精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题

六盘水市2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，即可得出. 【详解】由题意，，， ∴. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则. 故选：A. 3. 复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算求得，再根据复数模的公式求解. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，即可求出的值. 详解】由题意， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：A. 5. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，进而求出双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为，且， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数是偶函数的定义及对数运算计算求解函数值. 【详解】函数，函数定义域为， ，所以是偶函数， 所以； 故选：D. 7. 将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题干推得，结合，可得成以首项为，公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式． 【详解】∵ 又，∴成以首项为，公比为的等比数列 ，，即． 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，和平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间线线、线面、平面与平面的位置关系，结合题意，进行逐一分析即可. 【详解】对于A，若，，则与可能相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据7，8，6，8，4，7，3，9的下四分位数为4 B. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等 C. 已知随机变量，若，则 D. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】A.从小到大排列，计算第25百分位即可； B.令，得所有项的系数，与比较即可； C.正态分布，找出对称轴，，计算即可； D.套用线性相关系数结论即可. 【详解】选项A，排序数据：3，4，6，7，7，8，8，9；, ，下四分位数为：，A错误； 选项B，令，得得所有项的系数和为，二项式系数和为，B正确 选项C，，， ，，C正确. 选项D，样本相关系数的值越接近于-1，也是相关程度越强，D错误. 故选：BC 11. 定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. 不等式在区间上恒成立 D. 若，都有，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由题可得时，，其他段函数不确定，据此可逐项判断. 【详解】，， 又，， 又，所以时，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，根据题意只能推导时，， ，也符合题意，故C错误； 对于D，时，，, ，，, 则的最小值为，故D错误； 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前项和性质结合基本量运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，即， 又，所以，解得. 故答案：. 13. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设x轴上的点，y轴上的点，点，利用题设所得和中点坐标公式即可求解. 【详解】设x轴上的点，y轴上的点，点， 则由，又是的中点， 所以， 所以即， 所以的轨迹方程为. 故答案为： 14. 理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出_____个体积最大的小球.（参考数据：） 【答案】30 【解析】 【分析】确定最大小球的相切条件，用几何关系列方程求小球半径，求每层小球最大放置数量，再验证最多能放置几层小球，即可求出剩余石材最多还能打磨出多少个体积最大的小球. 【详解】由题意， 要在剩余空间打磨最大的小球，需满足： 与圆柱侧面相切（小球球心到侧面距离等于小球半径），与圆柱底面（或顶面）相切（小球球心到底面距离等于），与挖去的大球相切（两球心距离等于）， 设小球坐标为，由几何知识得， ， 解得：， 此为满足接触条件的最大半径. 接着求每层小球数量： 小球中心位于半径的圆周上， 设每层放个小球，相邻小球中心距离为, ∵中心间弦长公式为， ∴即，， ∵， ∴， 解得， ∴每层恰能放置 15 个相切的小球. 下面求解此圆柱能放置多少层小球： 小球中心高度为，底部小球范围为，顶部小球范围为， 间隙为， 顶部底部小球不会重叠， 小球中心到挖去球体中心最小距离为， ∴无法再放置一层小球， ∴挖去球后圆柱上下两部分都能放置一层，即最大放置层数为2， ∴最大打磨个数为. ∴剩余石材最多还能打磨出30个体积最大的小球， 故答案为：30. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人. （1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 20 不优秀 合计 100 （2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由题意直接填写列联表即可，先进性零假设，接着计算卡方值即可根据小概率的独立性检验思想下结论； （2）求出随机变量的取值及其相应概率结合数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 由题可得列联表如下： 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 10 20 30 不优秀 5 65 70 合计 15 85 100 零假设数学成绩与物理成绩无关联， 由表格得， 所以根据小概率的独立性检验，没有充分依据推断成立，即推断不成立， 所以根据小概率的独立性检验，认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】 由（1）可得从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人， 则物理成绩优秀的学生有2人，物理成绩不优秀的有4人， 所以若从这6人中随机抽2人则的取值有， 且， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望. 16. 设函数. （1）求的定义域，并证明：； （2）讨论的单调性，并比较与的大小. 【答案】（1）；证明见解析； （2）函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 【解析】 【分析】（1）根据分式对数式的要求可求函数的定义域，把代入解析式化简即可证明； （2）先求导根据导数的正负去求函数的单调性，利用单调性及去比较大小. 【小问1详解】 因为中，中，综合可得得定义域为， ； 【小问2详解】 因为，所以 令，即，所以，故， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增； 因为，且在区间上单调递增； 所以，又因为，所以， 所以. 17. 如图，在长方体中，，，，分别在，上，且. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量法证明，又易得，利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理得证. （2）由三棱锥等体积法，求得，利用向量法求得平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面. 【小问2详解】 因，所以，解得， 所以，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以， 易得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）求的最大值； （3）若的角平分线交于点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理求得答案； （2）由，利用基本不等式求得答案； （3）由，可得，结合可得，，令，求导判断单调性求得答案. 【小问1详解】 由，得， 即， 所以，而， 所以. 【小问2详解】 由（1），，即， ， ，即，当且仅当时，取等号. 所以的最大值为. 【小问3详解】 由（1），，， ，即， ， 由，得， 所以， 由，令， 设，则， 所以在上单调递增， ，即， 所以的取值范围为. 19. 如图，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，点，是上的两点，且. （1）求的方程； （2）过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为. ①求的面积； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义直接可得解； （2）①根据点的坐标及三角形面积公式直接计算；②根据三角形面积计算可得，结合等比数列求和公式可得证. 【小问1详解】 由已知抛物线，准线为， 由抛物线定义可知抛物线上点到焦点的距离为， 即，解得， 即抛物线方程为； 【小问2详解】 ①由（1）得抛物线方程为，即， 即，， 则， 即点的横坐标为，纵坐标为， 即，则， 则三角形面积； ②设，与线段的交点为， 则，， 即，， 又，即，， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 则， 则， 又， 则. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足，则（ ） A B. C. 3 D. 5 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A B. C. D. 2 7. 将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知直线，和平面，，下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本数据7，8，6，8，4，7，3，9的下四分位数为4 B. 的展开式中所有项的系数和与二项式系数和相等 C. 已知随机变量，若，则 D. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的值越接近于1 11. 定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. 不等式在区间上恒成立 D. 若，都有，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 记等差数列的前项和为，已知，，则的公差为_____. 13. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块，，它们可分别在横槽和纵槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.现以横槽和纵槽所在直线分别为轴和轴建立直角坐标系，若，是的中点，则的轨迹方程为_____. 14. 理想状态下，在一个底面直径和高均为的圆柱形石材中，挖去一个半径为的球体后，剩余石材最多还能打磨出_____个体积最大的小球.（参考数据：） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为了解高中学生数学成绩与物理成绩的关联性，现从某高中学校抽取100人，得到如下信息：数学成绩与物理成绩都优秀的有10人，都不优秀的有65人. （1）依据上述信息完善下列列联表，并根据小概率独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联； 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 20 不优秀 合计 100 （2）从数学成绩优秀的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，若从这6人中随机抽2人、记为物理成绩优秀的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 16. 设函数. （1）求的定义域，并证明：； （2）讨论的单调性，并比较与的大小. 17. 如图，在长方体中，，，，分别在，上，且. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）求的最大值； （3）若的角平分线交于点，求的取值范围. 19. 如图，抛物线上纵坐标为点到焦点的距离为，点，是上的两点，且. （1）求的方程； （2）过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，过线段的中点作轴的垂线交于点，，依此操作次，记的面积为. ①求的面积； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$