第22章二次函数第18课时二次函数与面积数量关系问题 - 2025-2026学年人教版九年级上册数学 暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第18课时二次函数与面积数量关系问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 面积等量关系知识归纳 如图，同底等高的两个三角形的面积相等，平行线间距离处处相等。 如图，同底三角形的面积比等于高的比． 如图，同高三角形的面积比等于底的比． 类型一、面积等于定值类 例题1.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，与轴的另一个交点为，连接． 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：把点，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 假设在在抛物线上存在点，使得得， 令，则，解得或， ， ， ， ，即， ， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 符合条件的点坐标为或或或．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 把点，两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可； 假设在在抛物线上存在点，使得，利用三角形面积求得的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 类型二、面积相等类 例题2.如图，抛物线经过点，与轴交于，两点点在点的左边，且． 直接写出抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：y＝x2－2x－3；  (2)①当A，B在PQ的同侧时， ∵△PAQˈ和△PBQˈ的面积相等， 则点P，Qˈ关于对称轴对称，故点Qˈ（－2，5）； ②当A，B在PQ的异侧时，设PQ交x轴于点E， 分别过点A，B作PQ的垂线，交PQ于点M，N，△PAQ和△PBQ的面积相等， 则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°， ∴△AME≌△BNE（AAS）， ∴AE＝BE，即点E是AB的中点， 则点E（1，0），直线PQ：， 联立直线与抛物线的解析式可得， 综上所述，点Q的坐标为（－2，5）或． 类型三、面积比值类 例题3.如图是二次函数的图象，其顶点坐标为． 求二次函数的图象与轴的交点，的坐标 在二次函数的图象上是否存在点，使若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】解： 是二次函数图象的顶点， ． 令， 解得，． ，两点的坐标分别为，． 在二次函数的图象上存在点，使． 设，由知，则， 又， ， 二次函数的最小值为， ． 当时，或． 故点的坐标为或．   【解析】【分析】本题考查的是二次函数的综合题有关知识． 由顶点坐标确定、的值，再令求得图象与轴的交点坐标； 设存在这样的点，由于底边相同，求出的高，将求出代入二次函数表达式求得点坐标； 1.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使的面积等于若存在，求出点坐标若不存在，说明理由． 【答案】解：假设存在一点，使的面积等于， 则，即，解得， 或， 把或代入得， 存在点，点的坐标为或．  2.如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：存在，点连接，设点，由：，可得，，，整理，得，解得，．  3.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． 求该二次函数的解析式； 在抛物线上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)该二次函数的解析式为；  (2)存在这样的点P， 设点P的坐标为P（x，y），则点P到y轴的距离为|x|， ∵，∴ 解得|x|＝3，∴x＝±3， 把x＝3代入中得，， 把x＝－3代入中得，， ∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1（3，0），P2（－3，8）．   4.如图，将函数的图象向右平移个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为． 若点在上，求的值． 如图，点的坐标为，在上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)∵y＝x2－4x＋1＝（x－2）2－3，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x－6）2－3，点P在抛物线y＝（x－6）2－3（x<4）上，∴m＝（3－6）2－3＝6．  (2)存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由：当Q点在抛物线y＝（x－6）2－3（x<4）上时，设Q（t，t2－12t＋33），，解得或．∵ t<4，∴，∴．当 Q点在抛物线y＝x2－4x＋1（x≥4）上时，设Q（m，m2－4m＋1），∴，解得或．∵ m≥4，∴，∴．综上所述， Q点坐标为或．   5.如图，已知抛物线与轴交于，两点点位于点的左侧，与轴交于点，的面积是． 求的值． 在抛物线上是否存在一点，使若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：在中，令，则，． 令，即，解得，． 由图象知，，． ，． 解得舍去． ， ． ． 点的纵坐标为 把代入得，解得舍去或， 把代入得，解得或， 点的坐标为或或．   6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点点在点右侧，交轴于点，连接，． 求点，，的坐标； 为抛物线上一点，且满足，请求出点的坐标； 【答案】(1)解：在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，解得x＝1或x＝－3． 令x＝0，得y＝3， ∴点A，B，C的坐标分别为（1，0），（－3，0），（0，3）；   (2)设点H的坐标为（a，－a2－2a＋3），则以OC为底的△OCH的高为|a|， 由已知得AB＝OB＋OA＝3＋1＝4， 当S△OCH＝S△ABC时，即， 则|a|＝4，即a＝±4． 当a＝4时，－a2－2a＋3＝－42－2×4＋3＝－21， 当a＝－4时，－a2－2a＋3＝－（－4）2－2×（－4）＋3＝－5， ∴点H的坐标为（－4，－5）或（4，－21）；   7.如图，二次函数的图象与轴交于点，是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式； 抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：将A(1，0)代入y＝(x-2)2+m，得(1-2)2+m＝0，解得m＝-1． ∴二次函数的解析式为y＝(x-2)2-1．当x＝0时，y＝4-1＝3， ∴C(0，3)．由于点C和点B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴B(4，3)． 将A(1，0)，B(4，3)代入y＝kx+b，得 ​​​​​​​解得 ∴一次函数的解析式为y＝x-1．  (2)假设存在，设P(a，a2-4a+3)．当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥x轴交直线AB于点E，则E(a，a-1)．易得S△ABC＝6． ∵PE＝a-1-(a2-4a+3)＝-a2+5a-4， ∴​​​​​​​，此方程无解． 当点P在直线AB上方时，过点C作CP// AB交抛物线于点P，则点P即为所求． 易求直线CP的解析式为y＝x+3， ∴a+3＝a2-4a+3，解得a＝0（舍去）或a＝5． ​​​​​​​∴P(5，8)．   【解析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征与一次函数的解析式 先将点代入求出的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；  本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及三角形面积，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 假设存在点，设点，求出三角形的面积，分两种情况画出图形，如图，当点在直线的下方时，过点作轴交直线于点，如图，当点在直线的上方时，过点作轴交直线于，根据三角形面积为三角形面积，表示出三角形 的面积，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出满足题意的坐标． 8.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，两点的坐标分别为，． 求这个二次函数的解析式． 在二次函数图象上是否存在点点与点不重合，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)将B（1，0），C（0，3）代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3  (2)存在  ∵ y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴顶点坐标为（2，－1）．当y＝0时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．∵C（0，3），∴OC＝3．∴△AOC是等腰直角三角形．∵S△PAC＝S△ABC，∴点P到AC的距离等于点B到AC的距离．∵A（3，0），C（0，3），∴易得直线AC对应的函数解析式为y＝－x＋3．如图，过点B作AC的平行线，交抛物线于点P，连接AP，CP．易得直线BP对应的函数解析式为y＝－x＋1．联立解得或∴ P（2，－1）．∵，， AB＝3－1＝2，∴PA＝PB，PA2＋PB2＝AB2．∴△ABP是等腰直角三角形，且∠APB＝90°．延长PA至点D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，交抛物线于点P1，P2．∵∠APB＝90°，DE // AC，BP // AC，∴BP // DE．∴∠DEA＝∠PBA＝45°，∠ADE＝∠APB＝90°．∴△ADE是等腰直角三角形．∴．∴易得E（5，0）．∴易得直线DE对应的函数解析式为y＝－x＋5．联立解得或∴ P1（，）， P2（，）．综上所述，点 P的坐标为（2，－1）或（，）或（，）   9.如图，二次函数的图象与轴交于点，是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式． 抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由题意，得（1－2）2＋m＝0，解得m＝－1．∴二次函数的解析式为y＝（x－2）2－1．∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝2．当x＝0时，y＝（0－2）2－1＝3，∴点C的坐标为（0，3）．∵点B与点C关于直线x＝2对称，∴点B的坐标为（4，3）．将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式为y＝x－1  (2)存在  易知点P在直线AB上方．如图，过点C作CP // AB交抛物线于点P，此时S△ABP＝S△ABC．∵直线AB对应的函数解析式为y＝x－1，CP // AB，∴设直线CP对应的函数解析式为y＝x＋b′．将C（0，3）代入，得b′＝3．∴直线CP对应的函数解析式为y＝x＋3．联立方程组，得解得∴易得点P的坐标为（5，8）   10.若二次函数的最大值为，且该函数的图象经过点． 求，的值以及顶点． 在二次函数的图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：由二次函数的最大值为，可知． 函数的图象经过点， 解得  故该二次函数的解析式为，顶点为． 存在．假设存在点，使得，   解得  当时，则； 当时，则． 存在满足条件的点，它的坐标为或．   11.如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． 抛物线的解析式是          ； 抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)  (2)解：存在，设点的坐标为（，）． （，0），（1，0）， ． 抛物线与轴交于点，令，则， 点坐标为（0，3），．．． 解得． 当时，， （，2）或（，2）． 当时，，． 点（，）或（，）． 综上所述点坐标为（，2）或（，2）或（，）或（，）．  【解析】 解：抛物线与轴交于，两点，  解得  抛物线对应的函数表达式为． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式的方法是解题关键． 将，代入抛物线，求得、的值即可．  设点的坐标为，先求得三角形的面积，由得到方程，利用方程求解即可． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，三角形的面积，坐标与图形性质以及二次函数图象上点的坐标特征等知识点． 12.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，且． 求抛物线的解析式及点的坐标； 点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：，， ，， 根据题意得，解得， 抛物线的解析式为； ， 点坐标为； 存在． 当时，，解得，，则， 设， ， ， 解方程得，，则或， 解方程得，舍去，则， 当点坐标为或或时，点使．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求抛物线解析式． 先写出、点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； 先解方程得，设，利用三角形面积公式得到，然后分别解方程和可得到满足条件的点坐标． 13.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，为抛物线与轴的交点． 求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴与直线交于点，若点在抛物线上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：设抛物线为，把点代入得： ， 解得． 故该抛物线的解析式为：； 由，令，得， 令得或， ，． 令的解析式为， 将和代入得， 解得 的解析式为， 令，则， ． 令， ． ． ． ． 存在，，．  【解析】可设抛物线解析式为顶点式，然后将点的坐标代入，从而得到抛物线的解析式； 得出的解析式，再求出的坐标；然后依据可求得点的坐标． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及待定系数法确定函数关系式，利用坐标与图形的性质求得相关线段的长度是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第18课时二次函数与面积数量关系问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 面积等量关系知识归纳 如图，同底等高的两个三角形的面积相等，平行线间距离处处相等。 如图，同底三角形的面积比等于高的比． 如图，同高三角形的面积比等于底的比． 类型一、面积等于定值类 例题1.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，与轴的另一个交点为，连接． 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、面积相等类 例题2.如图，抛物线经过点，与轴交于，两点点在点的左边，且． 直接写出抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、面积比值类 例题3.如图是二次函数的图象，其顶点坐标为． 求二次函数的图象与轴的交点，的坐标 在二次函数的图象上是否存在点，使若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 1.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，在抛物线上是否存在一点，使的面积等于若存在，求出点坐标若不存在，说明理由． 2.如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． 求该二次函数的解析式； 在抛物线上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．  4.如图，将函数的图象向右平移个单位长度，与的图象组成一个新的函数图象，记为． 若点在上，求的值． 如图，点的坐标为，在上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知抛物线与轴交于，两点点位于点的左侧，与轴交于点，的面积是． 求的值． 在抛物线上是否存在一点，使若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点点在点右侧，交轴于点，连接，． 求点，，的坐标； 为抛物线上一点，且满足，请求出点的坐标； 7.如图，二次函数的图象与轴交于点，是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式； 抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，两点的坐标分别为，． 求这个二次函数的解析式． 在二次函数图象上是否存在点点与点不重合，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．  9.如图，二次函数的图象与轴交于点，是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点． 求二次函数与一次函数的解析式． 抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．  10.若二次函数的最大值为，且该函数的图象经过点． 求，的值以及顶点． 在二次函数的图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11.如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． 抛物线的解析式是          ； 抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，且． 求抛物线的解析式及点的坐标； 点为轴右侧抛物线上一点，是否存在点使？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 13.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为，为抛物线与轴的交点． 求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴与直线交于点，若点在抛物线上，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$