2025年暑假高三数学思维提升课第02讲 函数的概念与性质讲义

思维提升课第02讲 函数的概念与性质（原卷版） 思维进阶典型例题 例1、（数学抽象，直观想象，逻辑推理）已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 变式1-1:存在函数f（x）满足对于任意x∈R都有（　　） A. B. C. D. 例2、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知定义域为R的函数f(x) 满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x （I）若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a，求f(a); （II）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式 例3、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________. 例4、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）证明定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和。 例5、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）设函数对任意都有，且>0时＜0，，求在上的最大值和最小值。 例6、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 思维进阶训练 1.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，① 对任意，的值为或；② 关于的方程无实数解；则的取值范围为 2.设，若，则的取值范围为 。 3.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 1 3 2 填写下列的表格,其三个数依次为 x 1 2 3 g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 4.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x))=x2-x+1, 求f(0) 5.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）求不等式的解集. 6.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是( ) A. B. C. D. 7.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知函数y=f(x)的定义域为A，则“，都有f(x)≥4”是“函数y=f(x)最小值为4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.（逻辑推理，数学运算）①已知正数a、b满足a+b=1，则当且仅当a=b时取得最小值； ②已知正数a、b满足a+b=2，则当且仅当a=b时取得最小值4； ③已知正数a、b满足a+b=3，则当且仅当a=b时取得最小值； ④已知正数a、b满足a+b=4，则当且仅当a=b时取得最小值； 以上四个命题均为真命题，下面的命题是否真命题，是的话，请证明；不是的话，举出反例。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思维提升课第02讲 函数的概念与性质（解析版） 思维进阶典型例题 例1、（数学抽象，直观想象，逻辑推理）已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 例1、这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“唯一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C． 变式1-1:存在函数f（x）满足对于任意x∈R都有（　　） A. B. C. D. 变式1-1:解：对于A，当x=1时，f（1）=2，x=-1时，f（1）=0，f（1）有两个值不符合函数的定义； 对于B，当x=1时，f（1）=3，x=-1时，f（1）=-1，f（1）有两个值不符合函数的定义； 对于D，x=2．f(2)=2,x=0,f(2)=0,f(2)有两个值不符合函数的定义；故选：C． 反思：这两个题考查函数定义的深刻理解，不是仅记住定义就能解决的。例1选A或选B说明对函数定义理解不到位，选A说明函数定义的字面意思都不理解，我曾用例1测试过很多届高三新生，正确率很低，有很多学生第一反应竟是问我“函数y=f(x)是什么函数”，言外之意是函数y=f(x)具体是一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的哪一个，说明对函数符号y=f(x)的理解有问题。例2解题的关键是能否从抽象到具体、从特殊到一般的角度思考问题。 例2、（数学抽象，直观想象，逻辑推理）已知定义域为R的函数f(x) 满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x （I）若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a，求f(a); （II）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式 例2、 综上所求函数为f(x)=( ) 反思：本题（II）问的难点是f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x 对任意的x∈R都成立，有可能有无数个实数x使得f(x)=x,想不通为什么又有：“有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0”，突破的关键，首先是对f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x 的理解，对任意的x∈R，从运算结果上看f(x)-x2+x都是一个实数，似乎有无数个x满足f(x)=x,事实上f(x)-x2+x也可以是一个常数，这个常数就是。 例3、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________. 例3、解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1，即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1. 反思：本题的本质是由不等a≤b,b≤a得到相等a=b。其突破的关键首先是明确要求g(2002)，需知道g(x)的相关关系，利用g(x)=f(x)+1-x消去f(x),将条件f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.简化为g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 其次是由g(x+1)≤g(x)得到g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x),联立g(x+5)≥g(x)得到g(x)≤g(x+5)≤g(x+1)≤g(x)，所以g(x)=g(x+1)。 例4、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）证明定义在（－∞，＋∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和。 例4、设存在g(x)、h(x)，使g(x)+h(x)=f(x),则g(-x)+h(-x)=f(-x)联立得 即解之，故结论得证。 反思：本题是已知f（x）求g(x)、h(x)，所以列出关于g(x)、h(x)的方程组，解之即可。唯一需明确和习惯g(x)、h(x)也可看成未知数。 例5、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）设函数对任意都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且>0时f(x)＜0，，求f(x)在上的最大值和最小值。 例5、解1：由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0， 得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0 令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x) 设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1） 又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2） 由（1）（2）得f(x1)＞f(x2),根据函数单调性的定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数. ∴在上的最大值和最小值分别为： ， 解2：设任意x1，x2∈R且x1＜x2，不妨设，f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，∴在上的最大值和最小值分别为： ， 解3：设＞，则， ∴。 由即知是减函数。 ∴在上的最大值和最小值分别为： ，。 反思：要求f(x)在上的最大值和最小值，需知道f(x)在上的单调性，回到单调性定义，需判断 f（x2）- f（x1）的符号，而已知中只有在>0时可判断一个函数值的符号，现在是两个函数值的差的符号，考虑到已知f(x+y)=f(x)+f(y)可将两个函数值的和转化为一个函数值，当然希望f（x）是是奇函数，这样就可以将两个函数值的差转化为两个函数值的和，进而判断出f(x)的单调性。这就是解1的解题思路。 解2引入参数t,将不等x1＜x2转化为相等大大简化了运算。解3本质上和解2相同，所以解题中要注意相等和不等的辩证转化。 例6、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 例6、解：因为当时，所以， 又因为，则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确.故选：B. 反思：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 思维进阶训练 1.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件，① 对任意，的值为或；② 关于的方程无实数解；则的取值范围为 1.解：∵对任意，的值为或，∴=∴，恒成立，结合关于的方程无实数解得：a≠0且a≠1，∴。 2.（逻辑推理，数学运算）设，若，则的取值范围为 。 2.解：由题意，当时，，符合题意；当时，，（不合题意，舍去）；所以，答案为：。 3.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 1 3 2 填写下列的表格,其三个数依次为 x 1 2 3 g (f（x）) A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 3.选 D，g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1。 4.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x))=x2-x+1, 求f(0) 4.解：f(f(0))=1⇒f(f(f(0)))==f(1),f(f(1))=1⇒f(f(f(1)))=f(1), 又∵f(f(f(1)))=∴=f(1)⇒f(1)=1∴=1 ∴f(0)=0或1 5.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）求不等式的解集. 5.解：由函数y=t3+3t为奇函数，且为递增函数，转化为 解集为。 6.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）若和都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是( ) A. B. C. D. 6.∵得，∴，得。 ∴与是等价的，即有实数解，也有实数解。 ∴对于A:方程有实数解:对于B:方程无实数解； 对于C：方程有实数解；对于D:方程有实数解。故选B。 7.（直观想象，逻辑推理，数学运算）已知函数y=f(x)的定义域为A，则“，都有f(x)≥4”是“函数y=f(x)最小值为4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.解：选B，若函数y=f(x)最小值为4，则，都有f(x)≥4；我们可以构造一个反例，假设f(x) = + 5，显然对于所有x∈A，f(x)的值都大于或等于4（实际上，f(x)的最小值为5，当x=0时取得）。这个例子说明，即使对于所有x∈A，f(x)≥4成立，也不能保证f(x)的最小值就是4。因此，充分性不成立。 8.（逻辑推理，数学运算）①已知正数a、b满足a+b=1，则当且仅当a=b时取得最小值； ②已知正数a、b满足a+b=2，则当且仅当a=b时取得最小值4； ③已知正数a、b满足a+b=3，则当且仅当a=b时取得最小值； ④已知正数a、b满足a+b=4，则当且仅当a=b时取得最小值； 以上四个命题均为真命题，下面的命题是否真命题，是的话，请证明；不是的话，举出反例。 8.解①∵a+b=1，∴0<ab≤,而 易证在上单调递减， ∴ 故的最小值为。当且仅当时取得“=’。 ②∵a+b=2，∴0<ab≤1,而 易证在上单调递减， ∴ 故的最小值为4。当且仅当a=b=1时取得“=’。 ③∵a+b=3，∴0<ab≤,易证在上单调递减，∴ 故的最小值为。当且仅当时取得“=’。 ④∵a+b=4，∴0<ab≤4, 易证在上单调递减， ∴ 故的最小值为。当且仅当a=b=2时取得“=’。 ⑤ 反例：当a+b=5时∵a+b=5，∴0<ab≤,∴ 当且仅当a=,b=时取得“=’。 故的最小值为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$