2.3 等腰三角形的性质定理（第2课时）（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

2.3 等腰三角形的性质定理（第二课时） 题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键． 直接根据等腰三角形三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴． 故选D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 即的度数是． 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 6．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三线合一，垂直的定义，三角形的内角和为，掌握知识点是解题的关键；由垂直平分，得，，继而求出，根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是关键；由，E为的中点，求得；再由及三角形外角的性质即可求得的大小． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与判定． 利用等腰三角形的三线合一求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点．若的周长为20，，则的长为 ．    【答案】8 【分析】本题由倍角构造等腰三角形，在运用等腰三角形的性质即可解答． 在上取点E，使运用等腰三角形的性质，可得，再用的周长为20，即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取点E，使，    则， 故， 得． 则． 故答案为：8 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 6．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的知识点，解题的关键是证明是的垂直平分线． 通过证明和全等得到，再结合利用等腰三角形三线合一性质得出与的关系，进而求出的长度． 【详解】在和中， ， ，即是的平分线， 又，在等腰三角形中，根据等腰三角形三线合一的性质，可知也是边上的中线， ， ， ． 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直接利用三线合一可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵，为的角平分线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出的值，根据线段垂直平分线的性质和定义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合图形，进行计算即可得到答案． 【详解】解：的周长为20， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型三：“三线合一”中的面积问题 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∵，， ∴的面积， ∴图中阴影部分的面积的面积， 故选：C． 2．（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（） A．36 B．18 C．9 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由，，得，，由是的中点，得，，，则，而，即可根据“”证明，则，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， 是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 【详解】解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 7．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作于点，先证明，则，，由得，设，，则，，根据求出的值，再用含的式子表示，从而求出的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四：判断结论是否正确 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明得，可判断A选项正确；由等腰三角形的性质得垂直平分，可判断B选项正确；由，，推导出，可判断C选项正确；举“反例”，，则，所以，说明与不一定相等，可判断D选项错误． 【详解】解：在和中， ， ， ， 平分，故A选项正确； ，平分， 垂直平分，故B选项正确； ，， ，故C选项正确； 假设，，则， ， 与不一定相等，故D选项错误； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 5．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据等等腰三角形的三线合一得，，进而得，再根据直角三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴，，A、B正确，不符合题意； ∴是线段的垂直平分线， ∴，D正确，不符合题意； 在，是斜边，是直角边，， ∴C错误，符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，平分垂直平分于点，交的延长线于点，连接．下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可判断选项，根据等腰三角形三线合一性质可判断选项，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断选项，根据三角形角平分线的定义可判断选项． 【详解】解：平分， ，故选项的结论正确，不符合题意； 不一定是等腰三角形， 不能证明，故选项的结论错误，符合题意； 垂直平分， ，故选项的结论正确，不符合题意； 是的外角， ，故选项的结论正确，不符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，作点B关于的对称点，连接，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，作点B关于的对称点，连接，交于点P，连接，则的最小值为的长，点P即为所求， ∵点与点B关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型五：“三线合一”中尺规作图问题（选填） 1．（2025·江苏苏州·一模）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质等，掌握轴对称的性质是解题的关键．由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断B，C，D，过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断A； 【详解】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形， ， ， ∴，结论C正确，不符合题意； ， ，即，结论B正确，不符合题意； 由对称可知，，结论D错误，故符合题意； 过作， ， ， ， ， 同理可证， ∴，结论A正确，故不符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（   ） A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0 C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用三线合一的性质可得为的平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得为的平分线，为的垂直平分线， ， ， 为的垂直平分线， 交点O为三角形垂直平分线的交点， 点O到三个顶点距离相等， 故选：D． 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．按下列步骤用直尺和圆规作图： 第一步：分别以点A和点B为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N； 第二步：作直线交边于点D； 第三步：连接． 根据以上信息推断，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴，， ∴，， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质定理，由等腰三角形的性质可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，，是边上的高， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点H，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质等，先根据三角形内角和定理求出，再根据垂直平分线段，得出，根据等边对等角得出，进而可得，最后根据等腰三角形三线合一可得． 【详解】解：中，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 由作图可知， ， 等腰中，， ， 故选：B． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【答案】20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 8．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（　　） A．5 B．6.4 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，根据作图可知，平分，三线合一，得到垂直平分，连接，则：，，得到当三点共线时，的值最小，再根据垂线段最短，得到当最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：根据作图可知，平分， ∵， ∴， ∴垂直平分， ，连接，则：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵N是线段上的动点， ∴当时，最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故选C． 9．（24-25八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一性质，垂直平分线判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．先证明垂直平分得到，由求出，从而得到的周长为：，继而得解． 【详解】连接、， 依题意可知：， 又∵点D是AC的中点， ∴垂直，， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴的周长为：， 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，平分，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出平分． 【详解】解：根据作图过程可得，平分， 又∵， ∴, 故选：A． 题型六：“三线合一”解决实际问题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的，据此即可解答． 【详解】解：∵在三角测平架中，， ∴为等腰的底边上的高， 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． ∴等腰三角形底边上的中线就是底边上的高． 故选C． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（    ） A．等角对等边 B．两点之间线段最短 C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， 依据是等腰三角形三线合一的性质． 故选C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一性质，三角形中线的性质逐项判定即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分，故选项A不符合题意； ∵，， ∴平分，故选项B不符合题意； ∵， ∴， 又， ∴平分，故选项D不符合题意； 而无法说明平分，故选项C符合题意， 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是 ． 【答案】等腰三角形“三线合一” 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 因为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，座椅如果重物的线恰好经过三角板底边的中点，则房梁就与竖直的线垂直，因而可以判断此房梁是水平的． 【详解】解：因为重垂线过底边的中点，则根据等腰三角形“三线合一”的性质得此线也为底边上的高，由于垂线是垂直的，所以底边即房梁就是水平的， 故答案为：等腰三角形“三线合一”． 6．（24-25八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 【答案】 正确 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合 【分析】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的． 根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，解答即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，即挂铅锤的绳与镜框垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合） 故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合． 题型七：“三线合一”中基础解答题 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键． 利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，点E在上且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案； （2）根据等腰三角形两底角相等及三线合一得到，结合即可得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， 的周长是， ， ， ∴线段的长为； （2）， ， ， ， ， ， ∴， ， 的度数为． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，D为边上一点，连接，，过点D作的垂线，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为24，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质． （1）根据，，求出，根据，得出，再根据三角形外角的性质即可求解． （2）根据等腰三角形的性质得出，结合和的周长为24，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25七年级上·山东·期末）如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． 求 (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形性质得，由三角形外角的性质即可求解； （2）由（1）所求可得，由等腰三角形性质及三角形内角和即可求得结果． 【详解】（1）解：∵，是中线， ∴，即， ∴； （2）解：∵平分，， ∴； ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，即可得解； （2）由等腰三角形的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴的周长为． 7．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形外角的性质， （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可推出，即可求解； （2）根据对顶角相等可得，根据垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一性质得，进而根据三角形外角的性质即可求解； 解题的关键是掌握垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【详解】（1）解：∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为； （2）∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，分别为的高线及角平分线，且， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线、等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，计算即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵为的高线， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （2）∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接． (1)求的度数； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等边对等角可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案； （2）由三线合一可得，点是中点，然后根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，是的平分线， ，点是中点， ， 点是的中点， ， ． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 题型八：“三线合一”中求证类问题 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，为的中线．以点为圆心、的长为半径画弧，与分别交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而由即可求证； （）由等腰三角形的性质可得，即得，进而由即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的中线， ∴， 由题意得，， 在 和中， ， ∴； （2）解：∵，， ， ∵， ， ∴， ∵，为的中线， ∴， ∴， ． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点在的中点时，是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等： （1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论； （2）根据题意可证明，则可推出，由三线合一定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在的中点时，是直角三角形，理由如下 ∵， ∴是直角三角形时，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴当点在的中点时，是直角三角形． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边对等角证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题． （2）连接、；证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接、； 在与中， ， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴垂直平分． 6．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接， 由垂直平分线的性质得，可知，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可求证； （）设，则，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角得，最后通过三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）由中线的性质得，由全等三角形的性质得，进而可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∵的面积是2， ∴四边形的面积为6． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 题型九：“三线合一”中尺规作图解答题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知：在中，， (1)（尺规作图）求作：的角平分线，使得与相交于点． (2)若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了基本尺规作图，等腰三角形的性质，解决问题的关键是熟悉角平分线的尺规作图方法． （1）根据基本尺规作图-作角平分线的方法,结合题中几何语言画出对应的几何图形即可得到答案； （2）根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：，是的角平分线， 由等腰三角形三线合一性质可得， ． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．    (1)如图1，的顶点A在直线上，已知，画出关于直线的对称，并直接写出的度数； (2)如图2，表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点，使，请利用尺规作图，画出点的位置，并说出其中用到的数学道理． 【答案】(1)如图：即为所求，的度数为 (2)如图：点即为所求，数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先作出点B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；由平角和角的和差可得，再由轴对称的性质可得，然后由等腰三角形三线合一的性质即可解答； （2）如图：连接，再作线段的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求的点P．通过作图可知应用的定理是垂直平分线的性质定理． 【详解】（1）解：如图：即为所求；    ∵， ∴， ∵关于直线的对称， ∴， ∴． （2）解：如图：点P即为所求．    数学道理是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定，三线合一定理，分别以B、C为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于一点，作过该点和点A的直线交于D，则可得到，则可利用证明． 【详解】解：如图，点即为所求． 4．（2025·广东潮州·一模）如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．作的平分线交与点E，然后在的延长线上取点D，使，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求． 理由：由作法得：平分，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， 即 和关于直线对称． 5．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形高的定义及其作法、平行线线间距离处处相等、等腰三角形三线合一的性质等知识．作图时找准相应的知识点是解决本题的关键． （1）利用平行线间距离处处相等，作出同底等高的三角形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 6．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 7．（2025·河南·二模）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)作图见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角等于已知角即可； （2）根据等腰三角形的三线合一得到，再证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接， 以点为圆心，以长为半径画弧交于点， 以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接并延长得到射线， ∵， ∴， ∴，即， ∴射线即为所求， 以点为圆心，以长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，如图所示， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：，为的平分线， ， ∴， ∴，， 点在的垂直平分线上， ， ． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，以及垂直平分线作法，解题的关键在于结合等腰三角形性质理解过点A作，即作的垂直平分线． （1）根据题意证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用等腰三角形底边上三线合一，可知过点A作，即作的垂直平分线，根据垂直平分线作法作图，即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． 题型一：等腰三角形“三线合一”中线段和最值问题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，   ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴垂直平分， ， ， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当、、三点共线，且时，最小， 过点作于点交于点，如图所示： ∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长， ， ， 即的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，线段垂直平分线的性质等知识；连接，过点C作于点F，则易得，当点C，P，E共线且与重合时，取得最小值，利用面积关系可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点F； ∵，D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 当点C，P，E三点共线且与重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，中，，，的面积是6．若D为底边的中点，P为的垂直平分线上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】如图所示，连接，根据线段垂直平分线的定义得到，则，再根据三线合一定理得到，再根据三角形面积求出的长即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一定理，熟知垂直平分线的性质和三线合一定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，的面积是6． ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 6．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段的性质，线段垂直平分线的性质．由等腰三角形中三线合一，可得垂直平分，进而可得，，由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值． 【详解】解：中，，是边上的中线， ， 垂直平分， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，即取最小值， 如图，过点B作于点Q，交于点P，此时取最小值， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，中，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N，根据三线合一定理求出的长和，根据三角形面积公式求出，根据对称性求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过C作于N， ∵是边上的中线， ∴平分， ∴M在上， 在中，， ∴， ∴， ∵E关于的对称点M， ∴， ∴， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，在上取一点，连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，可知当点在上时，的值最小，最小值为的长，又根据等腰三角形的性质可得，进而利用三角形面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点是定点，由两点之间线段最短可知，当点在上时，的值最小，最小值为的长， ∵，点是中点， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 首先连接，过点作于点，因为平分，交于点，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据垂线段最短得， 即当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为． 故答案为． 题型二：等腰三角形“三线合一”中周长最值问题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在x轴上，，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于E、F点．若点C为边的中点，点M为线段上动点，则周长的最小值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点C是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点O关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵ ∴ ∵是等腰三角形，点C是边的中点， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴点O关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：9． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、线段的垂直平分线的性质及三角形的面积公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键．连接，首先结合三角形的面积公式求得的值，再根据垂直平分线的性质易得，然后根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，于点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴周长为：， 即周长的最小值为：． 故答案为：7． 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，面积为16，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，推出的最小值为4，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4， ∴周长的最小值为， 故答案为：8． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，，三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．连接、，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，则当A、P、F三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：连接、，如图． 因为是线段的垂直平分线， 所以点A与点关于对称． 所以， 所以周长， 当A，，三点共线时，周长最小， 因为为边的中点，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以的周长， 所以周长的最小值为7， 故答案为：7． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，将则的周长的最小值转化为的长是解题的关键．连接，由是的垂直平分线，得点A与C关于对称，则最小值为的长，且为定值，再运用面积即可求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴点A与C关于对称， ∴， 此时，最小值为的长， ∵，点G为的中点， ∴， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，等腰中，，，面积为48．垂直平分，垂足为点，交边于点，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由，点是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点在上时，最小，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， 当点在上时，最小，最小值为， 的周长最短 ． 故答案为：14． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 题型三：等腰三角形“三线合一”中需分情况讨论问题 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质（三线合一、等腰三角形两底角相等），熟练掌握等腰三角形的性质，分情况讨论为等腰三角形的各种情况是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一得出度数和，再分三种情况讨论为等腰三角形时的度数． 【详解】解：，是边上的中线， 平分，（等腰三角形三线合一）． ， ，． 情况一：当时 ，， ． ， ． 情况二：当时 ，， ，则． ，此时，不符合，舍去． 情况三：当时 ，， ． ， ． 综上，的度数是或． 故答案为：或 ． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】为锐角三角形时，根据线段垂直平分线的定义得到，从而求得，继而可得，问题得解；为钝角三角形时，同理可得，即，问题得解． 【详解】解：①如答图①，当为锐角三角形时， 因为垂直且平分， 所以，． 所以． 又因为， 所以， 所以，即； ②如答图②，当为钝角三角形时， 因为垂直且平分， 所以，， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以． 综上，的度数为或． 题型四：“三线合一”中多结论问题 1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）． 【详解】解：∵平分， ∴，，， 故（1）（2）（3）正确， ∵平分， ∴， ∴ 故（4）正确， 综上，一共有4个正确， 故选：D 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④若，，则四边形的面积等于48，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质．先证明与全等，再证明与全等即可判断． 【详解】解：在与中， ， ∴，故③正确； ∴， ∴， ∴，故①正确 在与中， ， ∴， ∴， 故②正确； 四边形的面积， ∵，， ∴四边形的面积，故④错误； 故选C． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法：①；②；③；④．其中不一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用等腰三角形的性质可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点， ∴垂直平分， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， , ∴， ∴，故①一定成立，不符合题意； ∵， ∴，，故②④一定成立，不符合题意； 无法说明，故③不一定成立，符合题意； 综上分析可知，不一定成立的有1个． 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，然后可得①正确；过P作于M，于N，于S，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式列式，继而得出，②错误；根据三线合一可知③正确；证明平分，然后根据平行线的性质和角平分线定义可得④正确． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，①正确； 过P作于M，于N，于S， ∵平分，平分， ∴， ∵， 但无法证明，②错误； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），③正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的是①③④，共3个， 故选：C． 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：；；；；点在的垂直平分线上，其中正确结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，根据同角的余角相等求出；再根据等角的余角相等可以求出；③只有时；根据等腰三角形三线合一的性质求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出垂直平分，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，故正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故正确； ∵， ∴只有时，故错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴点在的垂直平分线上，故正确； 综上所述，正确的结论是， 故选：． 6．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断①；由不一定等于，即可判断②；由对称的性质得，根据全等三角形的性质即可判断③；如图，过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断④；综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故②错误， ∵与关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 同理可得：， 由轴对称性质可知：， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①③④． 故选：C． 7．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】证明，得出，，可判定①②正确；证明点在线段的垂直平分线上，得出垂直平分BC，判定④正确；延长交于点，根据等腰三角形的性质得到，根据余角性质得出，可判定③正确，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故正确； 延长交于点，如图所示， ∵，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上可知，正确的结论有个， 故选：． 题型五：“三线合一”中解答题压轴 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    2．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程． （2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接．先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出垂直平分，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）如图，延长到点，使，连接，延长，交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 又∵， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，为的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)在上确定一点，使得，连接，求证：．（利用尺规作图将图形补充完整，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）如图：延长交于点H，根据等腰三角形三线合一的性质可知是的垂直平分线，据此即可证明结论； （2）先根据要求补全图形，然后可得，进而证得，再证明可得，最后根据等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明∶如图：延长交于点H， ∵，平分， ∴．， ∴是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上． （2）解：补全图形如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵CG平分， ∴， ∴ 在ABCG和ACAF中 ， ∴， ∴， ， ∴． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）2 【分析】（1）作于M，由，可得出，由角平分线的性质定理了得出，即可得出． （2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，证明，由全等三角形的性质即可得出．方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，利用角平分线的定义可推出， 再利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再证明即可得出． （3）由方法二（2）可得出，再根据即可得出答案． 【详解】证明：（1）作于M，如图． ∵，， ∴， ∵和分别平分和，， ∴， ∴． （2）成立， 方法一：过点P作于G，交于H，如图． 则， ∵， 则， ∴， 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴． 方法二：延长交于点M， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题： 问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；延伸探究：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，则，最后即可； （），，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，得即可； 延伸探究：分两种情况讨论即可； 【详解】（）如图，连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【延伸探究】如图，连接，过作于点， ∴， ∵由（1）知在等腰直角中， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为； 如图， 同理， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 综上可知：的面积为或． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（   ） A．三角形的三条高线交于一点 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 【答案】D 【分析】根据三角形高线性质、等腰三角形三线合一性质、等腰三角形对称性、全等三角形性质等知识逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、三角形的三条高线所在的直线交于一点，原说法错误，不符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意； D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意； 故选：D． 4．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，结合图形得出四边形的面积，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴四边形的面积， ∵的长为8， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 6．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】过点A作于点M，于点N，证明，得出，根据，，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点M，于点N，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 7．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等据三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质可得是的平分线，即可求出的度数． 【详解】于点， ， ， ， 是的中线， 是的角平分线， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的定义以及等边对等角可得出，然后根据三角形内角和定理求出，，最后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 即有4对全等三角形， 故答案为：4． 12．（23-24七年级下·山东东营·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，连接交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当点M位于点处时，有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得的长． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点M位于点处时，有最小值，最小值6， ∴的周长的最小值为． 故答案为：8． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． (1)求证：． (2)求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得，；再由得，即可得，利用即可证明； （2）由及E为中点可得；由及得平分，从而由等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴； ∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵， ∴是线段的垂直平分线． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 15．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，所以，则，而，，即可根据“”证明，得，所以； （2）由平分，得，而，，即可根据“”证明，得，即可由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）证明： ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 且， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． （等角对等边）． （2）证明：平分， ． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 又 （等腰三角形三线合一）． 16．（2025·陕西榆林·三模）已知，中，，，为的中点，请利用尺规作图法在内部确定点，使到、的距离相等且．（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，尺规作角平分线，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角和的计算是关键． 根据题意，尺规作的角平分线交于点，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，点E为所求． ∵， ∴， ∵连接，点是中点， ∴， ∵，， ∴作的角平分线交于点， 如图，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点， ∴ ， ∴为所求点． 17．（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，进而得，得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明可得，，再证明，得到，进而根据等腰三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由（）知，即得，即可得，得到，再分点在上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：取的中点，连接， 由（）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 当点在上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 当点在下方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 综上，或． 1 / 133 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 等腰三角形的性质定理（第二课时） 题型一：根据等腰三角形“三线合一”求角度 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，点E在上，垂直平分于点D，，若，则 ． 7．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 8．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 题型二：根据等腰三角形“三线合一”求线段长度 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ． 2．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点．若的周长为20，，则的长为 ．    3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为 4．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 6．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，，，若，则 ．    7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在等腰中，，为的角平分线，若的周长为，的周长为，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则 ． 题型三：“三线合一”中的面积问题 1．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 2．（2025·云南临沧·二模）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（） A．36 B．18 C．9 D． 5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为 ． 7．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，是边上的中线，过点作，交的延长线于点，连接．若，的面积为，则的面积为 ． 题型四：判断结论是否正确 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连接，交于点，下列说法错误的是（   ） A．平分 B．垂直平分 C． D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 5．（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，垂足为，点是上一点，连接．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）如图，平分垂直平分于点，交的延长线于点，连接．下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在四边形中，，，P是边上的一个动点，要使的值最小，则点P应满足（    ） A． B． C． D． 题型五：“三线合一”中尺规作图问题（选填） 1．（2025·江苏苏州·一模）已知线段，利用直尺和圆规作的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（   ） A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0 C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等 4．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，．按下列步骤用直尺和圆规作图： 第一步：分别以点A和点B为圆心、大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N； 第二步：作直线交边于点D； 第三步：连接． 根据以上信息推断，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，，则的面积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 6．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，的长为半径画弧，交延长线于点H，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 8．（23-24八年级上·湖南株洲·期中）如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（　　） A．5 B．6.4 C．4.8 D．6 9．（24-25八年级上·河南商丘·开学考试）如图，在中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接，若，的周长为16，则的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 题型六：“三线合一”解决实际问题 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点D处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点A．如果重垂线过点A，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）河南所有行政村实现了网络覆盖，如图，为了让安装设备的电线杆垂直于地面，工程人员从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当，且点，，在同一直线上时，电线杆.这种操作方法的依据是（    ） A．等角对等边 B．两点之间线段最短 C．等腰三角形三线合一的性质 D．垂线段最短 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明平分的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，工匠们用这个工具检测屋梁是否水平．当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可以确定三角形的底边与梁是水平的，否则梁就不是水平的，这样测量利用的几何性质是 ． 6．（24-25八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 题型七：“三线合一”中基础解答题 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，若，求的度数． 2．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，点E在上且． (1)若的周长是，求线段的长； (2)求的度数． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，D为边上一点，连接，，过点D作的垂线，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为24，求的长． 5．（24-25七年级上·山东·期末）如图中，，是中线，的平分线与相交于点D，． 求 (1)的度数． (2)的度数． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，是边上的中点，． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 7．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，边的垂直平分线，交边于点，交边于点，连接． (1)若，的周长为10，求的周长． (2)若，，求的度数． 8．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，求的周长； (2)分别过点作于、于，若，，求的长． 9．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，分别为的高线及角平分线，且， (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接． (1)求的度数； (2)求三角形的面积． 11．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 题型八：“三线合一”中求证类问题 1．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，为的中线．以点为圆心、的长为半径画弧，与分别交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接． (1)求证：； (2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 6．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求 ． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知：如图，在中，，是边上的中线，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的面积是2，求四边形的面积． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九：“三线合一”中尺规作图解答题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知：在中，， (1)（尺规作图）求作：的角平分线，使得与相交于点． (2)若，求的长． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）作图题：以下画图或尺规作图不写画法，保留作图痕迹．    (1)如图1，的顶点A在直线上，已知，画出关于直线的对称，并直接写出的度数； (2)如图2，表示不在同一直线上的三个小区位置，现要建一个快递接收站点，使，请利用尺规作图，画出点的位置，并说出其中用到的数学道理． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025·广东潮州·一模）如图，在中，．用尺规作图：作关于直线对称的．（不写作法，但要保留作图痕迹．） 5．（2025·江西新余·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图（1）中画出一个，使，为格点（点不在点处）； (2)在图（2）中的边上找一点，使点到和所在直线距离相等． 6．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 7．（2025·河南·二模）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 8．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，，，． (1)求证：． (2)用直尺和圆规作图：过点A作，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 题型一：等腰三角形“三线合一”中线段和最值问题 1．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ）    A．5 B．4 C．3 D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，中，，，的面积是6．若D为底边的中点，P为的垂直平分线上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 5．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 6．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在中，，，，是边上的中线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，中，是边上的中线且，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，点是中点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则其最小值为 ． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 题型二：等腰三角形“三线合一”中周长最值问题 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在x轴上，，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于E、F点．若点C为边的中点，点M为线段上动点，则周长的最小值是 ． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，于点，垂直平分，垂足为点，交于点，点是上一动点，则周长的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，面积为16，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的面积是10，的垂直平分线分别交，边于，两点，若为边的中点，在线段上存在一点，使P，B，F三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期中）如图，在中，的面积为20．垂直平分，分别交边于点D，E，点F为直线上一动点，点G为的中点，连接，则的周长的最小值为 ． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，等腰中，，，面积为48．垂直平分，垂足为点，交边于点，点是边的中点，点在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 题型三：等腰三角形“三线合一”中需分情况讨论问题 1．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）已知中，，是边上的中线，且，点是边上的一点，若为等腰三角形，则的度数是 ． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，求的度数． 题型四：“三线合一”中多结论问题 1．（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图，四边形是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④若，，则四边形的面积等于48，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法：①；②；③；④．其中不一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，与交于点H，交于点F，交于点G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：；；；；点在的垂直平分线上，其中正确结论是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型五：“三线合一”中解答题压轴 1．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·四川南充·期末）（1）如图1，在四边形中，，．E、F两点分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系． 小王同学探究此题的方法是作辅助线：延长到点G，使，连接．然后顺利的完成了此题的解答．请你按照他的方法写出解答过程． （2）如图2，在四边形中，，．若E、Ｆ分别在、的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，为的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)在上确定一点，使得，连接，求证：．（利用尺规作图将图形补充完整，保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 5．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 6．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题： 问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 8．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（   ） A．三角形的三条高线交于一点 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 4．（2025·广东广州·二模）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 5．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，点，，在直线上，点，在的同侧，，若，，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点E，若，，则的度数为 ． 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对． 12．（23-24七年级下·山东东营·期中）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 13．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． (1)求证：． (2)求证：是线段的垂直平分线． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 15．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，已知：在中，点分别在边上，．． (1)求证：； (2)连接，如果平分，求证：． 16．（2025·陕西榆林·三模）已知，中，，，为的中点，请利用尺规作图法在内部确定点，使到、的距离相等且．（不写做法，保留作图痕迹） 17．（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 1 / 133 学科网（北京）股份有限公司 $$