模型06 平抛运动与斜面的结合-2025-2026学年新高二物理暑假复习常考模型专题训练（人教版2019必修二）

模型六：平抛运动与斜面的结合 训练目标： 运动的合成与分解考查学生对矢量叠加与相对运动的理解，培养学生运用平行四边形定则解决实际问题的空间思维与分析能力。 知识串联： 一、平抛运动的两个重要推论 （1）做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝ 。 证明：平抛运动的速度方向与水平方向夹角满足tan θ＝＝ 平抛运动的位移方向与水平方向夹角满足tan α＝＝ (2)做平抛运动的物体在任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 。 二、平抛运动与斜面的结合 情景示例 隐含信息 分析方法 运动规律 从空中抛出垂直落到斜面上 已知速度方向，且速度方向与斜面垂直 常规建系，分解速度，构建速度三角形 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 从斜面抛出又落到斜面上 已知位移方向，且位移方向与斜面平行 常规建系，分解位移，构建位移三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移方向，且位移方向与斜面垂直 常规建系，分解位移，构建位移三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 且 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示求离斜面最大距离及所用时间 离斜面最大距离时合速度方向沿斜面方向，垂直于斜面方向速度减为0 沿斜面方向建系，将初速度和重力加速度，沿斜面和垂直斜面分解。 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 典例分析 如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，取，物体可视作质点，不计空气阻力。以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是 B．物体的飞行时间是 C．物体下降的距离是 D．物体撞击斜面时的速度大小为 答案　BD 【详解】AB．根据运动的合成与分解，把末速度按如图所示进行分解 由几何关系可知 根据平抛运动规律可知， 联立解得 故A错误，B正确； C．物体下降的距离 故C错误； D．根据几何关系可得，物体撞击斜面时的速度大小 解得 故D正确； 故选BD。 例2中物体垂直落到斜面上，已知末速度方向，一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系. 如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端以大小为v0的水平初速度抛出一个可视为质点的小球，小球落在斜面上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） 图2 A．小球在空中运动的时间为 B．小球在空中运动的水平位移大小为 C．若仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的2倍 D．若仅改变小球的初速度大小，则小球落在斜面上时速度方向可能垂直于斜面 答案B 【详解】A．根据平抛规律有 解得 故A错误； BC．水平方向有 仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的4倍，故B正确，C错误； D．设落到斜面的速度与水平方向的夹角为，则 倾斜角度为定值，所以落在斜面上速度与水平方向的夹角为定值，与速度大小无关，故D错误。 故选B。 如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g) 图3 (1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； (2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？ 答案　(1)　　(2)　 解析　(1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t， 竖直方向位移lABsin 30°＝gt2， 解得t＝tan 30°＝，lAB＝. (2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动. 小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0， 由vy＝v0y－gyt′可得 t′＝＝＝tan 30°＝ 小球离斜面的最大距离y＝＝＝. 物体从斜面抛出后又落到斜面上，已知位移方向，一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系. 考点一：物体垂直打在斜面上 1．如图所示，从倾角为θ的斜面体底端Q的正上方P点水平抛出一个小球，经过时间t小球落到斜面上，小球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角也为θ，重力加速度为g，则P到Q的距离为（　　） A． B． C． D． 2．从倾角的斜面底端的正上方A点处，以大小为、方向水平向右的初速度抛出一个可视为质点的小球，小球恰好垂直击中斜面。不计空气阻力，取重力加速度大小，，。下列说法正确的是（　　） A．小球击中斜面时的速度大小为 B．小球在空中运动的竖直位移大小为 C．小球在空中运动的水平位移大小为 D．小球在空中运动的竖直位移大小与水平位移大小的比值为 3．（多选）如图位于斜面端正上方的小钢球沿水平方向抛出，垂直击中斜面上的一点A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（　　） A．钢球的水平速度 B．钢球的运动时间 C．钢球的抛出点高度 D．以上都不对 4．如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)OP间的水平位移的大小； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。 考点二：从斜面顶抛出落在斜面上 1．如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端P以速度抛出一个小球，落在斜面上处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角，若把初速度变为，则（　　） A．PQ间距一定为原来间距的2倍 B．空中的运动时间变为原来的倍 C．夹角将变大 D．夹角将不变 2．如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为和。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　） A． B． C． D． 3（多选）．如图所示，倾角为的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以速度水平抛出一小球，经过时间恰好落在斜面底端，速度是 v，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若以速度水平抛出小球，则落地时间为 B．若以速度水平抛出小球，则落地时速度方向与v同向 C．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时间为 D．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向 4．如图所示，质量为60kg的跳台滑雪运动员经过一段半径为40m的圆弧加速滑行后从O点水平飞出（O点正好在圆弧对应圆心的正下方），经3.0s落到斜坡上的A点，已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角=37°，不计空气阻力（取sin37º=0.60，cos37º=0.80；g取10m/s2）。求： （1）A点与O点的高度差h和AO距离L； （2）运动员刚要离开O点时的速度大小； （3）运动员落到A点时速度的大小和方向。 考点三：距离斜面最大高度 1．跳台滑雪是冬奥会项目之一，是一项勇敢者的运动。如图所示，某运动员（视为质点）从跳台A处以大小为的线速度沿水平方向飞出，在斜面上的B处着陆。已知斜面与水平面的夹角为30°，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．运动员从A点运动到B点所用的时间为 B．运动员从A点运动到B点所用的时间为 C．运动员从A点运动到B点的过程中到斜面的最大距离为 D．运动员从A点运动到B点的过程中到斜面的最大距离为 2（多选）．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，小球落到斜面上的B处，设空气阻力不计，下面分析正确的是(　　) A．小球从A处运动到B处所需的时间为 B．A、B间的距离为 C．小球从A处运动到离斜面距离最大所需时间为 D．运动过程中离斜面的最大距离为 3．如图所示，AB为斜面，倾角为，小球从A点以初速度水平抛出，恰好落到B点。 （1）求A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； （2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多少？ 4．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，跳台滑雪赛道如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由光凊助滑道、着陆坡、减速停止区三部分组成，助滑道高度差。比赛中运动员从点由静止下滑，运动到点后水平飞出，落在着陆坡的点，着陆坡的倾角，重力加速度大小，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从点水平飞出的速度大小； (2)运动员从点飞出后离斜面最远时的速度大小； (3)运动员从点飞出后离斜面最远的距离和此过程中沿斜面方向的距离。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模型六：平抛运动与斜面的结合 训练目标： 运动的合成与分解考查学生对矢量叠加与相对运动的理解，培养学生运用平行四边形定则解决实际问题的空间思维与分析能力。 知识串联： 一、平抛运动的两个重要推论 )做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α。 证明：平抛运动的速度方向与水平方向夹角满足tan θ＝＝ 平抛运动的位移方向与水平方向夹角满足tan α＝＝ (2)做平抛运动的物体在任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 二、平抛运动与斜面的结合 情景示例 隐含信息 分析方法 运动规律 从空中抛出垂直落到斜面上 已知速度方向，且速度方向与斜面垂直 常规建系，分解速度，构建速度三角形 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 从斜面抛出又落到斜面上 已知位移方向，且位移方向与斜面平行 常规建系，分解位移，构建位移三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示 已知位移方向，且位移方向与斜面垂直 常规建系，分解位移，构建位移三角形 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 且 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示求离斜面最大距离及所用时间 离斜面最大距离时合速度方向沿斜面方向，垂直于斜面方向速度减为0 沿斜面方向建系，将初速度和重力加速度，沿斜面和垂直斜面分解。 垂直斜面： 沿着斜面： 最高点： 典例分析 ．如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，取，物体可视作质点，不计空气阻力。以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是 B．物体的飞行时间是 C．物体下降的距离是 D．物体撞击斜面时的速度大小为 答案　BD 【详解】AB．根据运动的合成与分解，把末速度按如图所示进行分解 由几何关系可知 根据平抛运动规律可知， 联立解得 故A错误，B正确； C．物体下降的距离 故C错误； D．根据几何关系可得，物体撞击斜面时的速度大小 解得 故D正确； 故选BD。 例2中物体垂直落到斜面上，已知末速度方向，一般是将物体的末速度进行分解，由速度方向确定两分速度之间的关系. 如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端以大小为v0的水平初速度抛出一个可视为质点的小球，小球落在斜面上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） 图2 A．小球在空中运动的时间为 B．小球在空中运动的水平位移大小为 C．若仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的2倍 D．若仅改变小球的初速度大小，则小球落在斜面上时速度方向可能垂直于斜面 答案B 【详解】A．根据平抛规律有 解得 故A错误； BC．水平方向有 仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的4倍，故B正确，C错误； D．设落到斜面的速度与水平方向的夹角为，则 倾斜角度为定值，所以落在斜面上速度与水平方向的夹角为定值，与速度大小无关，故D错误。 故选B。 如图3所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点.求：(空气阻力不计，重力加速度为g) 图3 (1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； (2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？ 答案　(1)　　(2)　 解析　(1)设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t， 竖直方向位移lABsin 30°＝gt2， 解得t＝tan 30°＝，lAB＝. (2)如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动. 小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0， 由vy＝v0y－gyt′可得 t′＝＝＝tan 30°＝ 小球离斜面的最大距离y＝＝＝. 物体从斜面抛出后又落到斜面上，已知位移方向，一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系. 考点一：物体垂直打在斜面上 1．如图所示，从倾角为θ的斜面体底端Q的正上方P点水平抛出一个小球，经过时间t小球落到斜面上，小球落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角也为θ，重力加速度为g，则P到Q的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初速度大小为，P到斜面落点的高度为，则有 ， 斜面落点到Q的高度为，则有 解得 则P到Q的距离 故选B。 2．从倾角的斜面底端的正上方A点处，以大小为、方向水平向右的初速度抛出一个可视为质点的小球，小球恰好垂直击中斜面。不计空气阻力，取重力加速度大小，，。下列说法正确的是（　　） A．小球击中斜面时的速度大小为 B．小球在空中运动的竖直位移大小为 C．小球在空中运动的水平位移大小为 D．小球在空中运动的竖直位移大小与水平位移大小的比值为 【答案】B 【详解】A．小球恰好垂直击中斜面，则小球击中斜面时的速度大小为 故A错误； BC．小球击中斜面时的竖直分速度大小为 则小球在空中运动的竖直位移大小为 小球在空中运动的时间为 小球在空中运动的水平位移大小为 故B正确，C错误； D．小球在空中运动的竖直位移大小与水平位移大小的比值为 故D错误。 故选B。 3.（多选）如图位于斜面端正上方的小钢球沿水平方向抛出，垂直击中斜面上的一点A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（　　） A．钢球的水平速度 B．钢球的运动时间 C．钢球的抛出点高度 D．以上都不对 【答案】ABC 【详解】设小钢球的抛出点高度为H，运动时间为t，水平初速度为v0。由几关系可得小钢球的水平位移为 由题知，小钢球垂直击中山坡上的目标A，根据速度的分解有 又根据几何关系有 联立解得 在竖直方向上，根据 解得 在水平方向上，根据 解得，则小钢球的抛出点高度，运动时间，水平初速度为都可以求出，故ABC符合题意，D不符合题意。 故选ABC。 4．如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求： (1)OP间的水平位移的大小； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。 【答案】(1)1.2m；(2)0.125 【详解】(1)设小球击中滑块时的速度为v，竖直速度为vy，如图 由几何关系得 设小球下落的时间为t，水平位移为x，由平抛运动规律得 解得 解得 (2)设在时间t内，滑块的位移为s，由几何关系得 设滑块的加速度为a，由运动学公式得 对滑块，由牛顿第二定律得 联立解 考点二：从斜面顶抛出落在斜面上 1．如图所示，从倾角为的足够长的斜面顶端P以速度抛出一个小球，落在斜面上处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角，若把初速度变为，则（　　） A．PQ间距一定为原来间距的2倍 B．空中的运动时间变为原来的倍 C．夹角将变大 D．夹角将不变 【答案】D 【详解】AB．小球从抛出到落到斜面上，有 可得 若把初速度变为，则小球空中的运动时间变为原来的2倍；根据 可知小球下落高度变为原来的4倍，根据几何关系可知PQ间距一定为原来间距的4倍，故AB错误； CD．根据平抛运动推论：平抛运动的合速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有 由于不变，则夹角将不变，故C错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为和。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由平抛运动规律得水平方向 竖直方向 而 解得 代入数据可得 水平位移之比 故选D。 3（多选）．如图所示，倾角为的斜面固定在水平面上，从斜面顶端以速度水平抛出一小球，经过时间恰好落在斜面底端，速度是 v，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若以速度水平抛出小球，则落地时间为 B．若以速度水平抛出小球，则落地时速度方向与v同向 C．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时间为 D．若以速度水平抛出小球，则撞击斜面时速度方向与v同向 【答案】ACD 【详解】AB．由题意可知：小球以速度水平抛出后恰好落在斜面底端 所以 所以当以速度抛出后必然落在水平面上，由于抛出点距离地面的高度相同，故 速度方向与水平方向的夹角 由于竖直速度相同，水平速度不同，则落在水平地面上的速度方向和落在斜面上速度方向不同。故 A正确，B错误； D．小球落在斜面上的速度与水平方向夹角的正切值 可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，位移与水平方向夹角不变，若以速度水平抛出小球，小球必然落在斜面上，设速度与斜面的夹角为，由平抛运动的规律可知 所以 所以小球撞击斜面时速度方向与 v同向，故 D正确。 C．根据 由于落在斜面上的小球一定，故速度为时，时间，C选项正确。 故选ACD。 4．如图所示，质量为60kg的跳台滑雪运动员经过一段半径为40m的圆弧加速滑行后从O点水平飞出（O点正好在圆弧对应圆心的正下方），经3.0s落到斜坡上的A点，已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角=37°，不计空气阻力（取sin37º=0.60，cos37º=0.80；g取10m/s2）。求： （1）A点与O点的高度差h和AO距离L； （2）运动员刚要离开O点时的速度大小； （3）运动员落到A点时速度的大小和方向。 【答案】（1）45m；75m；（2）20m/s；（3）， 【详解】（1）当落到A位置时 根据几何关系可知 （2）平抛运动的水平位移 刚离开O点的速度 （3）运动员运动到A点的竖直速度 A点速度 设速度与水平方向的夹角为α，则 考点三：距离斜面最大高度 1．跳台滑雪是冬奥会项目之一，是一项勇敢者的运动。如图所示，某运动员（视为质点）从跳台A处以大小为的线速度沿水平方向飞出，在斜面上的B处着陆。已知斜面与水平面的夹角为30°，重力加速度大小为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．运动员从A点运动到B点所用的时间为 B．运动员从A点运动到B点所用的时间为 C．运动员从A点运动到B点的过程中到斜面的最大距离为 D．运动员从A点运动到B点的过程中到斜面的最大距离为 【答案】．AC 【详解】AB．运动员做平抛运动，水平方向的位移大小 竖直方向的位移大小 又 解得 选项A正确、B错误； CD．运动员垂直斜面方向的初速度大小 垂直斜面的加速度大小 设运动员从A点运动到B点的过程中到斜面的最大距离为，有 解得 选项C正确、D错误。 故选AC。 2（多选）如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，小球落到斜面上的B处，设空气阻力不计，下面分析正确的是(　　) A．小球从A处运动到B处所需的时间为 B．A、B间的距离为 C．小球从A处运动到离斜面距离最大所需时间为 D．运动过程中离斜面的最大距离为 【答案】ACD 【详解】A项：根据，解得小球从A到B的时间，故A正确； B项：AB的距离，故B错误； C项：当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，根据平行四边形定则知，小球竖直分速度，由，解得：，故C正确； D项：将小球的运动分解为沿斜面和垂直于斜面两个方向分运动，建立坐标系，小球在y轴方向做匀减速运动，初速度为，加速度为：小球离斜面的最大距离，故D正确． 3．如图所示，AB为斜面，倾角为，小球从A点以初速度水平抛出，恰好落到B点。 （1）求A、B间的距离及小球在空中飞行的时间； （2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多少？ 【答案】（1），；（2）， 【详解】(1)小球在空中的飞行时间记为t，则水平方向位移 竖直方向位移 解得 ， (2)如图所示 小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大， 此时有 故运动时间 此时小球的水平位移为 又此时小球速度方向的反向延长线交横轴于处， 故小球离斜面的最大距离为 4．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会是继北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会。跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，跳台滑雪赛道如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由光凊助滑道、着陆坡、减速停止区三部分组成，助滑道高度差。比赛中运动员从点由静止下滑，运动到点后水平飞出，落在着陆坡的点，着陆坡的倾角，重力加速度大小，忽略空气阻力影响，求： (1)运动员从点水平飞出的速度大小； (2)运动员从点飞出后离斜面最远时的速度大小； (3)运动员从点飞出后离斜面最远的距离和此过程中沿斜面方向的距离。 【答案】．(1)20m/s (2)25m/s (3)9m，30.75m 【详解】（1）运动员从A到B的过程，由机械能守恒定律 得m/s （2）运动员在离斜面最远时速度方向与斜面平行，则有 得m/s （3）将运动员的运动分解为垂直于斜面的匀变速直线运动和平行于斜面的匀加速直线运动。 垂直于斜面方向有 得m 到最高点时运动时间s 平行于斜面方向有 得m 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$