【第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线】【三大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作角平分线】…………………………………………………… 3 【题型2. 角平分线的性质】……………………………………………………………… 5 【题型3. 角平分线的判定】……………………………………………………………… 6 【题型4. 角平分线性质的实际应用】…………………………………………………… 7 【题型5. 角平分线的性质与判定综合】………………………………………………… 8 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 10 知识清单 知识点1 尺规作图（作已知角的平分线） 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 知识点2 角平分线的性质 1.内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 2.数学语言： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ∴ PD=PE 3.【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角平分线的判定 1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 2.数学语言： ∵ PD⊥AO，PE⊥OB，且PD=PE ∴ OP是∠AOB的平分线 3.扩展：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 题型专练 题型1. 尺规作图——作角平分线 【例1】（2025·北京朝阳·二模）图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（   ） A． B． C． D．若连接，则 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作．（保留作图痕迹，不要求写作图过程） 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 题型2. 角平分线的性质 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·四川自贡·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，面积是，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 题型3. 角平分线的判定 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【例2】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）小明同学在数学探究活动中发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．他的做法是：如图，用一把直尺压住射线，用另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”问：小明的说法对吗？读你利用所给的示意图，给予证明．    【变式1】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【变式2】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F，．试说明：AD是的角平分线． 题型4. 角平分线性质的实际应用 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【变式2】（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【变式3】（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 题型5. 角平分线的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【变式2】（21-22八年级上·山东日照·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．    巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，要在内找一点P，使它到三边的距离相等，则P是（    ） A．边，上的高的交点 B．边，的中线的交点 C．与的平分线的交点 D．边的垂直平分线的交点 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E、F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D，若，，则的面积为（   ） A．15 B．30 C．45 D．90 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 8．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．射线与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 12．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图的三个内角的平分线相交于一点O，，的面积为9，则的面积为 ．    13．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到边的距离为 ． 14．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中， 用尺规作图法作出射线，交 于点D．若．点D到边的距离为6，则的长是 ．      15．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 16．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为 ． 17．（24-25八年级上·北京·期中）已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为 ． 19．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 20．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 三、解答题 21．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，． 求作：点，使得点在内，且到三边，，的距离相等． 22．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 23．（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求证； (2)如果，，求的面积． 24．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 25．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 26．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 28．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，平分，，，求证：． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形 03讲 角的平分线 题型归纳 【题型1. 尺规作图——作角平分线】…………………………………………………… 3 【题型2. 角平分线的性质】……………………………………………………………… 7 【题型3. 角平分线的判定】……………………………………………………………… 11 【题型4. 角平分线性质的实际应用】…………………………………………………… 13 【题型5. 角平分线的性质与判定综合】………………………………………………… 16 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 20 知识清单 知识点1 尺规作图（作已知角的平分线） 已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线． 作法： （1）如图（1），以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； （2）如图（2），分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； （3）如图（3），画射线OP．射线OP即为所求． （1） （2） （3） 证明：如图，连结CP，DP 由步骤（1）作法可知，OC=OD；由步骤（2）作法可知，CP=DP 在△OCP和△ODP中， ∴ ∴ △OCP△ODP（SSS） ∴ ∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB 知识点2 角平分线的性质 1.内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 2.数学语言： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E ∴ PD=PE 3.【提示】 （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 知识点3 角平分线的判定 1.内容：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 2.数学语言： ∵ PD⊥AO，PE⊥OB，且PD=PE ∴ OP是∠AOB的平分线 3.扩展：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点. 题型专练 题型1. 尺规作图——作角平分线 【例1】（2025·北京朝阳·二模）图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（   ） A． B． C． D．若连接，则 【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故D不符合题意； 而不一定成立，故C符合题意． 故选：C． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，用圆规和无刻度直尺在AB上方作．（保留作图痕迹，不要求写作图过程） 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及作一个角等于已知角，先作的角平分线，得出，再结合作一个角等于已知角的尺规作图过程，得，故，即可作答． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式1】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了尺规作图---角平分线，直角三角形的两个锐角互余，三角形的外角定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余得到，再根据角平分线以及三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得平分， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知四边形，，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接、，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查了作图——角平分线，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．作的角平分线，交于点于点，则点E即为所求． 【详解】解：如图，点E即为所求． 方法：作的角平分线，交于点于点．连接，． 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）尺规作图 (1)作图题：已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作，使．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：如图，四边形． 求作：点，使点在四边形内部，，并且点到两边的距离相等． 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线， 对于（1），先作射线，截取，再作，然后截取，连接，则即为所求作的三角形； 对于（2），作线段的垂直平分线，再作的平分线，可知，点P到的两边的距离相等，则点P就是所求作的点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如图所示，点P就是所求作的点． 题型2. 角平分线的性质 【例1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 【例2】（24-25七年级上·四川自贡·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，面积是，，，求的长． 【分析】根据角的平分线的性质定理，三角形面积公式，解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵面积是，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点E，于点F，且． (1)求证：． (2)若．求的值． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键． （1）先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：平分，，， ． 在和中， ∵ ． （2）解：由（1），得， ． ，， ． 在和中， ∵ ， ， ， ． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 题型3. 角平分线的判定 【例1】（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 【例2】（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）小明同学在数学探究活动中发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．他的做法是：如图，用一把直尺压住射线，用另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”问：小明的说法对吗？读你利用所给的示意图，给予证明．    【分析】过两把尺子的交点作于点，于点，根据角平分线的判定定理即可求证． 【详解】解：小明的说法是对的 理由如下：过两把尺子的交点作于点，于点，    ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∵，． ∴平分（角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分上）． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是掌握角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分上． 【变式1】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是E，F，．试说明：AD是的角平分线． 【分析】根据是的中点得，根据，得，利用AAS可证明，即可得， 根据，，即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴， ∵，， ∴AD是的角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意掌握角平分线的判定，全等三角形的判定与性质． 题型4. 角平分线性质的实际应用 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【变式1】（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解． 【变式3】（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 题型5. 角平分线的性质与判定综合 【例1】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 【变式2】（21-22八年级上·山东日照·期末）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．    【分析】过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，证明，可得，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，再由角平分线的性质的逆定理，即可求解． 【详解】证明：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，    ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 又， ∴是的平分线． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期中）如图，要在内找一点P，使它到三边的距离相等，则P是（    ） A．边，上的高的交点 B．边，的中线的交点 C．与的平分线的交点 D．边的垂直平分线的交点 【分析】本题主要考查了三角形内角的角平分线的性质，根据三角形的三个内角的角平分线交于一点，这一点到三边的距离相等，即可进行解答． 【详解】解：内确定一点到三边的距离相等，则这一点是两个内角平分线的交点． 故选：C． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E、F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D，若，，则的面积为（   ） A．15 B．30 C．45 D．90 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，作于 ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，于点B，于点D，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D．1 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，根据，，可得是的角平分线，从而求解． 【详解】∵，， ∴是的角平分线 ∵ ∴ 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点于点，若的周长为12，则的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，的角平分线、中线相交于点O．有下列两个结论：①是的角平分线；②是的中线．其中（　　）    A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②都正确 D．①和②都不正确 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义．根据题意得到是的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E是是中点，而O不一定是的中点，即可得到②． 【详解】解：是的角平分线， 则是的角平分线， 是的角平分线，故①正确； 是三角形的中线， 则E是是中点，而O不一定是的中点，故②错误． 故选：A． 8．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．射线与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质．利用等腰三角形底角相等求得，由作法得平分，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分， ∴， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【详解】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积．①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论②进行判断；③根据②的结论可证三角形全等得到，，，即可得到等于，变形即可得到③正确；④由②得，则，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于M，作于N，连接， ， 在中，是的平分线，是的平分线， ， ， ， ∴点O到各边的距离相等，故②正确； ，，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图的三个内角的平分线相交于一点O，，的面积为9，则的面积为 ．    【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：∵的三个内角的平分线相交于一点O， ∴点到三边的距离相等， 设到三边的距离均为， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：36． 13．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到边的距离为 ． 【分析】本题考查角平分线的性质．熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 根据角平分线的性质即可知点到边的距离等于长，即可解答． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， 点到边的距离等于． 故答案为：4． 14．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中， 用尺规作图法作出射线，交 于点D．若．点D到边的距离为6，则的长是 ．      【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作角平分线等知识点，如图，过点D作于E，由尺规作图知，平分，根据角平分线的性质求出，根据题意求出，进而求出，熟练掌握角平分线的性质，尺规作角平分线是解决此题的关键． 【详解】如图，过点D作于E，      由尺规作图知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：18． 15．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 【分析】本题考查角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O到三边、、的距离相等，可知，是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵点O到三边、、的距离相等， ∴是三角形三条角平分线的交点， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，且．若，，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质得到，利用证明，即可证明，设，则，再利用证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 设，则， 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 故答案为：2． 17．（24-25八年级上·北京·期中）已知，如图，平分，，，，，，则的面积为： ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理． 过点作于点，根据角平分线的性质可知，再利用三角形的面积公式计算即可； 首先根据判定，利用全等三角形的性质可得，根据四边形内角和定理可得． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 平分， ， 又， ； ，， ， 在和中， ， ， ， 在四边形中，， ， 故答案为：；． 18．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为 ． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过作于，于，由角平分线的性质可得，，，再根据，求出，即可得出的面积． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：． 19．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据角平分线的性质即可得出结论；④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①和的平分线相交于点G， ， ， ，， ，， ，， ，故正确； ②和的平分线相交于点G， ， ，故错误； ③和的平分线相交于点G， 点G是的内心， 点G到各边的距离相等，故正确； ④连接， 点G是的内心，，， ，故正确． 故答案为：①③④． 20．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【分析】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-角平分线、角平分线的性质、三角形面积等知识，先根据题中的尺规作图得到是的角平分线，过点作于，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，结合已知条件，根据三角形的面积求出，进而得到，即可得到答案，熟记尺规作图-角平分线、角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 由题中的尺规作图可知，是的角平分线， ， 的面积为9， ，即，解得，则， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图，． 求作：点，使得点在内，且到三边，，的距离相等． 【分析】此题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．作出和的平分线，两线的交点处就是P点位置． 【详解】解：如图所示： 22．（24-25八年级上·北京大兴·期中）如图，在中，作的平分线，交于点P．在射线上，截取线段，使． (1)用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定及性质． （1）先作的平分线，再截取线段，使即可； （2）由角平分线的性质得，再根据证即可证出结论． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）证明：如图， 平分， ， 在和中， ， ， ． 23．（24-25八年级上·广东惠州·期中）在中，已知，是的角平分线，，垂足为点E，． (1)求证； (2)如果，，求的面积． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质，结合证得，进而可证得结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴，，又， ∴， ∴，又， ∴，又，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是的角平分线，于点E，，，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 如图，作于，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 25．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】（1）利用即可证明； （2）由（1）知，则，即可得所在的直线是的角平分线，根据得，利用证明即可得； 掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中，             ∴ （2）解：由（1）知， ∴，                 ∴所在的直线是的角平分线， ∵， ∴， 在和中，                ，                              ． 26．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)若，，求及的度数； (2)连接，判断是否平分？并说明理由． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． （1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）∵，， ∴，. ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）平分； 理由：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分. 27．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，平分，，，求证：． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，由题意可得，再由三角形面积公式得出，，即可得解． 【详解】证明：∵在中，平分，，， ∴， ∵，， ∴． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线，射线即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题： (1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）． ①；②；③；④． (2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ④________． ⑤________． 为的角平分线． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线尺规作图，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法得出基本依据； （2）证明为的角平分线，即证明，可以通过证明． 【详解】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS． 故答案为：①； （2）解：由作图可知：，， 在和中， ， ， 为的角平分线， 故答案为：①；②；③；④；⑤． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$