精品解析：河南省驻马店市2024-2025学年高二下学期7月期末质量监测数学试题

驻马店市2024~2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得 故选：C. 3. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以. 故选：B 4. 已知直线是双曲线（，）的一条渐近线，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，进而结合的关系可得，进而求解离心率. 【详解】由题意，，则，则， 则，即，所以. 故选：A. 5. 等比数列中，，若函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设,则，可得，而，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以， 因为是等比数列，且，， 于是，， 故， 所以. 故选：D. 6. 定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 因为当时，，则， 所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 则在区间上为减函数， 又，即， 所以，解得或， 则不等式的解集为. 故选：A. 7. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为， ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴. 故选：B. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与在相同区间的符号相同，可得的关系，再将写成关于的函数，利用导数分析函数的单调性，求其最小值. 【详解】由；由. 若，则恒成立，则在上不成立. 若，由；由. 由恒成立，可得：. 所以，. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数四则运算法则和复合函数求导法则对选项一一判断，得到答案 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：ACD 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，最大 D. 使的n的最大值为13 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，由题可得，由可得，，据此可判断AB；对于C，分析可得时，，时，，进而判断即可；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，由题意，即， 又，所以，且，则， 故为递减数列，即，故A正确，B错误； 由于时，，时，， 则时，最大，故C正确； 由， 所以使的的最大值为14，故D错误. 故选：AC． 11. 已知抛物线的准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. 准线l与圆A相切 B. 过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C. 当点P，A，B三点共线时， D. 满足的点P有且仅有2个 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过圆心到准线的距离来判断A；联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式求解判断B；求出P的坐标，进而得出切线长判断C；设出点P的坐标，建立方程并确定其解的情况判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为， 的圆心到直线的距离为1，大于圆的半径， 因此准线和相离，故A错误； 对于B，由，，则直线的方程为，即， 联立，得， 设直线与抛物线相交于点， 则，所以过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为，故B正确； 对于C，当三点共线时，即，则的纵坐标，横坐标， 即，此时切线长，故C正确； 对于D，设，由可得，又，， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间. 【详解】因为，则其定义域为， ，令， 即可得，解得， 结合函数定义域可知，函数的单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 13. 在的展开式中，含项的系数为________． 【答案】20 【解析】 【分析】分，，，，中一个取，其余取常数项，求的系数. 【详解】在的展开式中，含x项的系数为： . 故答案为：20 14. 如图，在三棱锥中，平面，记与平面所成的角为，，，，．若Q为平面内一动点，满足，则最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义知，利用求得，根据勾股定理得为等腰直角三角形，取的中点为，建立直角坐标系，根据椭圆定义求出点Q的轨迹方程，设，则，然后利用二次函数性质求解最大值即可得解. 【详解】因为平面，则与平面所成的角为，平面， 所以，又，，所以，所以， 即，，所以， 所以为等腰直角三角形， 取的中点为，连接，则，故以为坐标原点，建立如图的直角坐标系： 则，因为， 所以由椭圆定义可知，点Q的轨迹为以为两焦点的椭圆，其中，解得，，故方程为，设， 则， 故当时，取到最大值为，所以最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出每个芯片通过测试的概率，判断服从二项分布，结合期望和方差的公式即可求解； （2）分别求出，，再利用条件概率公式求解即可． 【小问1详解】 设事件A：芯片合格， 则每个芯片通过测试的概率为， 于是， 则，. 【小问2详解】 记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据和的关系推导可得数列为等比数列，进而求解即可； （2）利用裂项相消法求出，结合数列单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②①得，即， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以， 即． 17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角所成平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中垂直关系的转化可得平面，从而可得，进而可证平面，结合面面垂直的判定定理可证平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦，进而求二面角的正弦. 【小问1详解】 由题意：，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，且四边形为梯形，且，所以与必相交， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 小问2详解】 以为原点，建立如图空间直角坐标系，因为平面，所以轴. 设，，则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 ，取. 设平面的法向量为，则 ，取. 所以，，. 所以， 所以，即二面角所成平面角的正弦值为. 18. 已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． （1）求椭圆E的方程； （2）过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【小问1详解】 由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 19. 已知函数（自然常数）． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的极值点个数； （3）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）结合（2）分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为．即. 【小问2详解】 由，， 则，显然， 当时，， 所以函数在上单调递增，无极值点； 当时， 令，得；令，得， 所以函数上单调递增，在上单调递减， 则函数有1个极大值点，无极小值点. 综上所述，当时，函数无极值点； 当时，函数有1个极大值点，无极小值点. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在上单调递增， 且时，，显然不满足恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 设， 则， 所以函数在上单调递增，又， 要使恒成立，则， 所以a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 驻马店市2024~2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量等可能取值为（），若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，已知，，，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 已知直线是双曲线（，）一条渐近线，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 在等比数列中，，若函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 定义在上的奇函数（不是常数函数）的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列求导运算不正确是（ ） A. B. C. D. 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时，最大 D. 使的n的最大值为13 11. 已知抛物线准线为l，焦点为F，P为抛物线C上的动点，过点P作：的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. 准线l与圆A相切 B. 过点F，A的直线与抛物线相交的弦长为5 C. 当点P，A，B三点共线时， D. 满足的点P有且仅有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递增区间是__________. 13. 在的展开式中，含项的系数为________． 14. 如图，在三棱锥中，平面，记与平面所成的角为，，，，．若Q为平面内一动点，满足，则最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试．首次测试（测试Ⅰ）通过率为p（），未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为q（）．通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废． （1）若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X．当，时，求X的期望与方差； （2）已知一枚芯片合格，求这枚芯片是通过测试Ⅰ概率． 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，证明：． 17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，． （1）证明：平面平面； （2）求二面角所成平面角的正弦值． 18. 已知椭圆（）长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． （1）求椭圆E的方程； （2）过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 19. 已知函数（自然常数）． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的极值点个数； （3）若恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$