第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试·提升卷）数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 4．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 6．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（   ）人 A．1 B．3 C．5 D．7 8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 10．若集合满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 13．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 16．（15分） 已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分） 设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 19．（17分） （1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 4．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 6．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（   ）人 A．1 B．3 C．5 D．7 8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 10．若集合满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 13．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 16．（15分） 已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 18．（17分） 设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 19．（17分） （1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的交运算求集合即可. 【详解】 ， . 故选：C 2．已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 3．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解. 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​. 故选: D. 4．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 5．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】A 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：A 6．已知p：，q：，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将p是q的充分条件转化为集合间的包含关系，根据包含关系列不等式组求解即可. 【详解】设集合， 集合， 因为p是q的充分条件，所以A是B的子集， 则，解得. 故选：B. 7．某班共有20人参加三个社团，其中参加篮球社的有12人，羽毛球社的有11人，乒乓球社的有10人，已知其中至少有4人同时参加了三个社团，则只同时参加了两个社团的人数不可能为（   ）人 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意作出Venn图，结合Venn图能表达出只同时参加了两个社团的人数，进而得解. 【详解】 设同时参加篮球社和羽毛球社的人数为人，设同时参加篮球社和乒乓球社的人数为人，设同时参加乒乓球社和羽毛球社的人数为人，只同时参加了三个社团的人数为人； 则， 则； 因为，所以， 所以只同时参加了两个社团的人数不可能为7人. 故选：D. 8．定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】结合集合新定义，讨论中元素个数即可； 【详解】由题意， 又非空集合A和B，且，若， 当中有一个元素时： ，；，； 当中有两个元素时： ，；，；，；，； 当中有三个元素时： ，； 当中有四个元素时： ，； 当中有五个元素时，集合不存在， 所以满足条件的不同的B的个数为8个， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项． 【详解】是无理数，是有理数，A错； 时，，但； 反之，时，，但； 则“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确； 命题的否定是：，C正确； “”的必要不充分条件是“”，则， 两个等号不同时取得．解得．D正确． 故选：BCD. 10．若集合满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】通过分析每个选项中集合之间的关系，利用已知的来判断其正确性. 【详解】对于A选项，因为，所以，A正确； 对于B选项，由于，所以，即，而不是，B错误； 对于C选项，因为，所以，C错误. 对于D选项，由C可得，，注意到，于是，D正确. 故选：AD. 11．对于的两个非空子集．定义运算，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【分析】根据运算逐个判断各个选项即可． 【详解】解：对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B正确； 对于C，若，则， 故，故选项C错误； 对于D，， 又，则，故选项D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 13．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设集合或，或，由题意可得，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 因为集合，当时，集合，符合； 当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 16．（15分） 已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解； （2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以非， 因为， 所以； （2）因为，所以， 又，故，故， 命题． 即，又，故． 综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为． 18．（17分） 设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 19．（17分） （1）对于数集A，B，定义，，若集合，求集合中所有元素之和． （2）设A，B是R上的两个子集，对任意，定义：，. ①若，则对任意，________； ②若对任意，，则A，B的关系为________．（要求写出解题过程） 【答案】（1）；（2）①0；②. 【分析】（1）根据给定的定义，求出及即可求和得解. （2）①由题意分和两种情况讨论即可求得 的值；②对任意，则的值一个为0，另一个为1，可得时，必有，或时，必有 即可得出的关系. 【详解】（1）由及，得， 由，得， 所以集合中所有元素之和为. （2）①由，得或， 当时，，； 当时，必有，则，， 所以. ②对任意，，则的值一个为0，另一个为1， 则且，或且，于是，且， 因此集合的关系为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D A A B D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．6 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）由于，所以是的实数根，（1分） 故，故（3分） （2）当时，原方程变为，此时，符合题意；（4分） 当时，方程为一元二次方程，，（5分） 即时，原方程的解为，符合题意．（6分） 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．（7分） （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，（8分） 由（1）知当时只有一个元素，（9分） 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；（11分） ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．（12分） 中最多有一个元素，或（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，得，（1分） 解得或，（3分） 当时，，不符合题意；当时，符合题意，（4分） 所以.（5分） （2）由（1）得，，由，得，（7分） ①若，此时，即，符合题意；（9分） ②若，由，则，解得：，（14分） 所以实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为， 所以非，（2分） 因为， 所以；（4分） （2）因为，所以，（6分） 又，故，故，（9分） 命题． 即，（10分） 又，故．（13分） 综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为．（15分） 18．（17分） 【详解】证明：（1）设集合中的元素，（2分） 所以．（5分） 因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件．（6分） 若，则，（7分） 可取，设． 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为2为偶数，所以与均为偶数， 所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，（9分） 所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件．（10分） （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，（11分） 所以，而，（12分） 所以满足集合， 所以偶数属于M．（13分） 必要性：因为偶数属于M，所以．（14分） 因为，所以与有相同的奇偶性． 因为为偶数，所以与均为偶数，（15分） 所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由及，得，（2分） 由，（4分） 得，（6分） 所以集合中所有元素之和为.（7分） （2）①由，得或，（9分） 当时，，；（11分） 当时，必有，则，， 所以.（13分） ②对任意，，则的值一个为0，另一个为1，（15分） 则且，或且，于是，且， 因此集合的关系为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$