精品解析：贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

六盘水市2023—2024学年度高二年级学业质量监测试题卷 数学 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再由复数的模的运算求解． 【详解】解：， 则， 故选：B 3. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 45 C. 65 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解． 【详解】解：， 故选：C 4. 甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表： 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 99 乙 89 90 91 88 92 下列结论正确的是（ ） A. 甲的极差小于乙的极差 B. 乙的平均数大于甲的平均数 C. 乙的成绩比甲的成绩更稳定 D. 甲的中位数小于乙的中位数 【答案】C 【解析】 【分析】结合统计知识依次判断即可． 【详解】对于A项，甲的极差为：，乙的极差为：，则A项错误； 对于B项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，则B项错误； 对于C项，根据极差，易知乙的成绩比甲的成绩更稳定，故C项正确； 对于D项，甲的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：， 乙的成绩从小到大排成一列为：，其中位数为：，故D项错误， 故选：C 5. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商数关系和平方关系求出，然后由正弦的两角差公式可得. 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A 6. 关于的方程对应的曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别取求解即可． 【详解】解：当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 7. 已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系,可得的轨迹方程为圆，数形结合高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，且， 由，得， 化简得的轨迹方程为圆，半径， 如下图，有． 故选：A 8. 如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定理求解外接球半径即可. 【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形. 设该圆内接正三角形的半径为，边长为， 则， 解得， 如图，设折叠后正四面体棱长为，高为， 则， 过点作平面，为底面正三角形的中心，连接， 则在中，由正弦定理得，则， 所以高， 设正四面体外接球球心为，则 于是外接球的半径， 在中，，则， 所以，解得， 则其外接球的表面积为． 故选：B. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间上有且仅有一个零点 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】AD 【解析】 【分析】代入验证可判断A；根据周期定义判断的关系可判断B；直接计算可判断C；根据平移变换可判断D. 【详解】对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确； 对于B，因为， 所以是函数的周期，B错误； 对于C，因为，所以在区间至少有两个零点，C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得， 即，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 与互为反函数 B. 若是函数的极值点，则 C. 若，则 D. 点在曲线上，点在曲线上，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数定义可判断A；根据极值点处的导数等于0，然后两边取对数可判断B；作出的图象，根据对称性可判断C；利用对称性，结合图象将问题转化为求点到直线的最小距离的2倍，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式可判断D. 【详解】对于A，由对数定义可知， 所以与互为反函数，A正确； 对于B，，则， 若是函数的极值点，则必有， 即，两边取对数得，B错误； 对于C，作出的图象如图： 因为与的图象关于直线对称，直线与直线垂直， 所以直线与和的交点关于直线与的交点对称， 联立求解可得，所以，C正确； 对于D，由上图和对称性可知，的最小值等于点到直线的最小距离的2倍， 当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最小， 令解得，所以此时点坐标为， 所以的最小值为，所以，D正确. 故选：ACD 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示求解． 【详解】解：因为，所以， 得， 解得， 故答案：-2 13. 现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种． 【答案】30 【解析】 【分析】按抽取2名男生，1名女生时，抽取3名男生时进行求解． 【详解】解：抽取3名同学可以分为两类： 当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：， 当抽取3名男生时，分配方法数为：， 则总的方法数为：， 故答案为：30 14. 已知函数的定义域为，且．若，则______． 【答案】2024 【解析】 【分析】几何法：结合题意得，的图象关于直线对称，且关于点对称，结合图象求解；代数法：结合题意得，函数是周期为4的周期函数，再计算求解． 【详解】几何法：由得的图象关于直线对称； 由，得的图象关于点对称； 再根据可作出的一个符合要求的函数图象如下， 从而． 代数法：由得； 结合得； 于是，从而； 于是，所以函数是周期为4的周期函数． 由，得，所以； 由，得，所以； 由，得，从而； 从而，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的值； （2）若点满足，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由，结合二倍角公式和正弦定理得到求解； （2）方法1：结合（1）利用余弦定理求得a，再由，得到，然后在中，利用余弦定理求解；方法2：结合（1）利用余弦定理求得a，再由，得到求解. 【小问1详解】 解：由， 得，从而， 将代入得． 【小问2详解】 方法1：， 将代入得，解得． 因，所以， 由余弦定理得． 方法2： 将代入得，解得． 因为，所以， 两边平方得， 所以． 16. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名． （1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好； 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 乙 合计 （2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望； 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析； （2）分布列见解析，期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据相关数据完成列联表，再求得，与临界值表对照下结论； （2）利用超几何分布和期望求解. 【小问1详解】 解：列联表如下： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 10 45 55 乙 15 30 45 合计 25 75 100 零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异． 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异． 【小问2详解】 抽样比为，未治愈人数为2人，治愈人数为4人 随机变量的所有可能取值为． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 从而，所以随机变量的期望为1． 17. 已知长方体中，． （1）在长方体中，过点作与平面平行的平面，并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作图，即平面平面求解； （2）方法1，以点为坐标原点建系，利用直线与平面的向量运算求解； 方法2，由体积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，所作平面为平面． 理由如下： 因为为平行四边形，所以， 而平面平面，得平面， 同理得平面， 而平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 方法1：以点为坐标原点建系如图，则，． ， 设平面的法向量为，则 ，即 令，则，所以， 设与平面所成的角为，则． 方法2：设点到平面的距离为， 依题， 因为，所以， 从而，解得， 设与平面所成的角为，则． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）利用导数求斜率，由点斜式写出切线方程，令可得递推公式，然后根据等比数列定义可证是等比数列，利用分组求和法可得. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， 曲线在点处切线方程为， 令得， 于是（为常数）， 所以是首项为1，公比为的等比数列． 由得， 于是， 所以． 【点睛】方法点睛：数列求和的一般方法有：1、倒序相加法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组（并项）求和法；5、公式求和法. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点． （1）求直线的方程； （2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据“共轭点对”的定义可得； （2）（i）方法一：利用点差法可证；方法二：设联立椭圆方程，利用韦达定理可证； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出，利用韦达定理化简，然后利用导数求最值可得. 【小问1详解】 由已知，点在直线上， 又因为直线过原点， 所以所求直线的方程为：． 【小问2详解】 （i）方法1：因为，所以 设，则， 两式相减得， 整理得， 即，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 方法2：因为，， 所以设， 由， 由韦达定理得，于是， 从而，所以线段的中点在直线上． （ii）由（i）可知为的中点，而为的中点， 所以． 由解得，设， 由， 由， 由韦达定理得． 点到直线的距离， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以的最大值为． 【点睛】关键点睛：第二问第二小问解答关键在于对所求面积的转化，以及韦达定理的运用，将所求问题转化为关于的函数，利用导数求解可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市2023—2024学年度高二年级学业质量监测试题卷 数学 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 45 C. 65 D. 130 4. 甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表： 学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 99 乙 89 90 91 88 92 下列结论正确的是（ ） A. 甲的极差小于乙的极差 B. 乙的平均数大于甲的平均数 C. 乙的成绩比甲的成绩更稳定 D. 甲的中位数小于乙的中位数 5. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程对应的曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间上有且仅有一个零点 D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 10. 已知函数，则（ ） A. 与互为反函数 B. 若是函数的极值点，则 C. 若，则 D. 点曲线上，点在曲线上，则 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 13. 现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种． 14. 已知函数的定义域为，且．若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知，且． （1）求的值； （2）若点满足，求的长度． 16. 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名． （1）请补全如下列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好； 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 乙 合计 （2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数的分布列及期望； 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 17. 已知长方体中，． （1）在长方体中，过点作与平面平行平面，并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）在数列中，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．证明：数列是等比数列，并求数列的前项和． 19. 定义：若椭圆上两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”． 如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点． （1）求直线的方程； （2）已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且． （i）求证：线段被直线平分； （ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $