【第十五章 轴对称 01讲 图形的轴对称】【八大知识点+九大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十五章 轴对称 01讲 图形的轴对称 题型归纳 【题型1. 轴对称图形的辨别】…………………………………………………………… 5 【题型2. 成轴对称的两个图形的辨别】………………………………………………… 6 【题型3. 求对称轴条数】………………………………………………………………… 7 【题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用】…………………………………………… 8 【题型5. 线段垂直平分线的性质——求线段长度】…………………………………… 9 【题型6. 线段垂直平分线的性质——求角度】………………………………………… 11 【题型7. 线段垂直平分线的判定】……………………………………………………… 13 【题型8. 线段垂直平分线的性质与判定综合】………………………………………… 15 【题型9. 命题】…………………………………………………………………………… 17 【题型10. 尺规作图——作线段的垂直平分线】………………………………………… 18 【题型11. 尺规作图——作线段的垂线】………………………………………………… 20 【题型12. 画对称轴】……………………………………………………………………… 22 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 24 知识清单 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.元素：这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点事对应点，叫作对称点. 3.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 成轴对称的两个图形全等. 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点4 垂直平分线的定义及性质 1.定义：过过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB ∴∠PCA=∠PCB 又AC=BC，PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB 知识点5 垂直平分线的判定 1.根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（证明一个点到线段的两个端点的距离相等） 知识点6 命题、定理 1.把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 3.例： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 互逆 定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 互逆 定理 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 知识点7 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： （1）如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点8 作已知线段的垂线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂线． 作法： （1）如图（1），在点P左侧任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l与点B； （2）如图（2），分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q.（3） （1） （2） 证明： 由步骤（1）作法可知，点P为线段AB的中点，即点P在线段AB的垂直平分线上 由步骤（2）作法可知，AQ=BQ，即点Q在线段AB的垂直平分线上 ∴ 直线PQ是线段AB的垂直平分线，且经过点P，即PQ⊥l 题型专练 题型1. 轴对称图形的辨别 【例1】（2025·天津河东·模拟预测）在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建宁德·期末）城市文旅标志设计既呈现一个城市的文化旅游特色，也体现着传统艺术美学．下列文旅标志是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·福建漳州·一模）如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 题型3. 求对称轴条数 【例1】（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2021·河北唐山·二模）下列图形只有两条对称轴的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 【变式1】（2025·山东·模拟预测）花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰．下列四种眉心花钿图案中的轴对称图形中的对称轴总条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 【例1】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·河南南阳·专题练习）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式3】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型5. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 【例1】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 【变式4】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为多少？ 题型6. 线段垂直平分线的性质——求角度 【例1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，线段，的垂直平分线、相交于点O．若，则（　　） A．42° B．48° C．84° D．96° 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，求的度数． 【变式1】（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（       ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）点是三边垂直平分线的交点，连接、、，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．    (1)若的周长为18，的周长为6，求的长； (2)若，，求度数． 【变式4】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知， 如图， 在等边三角形中， 点 D 是边中点， 于F， 延长到E， 使， 连接， 求的度数． 【变式5】（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于． (1)求的长； (2)若，，求的度数． 题型7. 线段垂直平分线的判定 【例1】（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【例2】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，则点O是（    ）    A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【变式3】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 题型8. 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【变式1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【变式3】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【变式4】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 题型9. 命题题型 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形 C．如果，，则． D．两个全等三角形的面积相等 【例2】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【变式2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）命题“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【变式4】（2025·安徽蚌埠·三模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【变式5】（14-15八年级下·山东潍坊·开学考试）命题“平行四边形两组对边平行”的逆命题是 ． 10. 尺规作图——作线段的垂直平分线 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【变式1】（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 题型11. 尺规作图——作线段的垂线 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【例2】（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，在上作一点Q，连接，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【变式2】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，点D在上． (1)求作点O，E，使得经过的中点O，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与全等吗？说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____ ①______ ） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 题型12. 画对称轴 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若关于直线对称的的顶点的坐标为；请直接画出直线并写出点的坐标． 【变式2】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）请在网格中完成下列问题： （1）如图1，网格中的ABC与DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出ABC与DEF的对称轴直线PQ； （2）如图2，请在图中作出ABC关于直线对称的． 巩固练习 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C．轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接．若点P到，的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·江苏无锡·二模）写出命题“若，则．”的逆命题： ． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 13．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ． 14．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为 ． 17．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 19．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，垂直平分，则的度数为 ． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，已知线段，分别以端点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，点在直线上，连接、、、，若分别是和的中点，且则的面积是 ． 三、解答题 21．（24-25七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； (2)如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 22．（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 25．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 26．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 27．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 28．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）下面是小林设计“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线的垂线． 作法：（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作直线． 则直线就是所求作的垂线． 根据小林设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵________， ∴点在线段的垂直平分线上（_____________________________________）． 同理，点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分（_____________________________________）． ∴直线． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）对于所有的直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形． 例如：如图，已知中，，作直角边的垂直平分线，分别交于D，E两点，连接，则将分割成两个等腰三角形：．    (1)请将以下证明过程填写完整． 证明：∵垂直平分， ∴（    ）， ∴（     ）， 在中，， ∴， ， ∴， ∴（     ）， ∴是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹）    (3)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．（用相同的字母标出相等的线段）    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称 01讲 图形的轴对称 题型归纳 【题型1. 轴对称图形的辨别】…………………………………………………………… 5 【题型2. 成轴对称的两个图形的辨别】………………………………………………… 8 【题型3. 求对称轴条数】………………………………………………………………… 9 【题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用】…………………………………………… 11 【题型5. 线段垂直平分线的性质——求线段长度】…………………………………… 15 【题型6. 线段垂直平分线的性质——求角度】………………………………………… 19 【题型7. 线段垂直平分线的判定】……………………………………………………… 26 【题型8. 线段垂直平分线的性质与判定综合】………………………………………… 29 【题型9. 命题】…………………………………………………………………………… 34 【题型10. 尺规作图——作线段的垂直平分线】………………………………………… 37 【题型11. 尺规作图——作线段的垂线】………………………………………………… 41 【题型12. 画对称轴】……………………………………………………………………… 45 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 48 知识清单 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.元素：这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点事对应点，叫作对称点. 3.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 成轴对称的两个图形全等. 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点4 垂直平分线的定义及性质 1.定义：过过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB ∴∠PCA=∠PCB 又AC=BC，PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB 知识点5 垂直平分线的判定 1.根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（证明一个点到线段的两个端点的距离相等） 知识点6 命题、定理 1.把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 3.例： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 互逆 定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 互逆 定理 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 知识点7 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： （1）如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点8 作已知线段的垂线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂线． 作法： （1）如图（1），在点P左侧任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l与点B； （2）如图（2），分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q.（3） （1） （2） 证明： 由步骤（1）作法可知，点P为线段AB的中点，即点P在线段AB的垂直平分线上 由步骤（2）作法可知，AQ=BQ，即点Q在线段AB的垂直平分线上 ∴ 直线PQ是线段AB的垂直平分线，且经过点P，即PQ⊥l 题型专练 题型1. 轴对称图形的辨别 【例1】（2025·天津河东·模拟预测）在日常生活中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·福建宁德·期末）城市文旅标志设计既呈现一个城市的文化旅游特色，也体现着传统艺术美学．下列文旅标志是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）三星堆文化是古蜀文明的实证，揭示了中华文明多元一体的格局，并展现了独特的艺术成就与文化交流，在下面三星堆出土文物图片中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．沿一条直线对折，图形的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不一定轴对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意；故选：B 题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2022·福建漳州·一模）如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D．无法确定 【分析】利用轴对称的性质可得阴影部分面积是正方形面积的一半，即可解答； 【详解】解：正方形的面积=4×4=16cm2， AC是正方形的对角线， ∴阴影部分的面积==8 cm2； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，掌握轴对称的两个图形的面积相等是解题关键． 【变式2】（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：选项A，B，C的两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称， 选项D中两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 题型3. 求对称轴条数 【例1】（2025·山东聊城·三模）下列图形中，对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，以及对称轴，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴． 分别求出每一个图形的对称轴数量，即可求解． 【详解】解：A、有2条对称轴； B、有5条对称轴； C、有0条对称轴； D、有4条对称轴； ∴对称轴数量最多的B， 故选：B． 【例2】（2021·河北唐山·二模）下列图形只有两条对称轴的是（    ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 【分析】结合图象根据轴对称图形的概念及画法解答即可． 【详解】解：A.平行四边形不是轴对称图形； B.等边三角形有三条对称轴； C.矩形有两条对称轴； D.圆有无数条对称轴； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念的有关知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部折叠后可重合． 【变式1】（2025·山东·模拟预测）花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰．下列四种眉心花钿图案中的轴对称图形中的对称轴总条数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】本题考查了轴对称图形的识别和对称轴，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义识别出轴对称图形，再计算出轴对称图形中的对称轴总条数即可． 【详解】 解：是轴对称图形，有条对称轴； 是轴对称图形，有条对称轴； 是轴对称图形，有条对称轴； 不是轴对称图形，没有对称轴；， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义，结合图形找出对称轴是关键． 根据轴对称图形的定义“指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴”，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方形有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形没有对称轴，不符合题意； C、矩形有2条对称轴，不符合题意； D、等腰三角形只有1条对称轴，符合题意； 故选：D ． 题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 【例1】（2025·河北邢台·三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】 解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 【例2】（2025七年级下·河南南阳·专题练习）如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③，共3个 故选：C． 【变式2】（2023八年级上·江苏·专题练习）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式3】（2025·山西吕梁·二模）如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型5. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 【例1】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可. 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴， ∴ 的周长， ∵， ∴ 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E．若，，求的长． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，根据角平分线的性质，求得的长，据此即可求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∵在中，，平分交于点D，， ∴， ∴． 【变式4】（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，垂直平分边，若的周长为，，则的长为多少？ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可得，进而可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵垂直平分边， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型6. 线段垂直平分线的性质——求角度 【例1】（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据三角形外角性质得解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形外角性质，熟练掌握作图的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得到， 故， 根据三角形外角性质得， 故选：C． 【例2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，线段，的垂直平分线、相交于点O．若，则（　　） A．42° B．48° C．84° D．96° 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，四边形内角和为等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 连接并延长到P．由线段垂直平分线的性质可知，，从而得出，．再根据三角形外角的性质可求出，从而即可解答． 【详解】解：如图，连接并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点O， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，求的度数． 【分析】分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答．此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【详解】解：如图1， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为：或． 【变式1】（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（       ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质．利用线段垂直平分线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角即可得到结论． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D． ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）点是三边垂直平分线的交点，连接、、，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理；利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】∵点M为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故选：D． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接．    (1)若的周长为18，的周长为6，求的长； (2)若，，求度数． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握相关性质正确计算是本题的解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用三角形的周长求得长度； （2）利用三角形内角和求的度数，然后利用等腰三角形三线合一的性质求的度数，从而使问题得解． 【详解】（1）解：（1）∵垂直平分，垂足为F，交于点D ∴， ∴的周长 的周长 ∴ ∴； （2）∵，， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴ ∴． 【变式4】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知， 如图， 在等边三角形中， 点 D 是边中点， 于F， 延长到E， 使， 连接， 求的度数． 【分析】本题考查等边三角形的性质，中垂线的判定和性质，连接，三线合一，求出，进而得到，根据垂直平分，得到，进而得到即可．掌握等边三角形三线合一，以及中垂线的性质，是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵等边三角形，为的中点， ∴，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式5】（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，且的周长等于． (1)求的长； (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟悉线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式推出，再由，可得； （2）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，则． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴，即 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴， ∴． 题型7. 线段垂直平分线的判定 【例1】（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图是的折纸示意图，则折痕是的（    ） A．中垂线 B．中线 C．角平分线 D．高线 【分析】本题考查了折叠的性质、中垂线定义以及三角形的角平分线、中线和高线，正确掌握相关定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ，，， 不是的角平分线，不是中垂线和的中线． ， ， ， 是的高线． 故答案为：D． 【例2】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，则点O是（    ）    A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【分析】根据垂直平分线的判定定理得解 【详解】解：∵ ∴点O在的垂直平分线上．即为三条边垂直平分线的交点． 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定，理解定理是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据题意易证，得出，即又可证，得出，，说明直线是线段的垂直平分线． 【详解】证明：如图，设，交于点O， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，即， ∴直线是线段的垂直平分线． 【变式3】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型8. 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 【变式1】（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 【变式3】（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接． (1)求证：垂直平分． (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． （1）由角平分线的性质得，证明，得，从而证明结论； （2）根据，得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接，中垂线的性质，推出，即可得出结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 题型9. 命题题型 【例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形 C．如果，，则． D．两个全等三角形的面积相等 【分析】本题考查了命题的相关概念、平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理，正确写出各选项的逆命题是解题关键． 先写各选项的逆命题，再根据平行线的性质、多边形的概念、有理数的运算、全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、逆命题：同旁内角互补，两直线平行． 由平行线的判定可知，逆命题正确，是真命题； B、逆命题：多边形是五边形． 多边形不一定是五边形，逆命题错误，则是假命题； C、逆命题：如果，则，． 逆命题错误，则是假命题； D、逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形． 由三角形全等的判定定理可知，逆命题错误，是假命题； 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键． 根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意； B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意； C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意； D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意． 故选A． 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【分析】本题考查了命题的逆命题、判断命题真假，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先写出命题的逆命题，再判定命题真假即可得出答案． 【详解】解：命题“如果互为相反数，那么．”的逆命题是“如果，那么互为相反数．”， 所以原命题的逆命题是真命题． 故答案为：真． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）命题“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【分析】本题考查的是真假命题的判断，写命题的逆命题，先写出逆命题为：若，则；再举反例说明逆命题是假命题即可． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是：若，则； 当时，，而， ∴这个逆命题是假命题； 故答案为：假． 【变式4】（2025·安徽蚌埠·三模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【分析】找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【变式5】（14-15八年级下·山东潍坊·开学考试）命题“平行四边形两组对边平行”的逆命题是 ． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，写出逆命题即可． 【详解】解：命题“平行四边形的两组对边平行”的逆命题是“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”． 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 10. 尺规作图——作线段的垂直平分线 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 【例2】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 【变式1】（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（   ）． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④ 【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， 故①成立；②成立；③不成立；④成立． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 题型11. 尺规作图——作线段的垂线 【例1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·福建宁德·期末）下列尺规作图，能确定是的角平分线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了基本作图，根据角平分线，中线，垂线的作图分别判断即可． 【详解】解：．通过做图可知是的角平分线，故该选项符合题意； ．通过做图可知，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的中线，故该选项不符合题意； ．通过做图可知是边的高，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，在上作一点Q，连接，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题考查作图-复杂作图．过点B作于点Q，则点Q即为所求． 【详解】解：如图，过点B作于点Q， 则点Q即为所求． ， ． 【变式1】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质．先判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，点D在上． (1)求作点O，E，使得经过的中点O，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，与全等吗？说明理由． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和平行线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于O，过点C作交延长线于E，则点E和点O即为所求； （2）根据平行线的性质可得，根据相等中点的定义可得，据此可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____ ①______ ） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点形成的直线即为所求； （2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴， ∴（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 题型12. 画对称轴 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线，轴对称的定义．作直线平分，则直线为的对称轴． 【详解】解：的对称轴如图所示， 【变式1】（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)若关于直线对称的的顶点的坐标为；请直接画出直线并写出点的坐标． 【分析】本题考查了作图轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据点的坐标结合轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求，； （2）直线如图所示，． 【变式2】（21-22八年级上·河南郑州·开学考试）请在网格中完成下列问题： （1）如图1，网格中的ABC与DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出ABC与DEF的对称轴直线PQ； （2）如图2，请在图中作出ABC关于直线对称的． 【分析】（1）利用网格特点作、的垂直平分线即可； （2）利用网格特点，分别作、、关于直线的对称点即可． 【详解】解：（1）如图，直线为所作； （2）如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 巩固练习 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据两类图形的定义即可得到结果． 【详解】解：A，图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C，图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D，图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆的概念，轴对称，根据轴对称的定义逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当三个圆心不构成特殊三角形时不是轴对称图形，如图， ∴这个图形可能不是轴对称图形，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离不相等时，只有一条对称轴， ∴这个图形可能只有一条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离相等时，有两条对称轴， ∴这个图形可能有两条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心构成等边三角形时有三条对称轴，如图， ∴这个图形可能有三条对称轴，故此说法正确，符合题意； 只有三个圆重合时，有无数条对称轴， ∵两两都不重复， ∴这个图形不可能有无数条对称轴，故此说法错误，不符合题意； 综上正确， 故选：． 5．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：． 6．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长， ， ， ， ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C．轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与外角性质对各项进行分析即可．本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和与外角性质，直角三角形两个锐角互余． 【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、中线与顶角的角平分线互相重合，原说法是错误的，故A选项符合题意； B、依题意，当是锐角三角形时，如图： 则 则， 在中，， 则； 当是钝角三角形时，如图： 则 则， 在中，， ∵ ∴ 则 则； 故等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，故B选项不符合题意； C、轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分，原说法是正确的，故C选项不符合题意； D、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，原说法是正确的，故D选项不符合题意． 故选：A． 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，中，是腰的垂直平分线，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：，， 又垂直且平分， ， ， ，即的度数是， 故选：C． 10．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在中，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线，分别交，于点P，D，连接．若点P到，的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】由作图知垂直平分，证出；由P到，的距离相等得出平分，再根据内角和求出，进而求出结论． 【详解】解：由作图知：垂直平分， ， ， 到，的距离相等，，， 平分， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图、等腰三角形性质、直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及角平分线的判定，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 二、填空题 11．（2025·江苏无锡·二模）写出命题“若，则．”的逆命题： ． 【分析】本题主要考查了命题和逆命题的知识，正确写出逆命题是解题关键．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据题目中给出的命题，结合逆命题的定义解答即可． 【详解】解：命题“若，则．”的逆命题：若，则． 故答案为：若，则． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，一张三角形纸片，，现将纸片的一角向内折叠，折痕，则的度数为 ． 【分析】利用平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵纸片的一角向内折叠， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为5，则的长是 ． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为 ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，对称的性质，根据题意分点在上和点在延长线上两种情况，画出示意图，结合三角形内角和定义即可解答． 【详解】解：如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于的对称点为点，， ∴， ∴； 如图，当点在延长线上时， 同理，，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 17．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为4， 的周长的最小值为， 故答案为：7． 19．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，垂直平分，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是关键．由角平分线和垂直平分线的性质可推出，然后利用三角形内角和定理可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，已知线段，分别以端点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，点在直线上，连接、、、，若分别是和的中点，且则的面积是 ． 【分析】利用垂直平分线的性质可知，再利用中位线定理可知，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可．本题考查了相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，中位线定理，平行线的性质与判定，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得垂直平分，如图， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点分别是和的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：（不要求写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在长方形中，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，请在图中画出折痕l； (2)如图2，四边形，E为边上一点，在四边形内找一点P，使，且直线为的对称轴． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，角平分线的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）连接，作线段的垂直平分线l即可． （2）先在的左侧作，再作的平分线，交射线于点P，则点P即为所求． 【详解】（1））解：如图1，连接，作线段的垂直平分线l，则直线l即为所求． （2）解：如图2，先在的左侧作，再作的平分线，交射线于点P，则点P即为所求． 22．（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答． （2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）解：依题意，点E如图所示． 23．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，已知点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P． (2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． （1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段的垂直平分线，即可作图； （2）点P关于m的对称点落在上，可得直线m为的平分线所在的直线，即可作图． 【详解】（1）解：如图①，连接，作线段的垂直平分线l， 则直线l即为所求． （2）解：如图②，作的平分线， 则的平分线所在的直线m即为所求． 24．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的周长． 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到是解题的关键． 根据题意可得，由的周长可得，再根据的周长计算即可求解． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， ， 的周长． 25．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 【分析】本题主要考查坐标与图形—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于y轴对称的点，进而问题可求解； （2）根据（1）中图形可进行求解； （3）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （4）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解 【详解】解：（1）所作如图所示： （2）由（1）图可得： 故答案为； （3）由题意得：内一点，在内的对称点的坐标为； 故答案为； （4）先作点B关于y轴的对称点D，连接，则与y轴的交点即为所求的点P，如图所示： 26．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 27．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可； 【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1） 知，，， ∵，， ∴，， ∴在和中， ∴ 28．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）下面是小林设计“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：如图，直线及直线外一点． 求作：直线的垂线． 作法：（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； （3）作直线． 则直线就是所求作的垂线． 根据小林设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． ∵________， ∴点在线段的垂直平分线上（_____________________________________）． 同理，点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分（_____________________________________）． ∴直线． 【分析】本题考查了作图——做垂线，垂直平分线的判定和性质等知识，理解垂线的作法是解题关键． （1）根据已知作法补全图形即可； （2）根据垂直平分线的判定和性质完成证明即可； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：证明：连接． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 同理，点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分（两点确定一条直线）． ∴直线． 故答案为：；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，证明出垂直平分，即可得解，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 30．（23-24八年级上·全国·单元测试）对于所有的直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形． 例如：如图，已知中，，作直角边的垂直平分线，分别交于D，E两点，连接，则将分割成两个等腰三角形：．    (1)请将以下证明过程填写完整． 证明：∵垂直平分， ∴（    ）， ∴（     ）， 在中，， ∴， ， ∴， ∴（     ）， ∴是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹）    (3)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．（用相同的字母标出相等的线段）    【分析】本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用线段的垂直平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质解决问题即可； （2）先分割成两个直角三角形，再利用直角三角形斜中线的性质解决问题； （3）先分割成两个等腰三角形，再将其中一个等腰三角形分割成两个直角三角形，再利用斜边中线分割成4个等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）， ∴（等边对等角）， 在中，， ∴， ， ∴， ∴（等角对等边）， ∴是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，等边对等角，等角对等边； （2）图形如图所示：    （3）图形如图所示：    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