第05讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第05讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）的倒数是（   ） A． B．5 C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）的倒数是 ． 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）计算： ． 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ． 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）实数的倒数为（　　） A．6 B． C． D． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）下列四个数中，与的乘积为的数是（    ） A． B． C．2025 D． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知、互为倒数，且，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）用一组不等于0的有理数的值说明“如果大于，那么的倒数小于的倒数”这一说法是错误的，那么的值可以是 ，的值可以是 ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 4．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：    (1)A，B，C三个点表示的数各是多少？ (2)比较A，B，C三个数的倒数的大小． (3)点A向右移动5个单位后的点用D表示，标出点D的位置，计算 ______（只写答案） (4)点E到D的距离为3个单位长度，请写出点E所表示的所有数______（只写答案） 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面各组式子的积在和之间的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A．102 B．108 C．117 D．132 【例3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知有理数，3，12，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）在3，2，，中任取两个数相乘，所得的积中最大的是 ． 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·开学考试）学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问： (1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？ (2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 4．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的张中任意取牌． (1)至少取多少张牌，保证有张牌的点数相同？ (2)至少取多少张牌，保证有张牌的点数不同？ (3)至少取多少张牌，保证有张花色相同？ (4)至少取多少张牌，保证有张红桃？ 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如果5个有理数相乘的积是正数，那么负因数的个数可以为 个．（注：写出所有可能情况） 【例4】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 1．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 3．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）计算： 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法交换律 【例2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【例3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习） ． 【例4】（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 1．（24-25七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 3．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 4．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）学科素养·整体思想（广东模拟预测）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·河北沧州·开学考试）计算□得，则“□”是（　　） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与都是奇数，则是（    ） A．奇数 B．偶数 C．不是奇数 D．不是偶数 【例3】（24-25七年级上·广东中山·期中）计算： ． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）将有理数①；②；③；④；⑤；⑥填入如图所示的集合中，那么集合应填的数是 ．（填序号即可） 1．（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．1 C．9 D． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）已知是a有理数，表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么 ． 【例4】 （24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． x 5 △ y 7 14 1．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）我们把记作记作，那么计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小文在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得60，则的值为（   ） A． B． C．2 D．8 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【例3】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 【例4】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）定义一种运算：设表示不超过x的最大整数，例如，，则 ． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）若a，b，c是有理数且，则的值是（        ） A． B．或1 C．或 D．或1或 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为 ． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：． 如：． (1)计算：______； (2)计算：． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，则下列结论中正确的个数有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 【例4】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①，②，③，④其中正确式子的序号是 ． 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25七年级上·江西宜春·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中①；②；③；④；⑤．正确的是 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 4．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某厂规定，工人完成定额个零件，每天收入元，如果超额生产一个零件，增加收入元．一工人某天生产了个零件，则该工人此天收入（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）我们用有理数的运算研究下面问题规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，那么3天后的水位变化用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，的平均下载速率约是的12倍，用下教电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用下载这部电影大约需要 秒． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，，，， (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么地方，距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需要补充多少升油？ 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）只列式不解答 （1）光明小学举行庆祝建国70周年书画比赛，六年级获奖140人，五年级获奖人数比六年级少25%．两个年级一共获奖多少人？ ． （2）为了鼓励节约用水，某市自来水收费标准为：每年每户用水240方以内（包括240方），按每方元收费；如果超过240方，那么超过的部分按每方元收费．小丽家今年用水265方，她家今年需要付水费多少元？ ． （3）做一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长60厘米，宽50厘米，高40厘米，做这样一个鱼缸需要玻璃多少？ ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）“十一”黄金周期间，成都熊猫基地在7天假期中每天旅游的人数变化如表正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数已知9月30日的游客人数为2万人： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化单位：万人 (1)10月2日的游客人数是______万人． (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？请说明理由． (3)若门票每人60元，问黄金周期间，成都熊猫基地门票收入是多少万元？ 4．（23-24七年级上·浙江舟山·期中）【概念学习】 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小丽看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，______． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·开学考试）一根木头锯3段要7分钟，照这样计算，锯5段要用（   ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 【例2】（2024七年级上·浙江绍兴·专题练习）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”．诗词反映了深山海拔高、气温低、花开晚的自然现象．研究表明：高山上的温度随海拔的升高而降低，一般是海拔升高米，气温约下降．已知位于云南省的玉龙雪山，其主峰扇子陡海拔为米，若山脚的气温是，则此时山顶的气温约为 ．（结果保留整数） 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生奠基”读书活动．东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，下表是他一周的阅读时间记录． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） 0 (1)东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ (2)东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，，． (1)问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？ (2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？ 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）某超市卖一种轮滑鞋，售价的是进价，售价的是赚的钱．现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（    ）折． A．七 B．七五 C．八 D．八五 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．    ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和7，则刻度对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和15，则刻度对应数轴上的点表示的数是5： ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5，则刻度对应数轴上的点表示的数是1； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4，则刻度对应数轴上的点表示的数是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过90分．以90分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，0，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少分？ 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一”也就是用底面周长的平方乘高，再除以，这种计算方法，圆周率取近似值3．一个圆锥形沙堆的底面周长是，高是，用这种方法算出这个沙堆的体积是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 6．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）计算： ； 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）规定一种特殊计算，，则 ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 10．（2025·北京房山·模拟预测）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 12．（24-25七年级上·河南南阳·期中）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：4的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，依此类推． (1)分别求出、、的值． (2)计算的值． (3)请求出的值． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋每满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九折．如果两个品牌都有一双标价250元的鞋，买哪个品牌更便宜？ 14．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 15．（24-25七年级上·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）的倒数是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，先求出的相反数，再求出的倒数即可． 【详解】， 所以的倒数是． 故答案为：． 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，先确定符号，再把绝对值相乘即可． 【详解】解：， 故答案为： 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，根据运算法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A，，运算正确，符合题意； B，，运算错误，不合题意； C，，运算错误，不合题意； D，，运算错误，不合题意； 故选A． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·浙江衢州·模拟预测）实数的倒数为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴实数的倒数为， 故选：D． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）下列四个数中，与的乘积为的数是（    ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积为的两数互为倒数，即可求解． 【详解】解：与的乘积为的数是； 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知、互为倒数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，先由求出，再根据、互为倒数求出． 【详解】解：∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·浙江·期中）用一组不等于0的有理数的值说明“如果大于，那么的倒数小于的倒数”这一说法是错误的，那么的值可以是 ，的值可以是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了倒数，根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：若，此时大于， 则a的倒数是1，b的倒数是， 则a的倒数大于b的倒数， 所以“如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数”是错误的， 此时， 故答案为：1，． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）对于下面这道计算题：.小明的做法是：先求原式的倒数为： 所以原式，请你仿照以上小明的做法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法运算律，倒数．熟练掌握乘法运算律，倒数是解题的关键． 由题意知，原式的倒数，利用乘法运算律求解，然后求倒数即可． 【详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 4．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：    (1)A，B，C三个点表示的数各是多少？ (2)比较A，B，C三个数的倒数的大小． (3)点A向右移动5个单位后的点用D表示，标出点D的位置，计算 ______（只写答案） (4)点E到D的距离为3个单位长度，请写出点E所表示的所有数______（只写答案） 【答案】(1) (2)点表示的数的倒数点表示的数的倒数点表示的数的倒数（） (3)见解析，3 (4)2或 【分析】本题考查了数轴、倒数、有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得； （2）先求出它们的倒数，再根据有理数的大小比较法则即可得； （3）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上标记出来即可得；然后根据数轴的性质求出的长即可； （4）根据数轴的性质求解即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数分别是． （2）解：由（1）可知，点表示的数的倒数为，点表示的数的倒数为，点表示的数的倒数为， ∵， ∴三个数的倒数的大小关系是． （3）解：由题意可知，点的表示的数为， 则在数轴上标出点的位置如下：    所以， 故答案为：3． （4）解：∵点到的距离为3个单位长度，点的表示的数为， ∴点所表示的数为或， 故答案为：2或． 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面各组式子的积在和之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法，比较有理数的大小，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 先依据有理数的乘法法则进行计算，然后再比较大小即可． 【详解】解：A、，，故A错误； B、，，故B正确； C、，，故C错误； D、，，故D错误； 故选：B 【例2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）一台计算机按如图所示的程序工作，若开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A．102 B．108 C．117 D．132 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算，直至运算结果大于100即可． 【详解】解：， ， ，输出， 故选A． 【例3】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知有理数，3，12，，请你任选两个数相乘，运算结果最大是 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了有理数的乘法．根据有理数乘法法则同号得正，当两个数同号时，运算结果可能最大，即可求解． 【详解】解：当选和时，， 当选和时，， ， 故答案为：48． 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）在3，2，，中任取两个数相乘，所得的积中最大的是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的知识点是有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．两个数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是20． 故答案为：20 1．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的减法、有理数的乘法、绝对值，利用分类讨论思想解题是关键． 由可知a、b异号，从而得到或，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵，则a、b异号， ∴或． 当时，； 当时，． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 【详解】解：①若，a、b同号，由，则，则|；本选项正确； ②若，当，，则，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数，本选项正确； ③若，则，，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确；． 故答案为：①②④． 3．（24-25七年级上·浙江衢州·开学考试）学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问： (1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？ (2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 【答案】(1)144 (2)720 【分析】本题考查了排列与组合，正确地理解题意是解题的关键． (1)根据男生不能相邻，则先排女生，然后把男生插入女生之间的空位，因为有3名女生，考虑到两端也可以放入，所以有4个空位，根据乘法原理即可得到结论； (2)根据题意，采取捆绑法，将所有女生看成一个整体，那么3个女生有种排法，男生有4位就有5个空位可以让女生占，根据乘法原理即可得到结论． 【详解】（1）解：(种)， 答：如果要求男生不能相邻，一共有144不同的站法； （2）(种)， 答：要求女生都站在一起，一共有720种不同的站法． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的张中任意取牌． (1)至少取多少张牌，保证有张牌的点数相同？ (2)至少取多少张牌，保证有张牌的点数不同？ (3)至少取多少张牌，保证有张花色相同？ (4)至少取多少张牌，保证有张红桃？ 【答案】(1)张； (2)张； (3)张； (4)张． 【分析】本题考查了鸽巣问题（抽屉问题），采用最不利原则进行分析是解题的关键． （）因为共有种点数，要想保证有张牌的点数相同，考虑最不利原则，先取的张牌的点数都不相同，再任意取一张就有张牌的点数相同； （）因为有张相同的点数，要想保证有张牌的点数不同，考虑最不利原则，先取的张牌的点数都相同，再任意取一张就有张牌的点数不同． （ ）因为有种花色，要想保证有张花色相同，考虑最不利原则，先取的张牌都是不同花色的，再任意取一张就有张牌的花色相同． （ ）因为有种花色，每种花色都是张，要想保证有张红桃，考虑最不利原则，先把其它三种花色取完，再取张就有张牌是红桃． 【详解】（1）解：（张）， 答：至少取张牌，保证有张牌的点数相同； （2）解：（张）， 答：至少取张牌，保证有张牌的点数不同； （3）解：（张）， 答：至少取张牌，保证有张花色相同； （4）解： （张）， 答：至少取张牌，保证有张红桃． 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（23-24七年级上·浙江嘉兴·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，先根据有理数的乘法法则进行计算，再选出结果为负数的选项即可． 【详解】解：A、0乘以任何数都得0，0既不是正数也不是负数，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、．故该项符合题意； D、，故该项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘法，根据题意可得、、中有两个正数，一个负数，从而得出，再结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴、、中有两个正数，一个负数， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如果5个有理数相乘的积是正数，那么负因数的个数可以为 个．（注：写出所有可能情况） 【答案】0或2或4 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，多个非零有理数进行乘法计算时，根据同号为正，异号为负的计算法则可知，当负因数的个数为偶数个时，结果为正，据此可得答案． 【详解】解：∵5个有理数相乘的积是正数， ∴这5个有理数中负数的个数为偶数个， ∴负因数的个数可以为0个或2个或4个， 故答案为：0或2或4． 【例4】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法计算，有理数的大小比较，掌握有理数的乘法法则和正数负数是解题关键．根据有理数的乘法法则可确定，，再根据正数负数解答即可． 【详解】解：因为， ， 所以． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据已知等式找出规律，利用规律列出乘法算式，即可求解． 【详解】解：由已知得， 故选C． 2．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值的性质．理解新定义运算的法则是解题关键．由题意可得出或，或，再分类讨论，结合新定义运算的法则和有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或，或． 分类讨论：①当时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当时，． 综上可知若，，则的最大值为4． 故答案为：4． 3．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法法则进行计算即可求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： ， ， ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类规律，根据已有等式发现规律成为解题的关键． （1）根据已有等式类比第5个等式即可； （2）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可； （3）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可． 【详解】（1）解：第一个等式： 第二个等式： 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（    ）这一运算规律．    A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据图形得出，即可得解． 【详解】解：由图可得：，故它的计算过程可以解释乘法分配律这一运算过程， 故选：D． 【例3】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握分配律进行简便计算，是解题的关键．利用分配律，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 1．（24-25七年级上·重庆万州·期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新运算的运算法则，先计算，再计算即可得解． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）用表示组成的所有数字的乘积，例如：，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是根据题意，，，……，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 3．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）学科素养·整体思想（广东模拟预测）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，整式的加减运算，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． （1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【详解】（1）解：设为，为， 则原式； （2）解：设为，为， 则原式． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（24-25七年级上·河北沧州·开学考试）计算□得，则“□”是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法．根据题意列式□，再计算即可． 【详解】解：根据题意可知，□， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）若与都是奇数，则是（    ） A．奇数 B．偶数 C．不是奇数 D．不是偶数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法运算法则，分m是n的整数倍，m不是n的整数倍，两种情况讨论，利用有理数除法法则法计算即可． 【详解】解：都是奇数， 当m是n的整数倍时，一是奇数， 当m不是n的整数倍时，既不是奇数也不是偶数， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·广东中山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算法则计算即可，熟练掌握有理数混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）将有理数①；②；③；④；⑤；⑥填入如图所示的集合中，那么集合应填的数是 ．（填序号即可） 【答案】⑥ 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，化简多重符号，有理数的分类，先根据有理数的四则运算法则求出对应的数，再根据题意可知集合P表示的是负分数，据此可得答案． 【详解】解：，，，，，， 根据题意可知集合P表示的是负分数， ∴集合P出应填的数是⑥， 故答案为：⑥． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）实数，，，满足，，，，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要有理数的除法计算，乘法计算，加法计算，先根据有理数乘法计算法则得到与异号，且都不为0，再根据除法法则得到与同号，且不为0，；与同号，且不为0，，进而推出与异号，再根据，分当，时，当，时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 与异号，且都不为0， ，， 与同号，且不为0，；与同号，且不为0，， 与同号，与异号， ， 不为0， ，，，均不为0， ， 当，时，，，即； 当，时，，，则，不符合题意． 故选A． 2．（24-25七年级上·青海果洛·期末）小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义．熟练掌握定义的新运算，倒数定义，有理数的除法运算法则是解题的关键．乘积是1的两个数互为倒数 把1化成，根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：．”，甲和乙两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 甲同学的解法： 解：原式． 乙同学的解法： 解：原式的倒数为 ． 原式． (1)你觉得_____同学的解法更好； (2)请你用自己觉得更好的方法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)甲 (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，掌握运算方法是解题的关键． （1）根据解题过程判断即可； （2）先求出代数式的倒数，再求原数解题即可． 【详解】（1）解：乙； （2）解：原式倒数为 ； 原式． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B．1 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据有理数的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）规定“”是一种特殊的运算符号，且，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）已知是a有理数，表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算．根据表示不超过的最大整数，求出各个数，再计算即可求解． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴ ； 故答案为：． 【例4】 （24-25七年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填 ． x 5 △ y 7 14 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例，解题关键是正确列式． 两个相关联的变量，如果这两种量对应的数的乘积是定值，这两种量成反比例关系，由此即可计算． 【详解】解：解：． 故答案为：． 1．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）我们把记作记作，那么计算的结果为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，在长方形中，，，，已知涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了长方形和三角形的面积．根据题意求出长方形的面积，根据涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积得到三角形的面积和长方形面积相等，即可求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 长方形的面积为：， ∵涂色部分甲的面积=涂色部分乙的面积， ∴三角形面积等于长方形的面积， 三角形的高为：， 的长为：， 即， 故答案为： 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）先把除法变为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）阅读材料：我们知道有限小数可以化为分数，那么无限循环小数是如何化为分数的呢？观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程．…是一个以47为循环节的无限循环小数，将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到：…，发现小数点后仍然是循环节为47的无限循环小数，即小数点后仍是原数，即：．由此可知，所以．根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)是以______为循环节的无限循环小数，将化为分数结果为______； (2)将化为分数形式，并写出推导过程； (3)将化为分数结果为______（注：以189为循环节的无限循环小数）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据材料中方法即可解答； （2）根据材料中方法即可解答； （3）根据材料中方法即可解答． 【详解】（1）解：是以为循环节的无限循环小数， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小文在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得60，则的值为（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先根据题意计算出“”表示的数，然后再进行有理数的混合运算即可；解题的关键是准确计算出“”表示的数． 【详解】解：由题意得：， 则， ∴， ∴ ， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，有理数的定义，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解： 不是有理数， 故A，C选项不符合题意； ， 不是有理数， 故B选项不符合题意； ， ， 是有理数， 故D选项符合题意； 故选：D ． 【例3】（24-25七年级上·重庆石柱·期中）定义新运算：，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）定义一种运算：设表示不超过x的最大整数，例如，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据新运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ，，， ∴ ． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江丽水·阶段练习）若a，b，c是有理数且，则的值是（        ） A． B．或1 C．或 D．或1或 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，求一个数的绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c中负数的个数为偶数个，再分当a、b、c三个都为正时，当a、c为负，b为正时，当a、c中一个为负，b为负时，不妨设a为负，三种情况化简绝对值进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为偶数个， 当a、b、c三个都为正时，则， 当a、c为负，b为正时，则； 当a、c中一个为负，b为负时，不妨设a为负，则， 综上所述，的值为或1， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：．如果正整数m最少经过7步运算可得到1，则满足m的所有的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查归纳推理的应用，有理数的混合运算，利用第步为出发，按照规则，逆向逐项即可求出的所有可能的取值． 【详解】解： 如果正整数按照上述规则施行变换后的第步为， 则变换中的第步一定是， 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是； 变换中的第步一定是， 变换中的第步可能是或 变换中的第步可能是或 则或或或 所以 故答案为：． 3．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 4．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：． 如：． (1)计算：______； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算：直接根据新定义列出对应的算式，再根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：； （2）解：由题意得， ． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·河北石家庄·模拟预测）有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由数轴判断不等式.根据数轴判断即可. 【详解】由题意，，A错误； ，B错误； ，D错误； ，C正确； 故选C． 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，则下列结论中正确的个数有（   ） ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的特点，代数式符号的判定，关键是熟练判断符号，不能出错．根据数轴上点的特点可得，，逐一判断四个式子，由此得到结果． 【详解】解：根据题意可得，， ①∵，， ， ∴，故①错误； ②∵，，， ∴，故②错误； ③∵， ∴，故③正确； ④∵，，即a，b异号， ∴，故④正确； 综上所述，③④是正确的，共2个． 故选：B． 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知实数、在数轴上的位置如图所示，则 0．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了通过数轴判断式子的正负，有理数的加法，通过数轴得出，，即可得出结果． 【详解】解：由此图可知，， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①，②，③，④其中正确式子的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据有理数的减法法则可判断①；根据相反数的几何意义可判断②；根据绝对值的性质和判断③；根据有理数的乘法法则可判断④． 【详解】解：∵， ，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④不正确． 综上可知正确式子是：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的意义，绝对值的意义，有理数的运算法则，数形结合是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江西宜春·期中）有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论中①；②；③；④；⑤．正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、有理数乘法的符号法则、有理数的大小比较、绝对值的化简等知识点，掌握有理数运算的符号法则是解题的关键．先根据数轴上的位置，可得，，利用乘法的符号法则、有理数加法和减法法则、绝对值的化简等，逐个判断可得结论． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，故结论①正确； ∵，且， ∴，故结论②错误； ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故结论④错误； ∵ ∴， ∴，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）如图，根据数在数轴上的对应点的位置，写出描述关系的三条正确结论． 【答案】答案不唯一，如等 【分析】本题主要考查了数轴的定义和性质，解题的关键是熟练掌握数轴的定义． 利用数轴的定义和性质进行描述即可． 【详解】解：由图可知， ∴． 4．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某厂规定，工人完成定额个零件，每天收入元，如果超额生产一个零件，增加收入元．一工人某天生产了个零件，则该工人此天收入（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先确定超额的数量，再根据超额生产一个零件，增加收入元，由此即可求解． 【详解】解：定额个零件，收入元，某天生产了个零件， ∴超额（个）， ∵超额生产一个零件，增加收入元， ∴超额个的费用是（元）， ∴该工人此天收入（元）， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的运用，掌握额定与超额的关系，确定数量关系是解题的关键． 【例2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）我们用有理数的运算研究下面问题规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，那么3天后的水位变化用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用水位每天的变化情况×天数，列出算式（﹣4）×（+3）计算即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 3天后的水位变化可以表示为：（﹣4）×（+3）． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，正负数的意义，解题的关键是正确理解正负数的意义． 【例3】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）通信技术打破了信息传输的空间限制，具有更高速率、更大容量、更低时延的特性．目前，的平均下载速率约是的12倍，用下教电影《长津湖之水门桥》大约需要8分钟，如果用下载这部电影大约需要 秒． 【答案】40 【分析】根据的下载时间：的下载时间的下载速率：的下载速率进行求解即可 【详解】解：由题意得如果用下载这部电影大约需要秒， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米），，，，，，， (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么地方，距离A地多少千米？ (2)若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需要补充多少升油？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地23千米 (2)升 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，有理数乘法的应用，根据题意正确的列式计算是解题的关键； （1）各记录相加即可求解； （3）把各记录的绝对值相加，即可计算冲锋舟的总路程，再求出总的耗油量，即可求出需要补充的油量． 【详解】（1）解：千米， 答：B地位于A地的正东方向，距离A地23千米； （2）解：升， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需要补充升油． 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 【答案】A 【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树 ，梨树的棵数=苹果树 ，分别代入即可求解． 【详解】 （棵） 答：梨树有144棵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）只列式不解答 （1）光明小学举行庆祝建国70周年书画比赛，六年级获奖140人，五年级获奖人数比六年级少25%．两个年级一共获奖多少人？ ． （2）为了鼓励节约用水，某市自来水收费标准为：每年每户用水240方以内（包括240方），按每方元收费；如果超过240方，那么超过的部分按每方元收费．小丽家今年用水265方，她家今年需要付水费多少元？ ． （3）做一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长60厘米，宽50厘米，高40厘米，做这样一个鱼缸需要玻璃多少？ ． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得五年级的人数是六年级人数的，然后列式解答即可． （2）先按每立方米元计算出240立方米需交多少元水费，再按每立方米元计算出立方米需交多少元水费，相加就是小丽家今年需要交的水费． （3）根据长方体的特征，无盖长方体鱼缸的5个面的面积之和就是所用玻璃的面积．可根据面积公式计算得到． 【详解】（1）解：根据题意五年级的获奖人数可表示为：，再加上六年级的获奖人数列式可得：， 故答案为：； （2）由题意得240立方米需交的水费为：，超出部分的水费为：， 故小丽家今年需付水费可表示为：； 故答案为： （3）由题意得无盖长方体鱼缸的底面积可表示为：，由于相对的两个侧面面积相等，所以鱼缸的侧面积可表示为：， 故做这样一个鱼缸需要的玻璃的面积可表示为：． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查有理数乘法的应用，理解题意，列出式子是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）“十一”黄金周期间，成都熊猫基地在7天假期中每天旅游的人数变化如表正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数已知9月30日的游客人数为2万人： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化单位：万人 (1)10月2日的游客人数是______万人． (2)请判断七天内游客人数最多的是哪天？请说明理由． (3)若门票每人60元，问黄金周期间，成都熊猫基地门票收入是多少万元？ 【答案】(1)4.4 (2)10月4日，见解析 (3)1824万元 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数混合运算的应用，掌握正数和负数的实际意义是解题的关键． （1）根据题意可以用代数式表示出10月2号的游客人数； （2）根据题意可以写出每天的游客人数，从而可以解答本题； （3）根据题意可以计算出黄金周期间成都熊猫基地门票收入． 【详解】（1）解：由题意可得， 10月2号的人数为：， 即10月2日的游客有4.4万人， 故答案为：4.4； （2）解：10月4号游客人数最多， 理由：由题意可得， 10月1号的人数为：， 10月2号的人数为：， 10月3号的人数为：， 10月4号的人数为：， 10月5号的人数为：， 10月6号的人数为：， 10月7号的人数为：， 故10月4号游客人数最多； （3）解： （元） （万元）， 即黄金周期间成都熊猫基地门票收入是1824万元． 4．（23-24七年级上·浙江舟山·期中）【概念学习】 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小丽看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，______． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______． (2)计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)①同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②结果等于这个数的绝对值 (2)10 (3)见详解 【分析】此题考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先括号内的运算． （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）根据（1）中总结出的※（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·开学考试）一根木头锯3段要7分钟，照这样计算，锯5段要用（   ） A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算的应用，求出锯一次所需要的时间，再乘以锯成5段所需的次数，即可得出结果． 【详解】解：（分钟）； 故选C． 【例2】（2024七年级上·浙江绍兴·专题练习）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”．诗词反映了深山海拔高、气温低、花开晚的自然现象．研究表明：高山上的温度随海拔的升高而降低，一般是海拔升高米，气温约下降．已知位于云南省的玉龙雪山，其主峰扇子陡海拔为米，若山脚的气温是，则此时山顶的气温约为 ．（结果保留整数） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式，计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：山顶的气温约为（）． 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生奠基”读书活动．东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，下表是他一周的阅读时间记录． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） 0 (1)东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ (2)东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 【答案】(1)21分钟 (2)305分钟 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数减法运算的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据表格中的数据列出算式，进行计算即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多21分钟． （2）解： （分钟）， 答：东东这周的总阅读时间是305分钟． 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：，，，，，，，． (1)问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？ (2)在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？ 【答案】(1)小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米 (2)小花猫一共得到条小鱼 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算， （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小花猫最后离原点的位置； （2）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小花猫爬行的总路程，即可求出小花猫共得小鱼数量． 【详解】（1）解： 答：小花猫最后在出发点的右边，离开出发点O相距10米 （2）解：(米) (条) 答：小花猫一共得到条小鱼． 1．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）某超市卖一种轮滑鞋，售价的是进价，售价的是赚的钱．现在要搞促销活动，原来每双售价为150元的这种轮滑鞋，为保证一双赚的钱不少于30元，最多打（    ）折． A．七 B．七五 C．八 D．八五 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先计算出进价，再由进价加上利润求出打折后的售价，再用打折后的售价除以原售价即可得到答案． 【详解】解：， ∴打八折时刚好赚30元， ∴为保证一双赚的钱不少于30元，最多打八折， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．    ①若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和7，则刻度对应数轴上的点表示的数是2； ②若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为1和15，则刻度对应数轴上的点表示的数是5： ③若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5，则刻度对应数轴上的点表示的数是1； ④若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4，则刻度对应数轴上的点表示的数是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确算出每一厘米表示的单位长度．先计算出两点间的距离为几个单位长度，再除以刻度尺的长度，即可知每表示的单位长度． 【详解】解：①∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和7， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故①错误； ②∵和对应数轴上的点表示的数分别为1和15， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故②正确； ③∵和对应数轴上的点表示的数分别为和2.5， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数是，故③错误； ④∵和对应数轴上的点表示的数分别为和0.4， ∴单位长度为， ∴对应数轴上的点表示的数，故④错误， 故答案为：②． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过90分．以90分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，0，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少分？ 【答案】(1)小明最高分比最低分高分； (2)他这六次数学测验的平均成绩是分． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，掌握正负数的意义是解题的关键． （）根据小明记录了六次测验的成绩最大值减最小值即可； （）根据小明记录了六次测验的成绩之和除以，再加上即可求出他这六次数学测验的平均成绩； 【详解】（1）解：根据小明记录了六次测验的成绩最大值为，最小值为， ∴小明最高分比最低分高分； （2）解： 分， 答：他这六次数学测验的平均成绩是分． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪80元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴4元；超过60单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐53单 (3)该外卖小哥这一周工资收入元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正负数的实际应用： （1）用表格中的最大值减去最小值即可得到答案； （2）求出表格中所有数据的平均数再加上50即可； （3）根据工资的计算方式算出每天的工资再求和即可． 【详解】（1）解：送餐最多的一天比送餐最少的一天多送（单）． 故答案为：22； （2）解： （单） 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解： （元） 答：该外卖小哥这一周工资收入元． 1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1 两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C 2．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．根据两个数的正负以及加减乘除法运算法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可． 【详解】解：因为，根据数轴可知，或或， 则，所以选项A错误，不符合题意； ，所以选项B错误，不符合题意，C正确，符合题意； 当时，； 当时，； 当时，．所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（p、q是正整数，且），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：例如35可以分解成，则，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键． 由结合最佳分解的定义即可知． 【详解】解：∵， ， 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一”也就是用底面周长的平方乘高，再除以，这种计算方法，圆周率取近似值3．一个圆锥形沙堆的底面周长是，高是，用这种方法算出这个沙堆的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意代值计算即可． 【详解】解：由题意得：这个沙堆的体积是：； 故选：A． 5．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·期末）2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松现场氛围热烈．某学校9人组成的啦啦队在站点表演三个助威节目，候场时间为从首个节目开始至参演节目开始前的时间间隔（不考虑换场等因素），各节目参与人数及表演时长（单位：）如下表所示： 节目 甲 乙 丙 人数 3 4 2 时长 6 4 2 若节目按丙乙甲的顺序表演，则9位学生的候场时间之和是（　　） A．6 B．20 C．26 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据节目表演顺序，计算每个节目的候场时间，再乘以对应人数求和． 【详解】解： 确定各节目候场时间： 丙作为第一个节目，候场时间为0分钟（无需等待）； 乙作为第二个节目，需等待丙表演结束，候场时间为丙的时长2分钟； 甲作为第三个节目，需等待丙和乙表演结束，候场时间为丙时长+乙时长分钟； 计算各节目候场时间之和： 丙：2人分钟； 乙：4人分钟； 甲：3人分钟； 总和； 因此，9位学生的候场时间之和为26， 故选：C． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，乘除混合计算，第一空根据有理数的加法计算法则求解即可；第二空先计算除法，再计算乘法即可． 【详解】解；； ； 故答案为：1；； 8．（24-25七年级上·上海·阶段练习）规定一种特殊计算，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查新定义下有理数的运算．根据新定义的运算法则计算即可． 【详解】根据新定义的运算可知：． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】由数轴得到，据此判断各式的大小． 【详解】解：由数轴可得， （1）两个负数相加，和仍为负数，故； （2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故； （3）两个负数的积是正数，故； （4）绝对值大的负数的平方也大，故； （5）由绝对值的意义可得； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法、乘法，乘方，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（2025·北京房山·模拟预测）某校九年级有370名师生要去参加社会实践活动，学校计划租用甲、乙、丙三种型号的客车前往．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 每辆客车的租金/元 如果甲、乙、丙三种型号的客车分别租用7辆，3辆，2辆，那么租车的总费用为 元；如果使租车的总费用最低，那么总费用最低为 元． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，有理数的计算的应用；根据题意计算租用7辆，3辆，2辆，租车的总费用，设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 得出，计算三种客车的单价，确定车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低，找到最大整数解为，进而确定，，计算费用，即可求解． 【详解】解：依题意得(元)； 设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c， 则，即， 整理得 ∴车人均价格最低，当取得最大整数解时，租车费用最低， ∵a，b，c都是正整数， ∴， ∴， 此时最低费用为（元） 故答案为：，． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·假期作业）计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·河南南阳·期中）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：4的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，依此类推． (1)分别求出、、的值． (2)计算的值． (3)请求出的值． 【答案】(1)；；2 (2) (3)1012 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，通过计算找到运算结果的循环规律是解题的关键． （1）由差倒数的定义直接求解即可； （2）根据（1）中所求的值进行运算即可； （3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ．； （2）解： 由（1）得， ； （3）解：∵， ∴ ． 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋每满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九折．如果两个品牌都有一双标价250元的鞋，买哪个品牌更便宜？ 【答案】乙品牌更便宜 【分析】本题考查了有理数的乘法和减法运算的应用，分别计算出两种品牌所需要的钱数，比较即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：甲品牌：∵， ∴减100元，（元）， 乙品牌：（元）， ∵， ∴乙品牌更便宜． 14．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算 刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数： 所以，原式 (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算： 【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下： 观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便， ∴更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数为： ， ． 15．（24-25七年级上·福建漳州·期末）阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【答案】(1)400米/分 (2)①，过程见解析；②80 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用路程除以时间即可； （2）①计算观光车的时间加上小丽游玩的时间即可； ②由图可知观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每在20分钟一次到达雨林漂流，小丽要在前返回花海，则最晚乘坐分的观光车，据此求解即可． 【详解】（1）依题意，得 观光车一个往返耗时20分钟， 行驶的路程为（米）． 则观光车的速度为：（米/分）． 答：观光车的速度为400米/分； （2）①小丽在彩虹滑道游玩40分钟， （分钟） 小丽到达欢乐谷的时间是． 小丽在欢乐谷游玩60分钟， 小丽在欢乐谷乘坐的观光车前往雨林漂流． ②从到共用时200分钟， 次余10分钟， ∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐的观光车， ∴小丽在返回前共用时分钟， ∴小丽在雨林漂流最多游玩分钟． 故答案为：80 学科网（北京）股份有限公司 $$