 抛物线（）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 顶点：坐标原点 抛物线（）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是． 离心率：． 抛物线（）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，． 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 【即学即练】 1．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（   ） A． B．时， C．以为直径的圆与准线相切 D． 【答案】ACD 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确；    D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 2．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为 ． 【答案】 【详解】由抛物线的焦点为，得抛物线的方程为， 直线方程为，由，消去得，设， 则，线段中点， ，则以AB为直径的圆为， 令，得，所以该圆被y轴截得的弦长为. 故答案为： 知识点04 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 【即学即练】 1．已知抛物线（）的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作垂直于直线，垂足为， 则，， 因为，所以，得． 因为是抛物线上一点， 所以，得，， 则|，， 因为圆与直线相切，故圆的半径为， 故圆的标准方程为． 故选：A. 2．已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 将圆心的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的方程为，标准方程为， 则，所以，，故抛物线的准线方程为. 故选：C. 知识点05 焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． 1、抛物线，．2、抛物线，． 3、抛物线，．4、抛物线，． 【即学即练】 1．抛物线的焦半径公式 已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 【答案】 【详解】如图所示：    由图及抛物线定义可得焦半径为： ， 故答案为：. 2．已知抛物线，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段的长是焦半径长的3倍，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则． 因为线段的长是焦半径长的3倍，所以，故， 当时，，， 则，解得，所以直线的斜率为 同理可得当时，，所以直线的斜率为． 综上，直线的斜率为 故答案为： 知识点06 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例：（1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． （2）直线的斜率存在．设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若，则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点；当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 【即学即练】 1．已知抛物线过点，焦点为． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为． （2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”． 设，，则，记为① 由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得 ，记为② 由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③ 再将③代入②，整理得 ． 要成立，只要在上恒成立即可． 解不等式得，符合题意． 综上可知，实数的取值范围为． 2．已知曲线和曲线. (1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：； (2)若直线与曲线相切，求证：； (3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有： ，易知， 所以直线AB的斜率. 根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为. 将代入上式得：， 展开可得：, 化简得， 即，得证. （2）将直线：代入曲线，可得：， 展开并整理得：. 因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式. 则 展开得：， 化简可得，得证. （3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，， 结合（1）可知直线PQ的方程：， 直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：. 整理得： 再整理：. 同理可得， 所以直线既过点又过点 即直线QR的方程：. 再次结合（2）可推算： , 所以，直线QR与曲线相切. 知识点07 直线与抛物线相交弦长问题 1、弦长:设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2），（3）直线的方程为． 2、焦半径；抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦;若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦；若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）（3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）：（1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程;的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程:抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外.与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径:过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质; 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）， （3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【即学即练】 1．已知抛物线：的准线为，焦点为，为抛物线上的动点，过点作：的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为，则（   ） A．准线与圆相切 B．过点，的直线与抛物线相交的弦长为5 C．当，，三点共线时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】BD 【详解】 对于A，抛物线的准线为，圆A的圆心在轴上，半径，准线l与圆A相离，A错误； 对于B，直线的方程为，代入得，弦长为，B正确； 对于C．当时，，C错误； 对于D，由抛物线的定义得，直线的垂直平分线方程为，代入得，点P有且仅有2个，D正确． 故选：BD. 2．已知抛物线的焦点为，纵坐标为的点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作图如下： 设点坐标为，因其在抛物线上，故； 以为圆心，为半径圆，其圆心到轴的距离为，半径； 由题可知：，整理得：，故，. 故选：A. 题型01 抛物线的定义 【典例1】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为， 所以圆的半径为， 所以该圆的方程为. 故选：D. （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【变式1】已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 【答案】4 【详解】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，      则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 【变式2】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，如图所示， 在抛物线上，则 易知，，由， 因为被直线截得的弦长为，则， 由，于是在中， 由解得：，所以． 故选：C. 【变式3】抛物线，焦点为，抛物线上一点，以为圆心，以为半径的圆与准线相切，与抛物线的相交弦长为6，则为（ ） A．5 B．7 C．6 D．3 【答案】D 【详解】因为以为圆心，以为半径的圆与准线相切， 所以圆半径就是， 由抛物线定义知，，解得， 所以由对称性知相交弦即为过圆心垂直x轴的直径，所以，即. 故选：D 题型02 抛物线的标准方程 【典例1】已知抛物线的准线方程是，直线与抛物线相交于M、N两点． (1)求抛物线的方程； (2)求弦长； (3)设O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程是， 所以，解得， 所以抛物线的方程是； （2）由，得， 设， 则， 所以； （3）因为， ， ， 所以， 即. 1、求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 2、用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 【变式1】已知抛物线，其通径为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点F作直线l，使得直线l与抛物线交于P、Q两点，且满足弦长，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：抛物线通径为，即， 所以，抛物线的标准方程为． （2）由（1）知：抛物线焦点， ①当时，显然不满足， ②当时，设直线l方程为，联立， 得， ，则，． 所以，，即， 【变式2】已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线相交于A、B两点. ①求弦长； ②求证：. 【答案】（1）；（2）①; ②见解析. 【详解】（1）,化为标准形式：， ，右顶点A, 设抛物线的方程为,焦点坐标为, 由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以, 抛物线的方程； （2）,消去得, 设,则 , ①. ②, . 【变式3】已知抛物线：的准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)直线：交抛物线于、两点，求弦长． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． （2）设，， 由消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 题型03 轨迹方程—抛物线 【典例1】在平面直角坐标系中，，为轴上一点，经过的直线与垂直且与轴交于点，关于的对称点为．为一曲线，若对于任意固定点，的最小值总为3，则的方程为： ． 【答案】 【详解】延长到使，由，得四边形为平行四边形， 又，则为菱形，过作轴，垂足为，直线， 则，又，，于是的轨迹为抛物线：， ①在内部，过作轴交于点，而轴， ，为定值，则当共线时，有最小值， 设，，而，整理得； ②在及外部，当共线时，有最小值3，即， 设，则，而，整理得 所以曲线的方程为：． 故答案为： 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程． (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．　　 【变式1】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 【变式2】已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 【变式3】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 题型04 抛物线距离和与差的最值问题 【典例1】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【变式1】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故选：B. 【变式2】已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，圆的半径，圆的半径． 因为，当且仅当点在线段上，点在线段上时，等号成立， 所以，当且仅当点共线，且从左到右依次为点时两等号同时成立． 故选:C． 【变式3】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 题型05 抛物线的实际应用 【典例1】某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 1、涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解． 2、求抛物线实际应用的五个步骤 【变式1】图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 【变式2】图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    【答案】不超过6米才能使货船通过拱桥． 【详解】如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则．    设抛物线方程为． ∵B点在抛物线上，∴， ∴，∴抛物线的方程为． 当时，，即． ∴不超过6米才能使货船通过拱桥． 【变式3】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网． (1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程； (2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）． 【答案】(1) (2)作图见解析，． 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，，则抛物线． （2）如图，设抛物线C的焦点为F，则， ∵城镇P位于点O的北偏东30°处，，∴， 根据抛物线的定义知，公路总长． 当与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为． 题型06 抛物线的简单几何性质 【典例1】已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以，所以， 设，， 根据定义可得， 联立，可得，，则， ，解得. 故选：B. 1、用待定系数法求抛物线方程的步骤 注：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　 2、把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 3、利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 【变式1】已知为抛物的焦点，给出以下三个条件：①点均在抛物线上；②；③中存在横坐标大于2的点．则同时满足这三个条件的三角形有（    ）. A．0个 B．21 C．有限个且多于2个 D．无限个 【答案】A 【详解】假设有这样的三角形存在，因为在抛物线上，焦点， 设，则，，， 因为，所以，， 设第一象限的点的横坐标大于2，假设，则， 则，故， 所以，显然不成立， 所以不存在这样的三角形满足这3个条件. 故选：A 【变式2】在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）方法一： 由题意， ∵到直线的距离比点到点的距离小1， ∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意， 设点的坐标为， 由题意得， 易知点位于直线的右侧， ∴，∴， 化简得， 曲线的方程为． （2）由题意得， 的圆心为，半径， 又∵四边形的面积， ∴当的值最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为：， ∴四边形面积的最小值． （3）由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 【变式3】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，为坐标原点，若点的横坐标为3，直线. (1)求； (2)若直线与交于点，求三角形的面积； (3)求到的准线的距离与到的距离之和的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3)2 【详解】（1）由题得的焦点为，设为， 设，，， 联立方程，化简得：， ，则，. （2）由（1）得， 联立方程，解得，. （3） 由（1）得的方程为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立方程，化简得：， 由，得与相离， 设，，分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足， 连接，， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线的距离， 即. 题型07 直线与抛物线的位置关系 【典例1】抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】B 【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得 ∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切. 故选：B 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解． 【变式1】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 【变式1】（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程． （2）已知抛物线的焦点在轴上，直线过且垂直于轴，与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积等于4，求此抛物线的标准方程． （3）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程． 【答案】（1），抛物线方程为，准线方程为； （2）或； （3）或． 【详解】解析 （1）因为顶点在原点，焦点在y轴上，点位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下．    如图所示，设抛物线方程为，则焦点为，准线：， 过点作，垂足为，则， 而，所以，解得． 又点M在抛物线上，所以，解得． 故，抛物线方程为，准线方程为． （2）由题意，可设抛物线的方程为，则焦点为，直线l：， 所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，，所以． 因为的面积为4，所以，所以． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）由题意设所求抛物线的方程为或，抛物线与圆的交点，， 由对称性，知，， 则，即，得． 将代入，解得． 所以点在抛物线上，点在抛物线上， 求得． 故抛物线方程为或． 【变式3】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程； （2）斜率为的直线过定点，与抛物线C相交所得弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，设抛物线的方程为：， 又点在抛物线C上，代入得，解得： 所以抛物线C的方程为： （2）由题意，设直线方程为，直线与抛物线C的两个交点为,， 联立，整理得： 则， 由韦达定理得：， 利用弦长公式得：， 即，解得，即 所以直线的方程为或 题型8 焦点弦问题 【典例1】已知抛物线C：的焦点为，动点在抛物线上，的最小值为若直线过点交抛物线于两点，弦的中点为，现分别过点作抛物线的两条切线，两条切线交于点，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点的纵坐标为5 C．若线段的中点为，则点的轨迹是抛物线 D．底边上的高线恒过定点 【答案】BCD 【详解】设，， 对于选项A： 因为的最小值为4，所以，解得， 则抛物线的标准方程为，故选项A错误. 对于选项B： 因为，所以， 所以，故选项B正确； 对于选项C： 因为切线，， 所以，即，解得， 因为弦的中点为，所以， 即， 因为，，所以， 因为点在抛物线上， 所以点的轨迹是抛物线，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以底边上的高所在直线斜率， 所以高线所在直线方程为，即， 此时直线恒过定点，故选项D正确． 故选：BCD. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【变式1】过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 【变式2】已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A．弦长度的最小值为 B． C．点，，共线 D．若则 【答案】BC 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设直线的方程为， 联立，化简可得， 由已知， 方程的判别式， 设，则，， 所以为方程的两个根， 所以，， 由抛物线定义可得，， 所以弦长度为， 故当直线的斜率存在时，弦长度的范围为，A错误； ，B正确； 由已知，， 因为， 所以，所以点，，共线，C正确； 因为，，， 所以，故， 所以， 易知，所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，代入，得， 若点在第一象限，则， 若点在第四象限，则 D错误； 故选：BC. 【变式3】已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．四边形 面积的最小值为 【答案】AC 【详解】设 ，，的方程为， 由 可得，则  ， 所以， 同理可得，则有，所以A正确； 若，由， 得，即， 解得 ，故B错误； 与 无关，同理,故，故C正确； 因为，所以四边形 的面积 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误． 故选：AC. 题型9 抛物线的定点、定值问题 【典例1】已知点在抛物线的准线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线与抛物线交于、两点，过作斜率为2的直线交抛物线于． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点，求证：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）抛物线的准线为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设点，由点在抛物线上， 得直线的斜率， 则直线的方程为：，即， 由直线过点，得，设， 则直线斜率，即，， 于是，即，， 又直线的方程为：，即， 所以直线恒过定点． （ii）由直线过点，得，则， 而，于是，化简得， 则直线的斜率，所以. ① 抛物线中的几何意义② 直线的点斜式方程，斜截式方程③ 抛物线中的弦长公式，一般圆锥曲线的弦长公式 【变式1】已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，定点坐标为 【详解】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【变式2】已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线. (1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程. (2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，. ①求的面积的最小值. ②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)，曲线是抛物线 (2)①32；②存在， 【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ， 所以抛物线的标准方程为. （2）①设. 由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为. 由消去，化简得 . ，则， 所以 . 因为， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32. ②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 . 如图，过点作，垂足为. 设圆与直线的一个交点为，连接，则. 又，所以 当时，， 此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值. 因此存在直线满足题意 【变式3】已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析；定点； (3)为定值，定值为4 . 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 1．已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 2．已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆不可能有交点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 【答案】BCD 【详解】对于A中，圆C的标准方程为，则圆心为，半径， 当时，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，当时，直线的方程为， 可得直线与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆上存在点，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时直线与圆相离， 由抛物线的定义，可得与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 3．已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 【答案】8 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 4．已知抛物线，，O为坐标原点，过点A的直线l与C交于M，N不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线l的斜率不为0，可设直线方程为， 设，，，， 联立可得，消去x可得，， 由韦达定律得，， 由，， 又，则， 由，则，解得，， 所以． 故选：A. 5．已知抛物线的焦点为F，直线与D相交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．为定值 C．当时， D．线段AB中点的坐标为 【答案】ABD 【详解】当时，直线为，设，则，故，故A正确； 设，联立方程，消得， 所以，则， 所以，故B正确； ，，所以，又， 解得，所以，解得，故C错误； 而，，线段中点的坐标为，故D正确. 故选：ABD． 6．设抛物线的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（   ） A．线段的中点到的准线距离为4 B．当直线过原点时， C．直线的倾斜角的最大值为 D．线段的垂直平分线过定点 【答案】AD 【详解】设，抛物线：，得，，所以， 线段的中点到的准线距离为，故A正确； 若直线过原点，设，则，所以，所以，故B错误； 当直线AB斜率不存在时，，符合题意，当直线AB斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则，得， 又，得，故或，则倾斜角无最大值，故C错误； 当直线AB斜率存在时，线段中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为， 又，故化为，过定点；当直线的斜率不存在时其垂直平分线即为x轴所在直线，也成立，故D正确． 故选：AD 7．已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 8．已知点的坐标分别为，点是抛物线上的一个动点． (1)求证：以点为圆心，为半径的圆与直线的相切； (2)设直线与抛物线的另一个交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设点的坐标为，则； 又因为点到直线的距离为， 所以，以点为圆心，为半径的圆与直线的相切． （2）如图，分别过点作直线的垂线，垂足分别为． 由（1）知，，同理可得，． 因为都垂直于直线，所以，， 于是，所以，因此， 于是，从而. 9．已知抛物线（）的焦点为，为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为0，且过点，设的直线的方程为， 由消去得，， 设，则，不妨设，则， 直线AD的方程为：，即， 即，令，得， 因此，解得， 所以. 10．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合． (1)求椭圆C和抛物线E的方程； (2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证： （i）直线AB过定点，并求该定点的坐标； （ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题，解得， ∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为， ∴，即． ∴抛物线的方程为． （2） 由（1）知，抛物线的准线方程为， ∴可设， （i）由得，且． 又， ∴抛物线在处的切线方程为，即． 在切线上， ①， 同理可得②， 由①②得直线的方程为， 令，则， 所以直线恒过抛物线的焦点． （ii）联立得， ∴， 则线段AB的中点为，， 又， ∴MN与抛物线E的准线垂直，且， 故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M． 11．抛物线C：与直线：相切． (1)求抛物线C的方程． (2)设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. （2）由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 12．已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求； (2)若点在椭圆上，且直线AB与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由抛物线定义知，则； （2）由（1）知，则（负值舍）， 所以，可得， 联立，可得， 所以，整理得， 又，即，可得， 所以，则. 13．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，解得． 故的值为. （2）由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 14．已知抛物线，点为抛物线的焦点. (1)若点在抛物线上，求； (2)过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，故. （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 依题意，设直线的方程为， 将直线与抛物线方程联立得得， 设点、，， 由韦达定理可得，， ， 又因为原点到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为，即或. 15．已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$