2025年 九年级数学中考复习 图形的相似解答题 常考热点考前冲刺训练

2025年春九年级数学中考复习《图形的相似解答题》常考热点考前冲刺训练（附答案） 1．在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 2．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 3．如图，是的直径，弦，点D在上，点E是中点，连接分别交于点F，G． (1)请直接写出与的度数； (2)若，求的值； (3)若，求与的面积比． 4．如图，已知是的直径，是的弦，于点G，交于点H，与交于E，F两点，其中H为的中点，． (1)求证：与的相切； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 5．如图，四边形是正方形，作等腰直角三角形，直角顶点在对角线或其延长线上，顶点在边或其延长线上． (1)如图1，点在对角线上，与之间有无确定的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在对角线的延长线上，连接．当时，求与的数量关系． 6．图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 7．在平行四边形中，E、F两点分别在和边上，，连接和，分别交于G，H两点． (1)如图1，若平行四边形为菱形． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，分别记的面积为，求证：． 8．将一个矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连结． (1)如图1，当时，若，则的度数为____； (2)如图2，过点作交于点．判断与的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，射线分别交、于点、（如图3），当线段，时，求的长． 9．如图，在中，以为直径的交于点D，M为上一点，，点E是内一点，连接，延长至F，使，连接． (1)若，求的长； (2)求证：为的切线； (3)若，设的延长线交于点G，请判断点G在内、在上、在外，哪个正确？并说明理由． 10．如图1，正方形的边长为4，E为上一点（B、C点除外），连接，以为直径作，与对角线的另一交点为F，连接，． (1)证明：为等腰直角三角形； (2)如图2，连接，若． ①证明：与相切； ②求四边形的面积． 11．如图，在中，是的外接圆，连接并延长交于点．点是的内心，连接并延长交于点，过点作直线，延长交于点，连接，过点作的平行线交于点．已知． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的半径； (3)求证：． 12．如图1，在中，是钝角，以为直径的圆与边交于点D，与延长线交于点E，连结，连结交于点G． (1)求证：． (2)记与之间是否存在确定的数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点G关于的对称点在以为直径的圆上，证明点G是的内心． 13．如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且，连接和，将绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． (1)求的长； (2)如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； (3)当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； (4)如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 14．定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； (2)如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点B与点A对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； (3)如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 15．已知，二次函数的图象与轴交于点，顶点为，连接，交轴于点． (1)填空：二次函数解析式为______________________，点的坐标为___________ (2)如图1，过点任作直线，交二次函数的图象于点、，、的横坐标分别为、． ①求、之间的数量关系； ②若延长，交于点，问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ③如图2，连接，，，，若，求点的坐标． 16．如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 17．综合与探究：如图，四边形为正方形，M为线段上一动点，且，连接． (1)如图1，若，将正方形沿折叠，使得点A的对应点落在正方形内． ① ；（用含字母a的代数式表示） ②当M为中点时，如图2，连接并延长交于D，求证：． (2)如图3，作，交射线于点N，猜想并证明的数量关系． (3)当点M在射线上时，作交射线于点N，射线与射线相交于点E，若，请直接写出的值． 18．已知：是的弦，半径平分，点为上的点，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是直径，延长交于点，过作于点，连接、，过作交于点、交于点，连接，若，，求的长． 19．如图1，为锐角的中线，延长与的外接圆交于点，点在上，连结，，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连结，若，求证：为等腰三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，连结，若平分，求的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)动点D从点C出发，以每秒个单位的速度在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接和，若与的面积相等，求t的值． (3)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 2．（1）解：为等边三角形，理由如下： 由作法得， ， 为等边三角形； （2）证明： 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （3）解： 为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 3．（1）解：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点E是中点，经过圆心， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴； 作交于点， ， ∴， ∵, ∴，即, ∴点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：过点C作于点M，过点F作于点H， 由，不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴在中，， ∴， ∴． 4．（1）证明：如图①，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴与相切． （2）解：如图②，连接，过点D作，垂足为M． ∵，， ∴． 设的半径为r，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． ∵是直径， ∴， ∵H为的中点，O是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，H为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． （3）解：∵， ∴， 由（2）可得， ∴，即． 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）可得， ∴， 解得， ∴． 5．（1）解：如图1，与有确定的数量关系，． 理由：连接． ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，作于，于． 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则． ∴． 在中， ∴． 设，则． ∴．则． ∴．即． ∴． 6．解：设，则， 根据题意可得， ∴ 即， ∴ 同理可得 ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为． 7．（1）解：①证明：∵， ． 平行四边形为菱形， ． ． 在和中， ． ． 在和中， ， ． ②如图，连接， ，， 四边形为平行四边形． ∴， ． 设，则 ，解得或（不合题意，舍去）． 即的长为． （2）证明：， ， ． 又， ． ． 又两点到的距离相等， ． 8．（1）解：连接，如下图： 时，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，连接， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，连接， ，，， ， ， ，， ， ， ， 在和中，，， ， ， ， ， 时， ． 9．（1）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴点为中点， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点，点D是的中点， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （3）解：点在上， 连接，延长交于点G，连接， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵点O是的中点， ∴ ∴点G在上． 10．（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）①证明：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； ②解：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 11．（1）证明：连接并延长交于，连接， 是的直径， ，即， ，， ， 即， ， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， 点是的内心， 是的角平分线， ， ， ， ， 设， 在中， ∴ 解得： ∴ ， 即的半径为3； （3）证明：连接并延长交于，连接，， ， ， ，， 又∵ ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 12．（1）证明：连接． ∵为直径， ∴ ． ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴； （2）解：与之间存在确定的数量关系，该数量关系为． 理由： ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）证明：连接，，，如图， ∵点G关于的对称点在以为直径的圆上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴． ∴为的平分线， ∵，， ∴， ∴为的平分线， ∴点G是的内心． 13．（1）解：∵矩形， ∴， 在中，，， ∴． （2）． 理由如下： ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∴， ∴， ∴． （3）由（2）知，， ∵旋转， ∴，即：， ∴平行四边形是矩形． 当点落在平行四边形的边上时，有以下两种情况． 情况一：如图1，此时点，重合，点，重合． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 情况二：如图2，此时点在上． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）如图3，由（1）（2）知，，． 当点落在线段上时，． 同理可得当点落在线段的延长线上时，， ∴， ∴． 过点作于点，则，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直于的直线上运动． 延长至点，使得，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当，，三点共线时，最小，如图3． 过点作于点． 在中，由面积法得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 14．（1）证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点P为的“相似点”； （2）解：由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：． 证明：∵点G是的“相似点”，且， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）． 15．（1）解：将代入， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：①设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立， ∴， ∵、的横坐标分别为、． ∴， ∴， 即； ②设点，， ∵，， 设直线，的解析式分别为，， ∴，， 解得：，， ∴直线，的解析式分别为，， 联立， 解得：， ∴， ∴在定直线上， ③如图， 分别过点作的垂线，垂足分别为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 即①， 又∵②， 联立①②，解得：或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，或． 16．（1）证明：如图，作的延长线， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ， ， ． ， ． ． ， ， ． ； （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点， 设菱形的边长为， ， ， ，由（2）知，， ， ， ， ， ． 17．（1）解：①∵，， ∴， 由折叠性质得； 故答案为：； ②证明：如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴，又， ∴， ∴， 设， ∵M为中点，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 解得，则， ∴； （2）解：． 证明： ∵， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点M在线段上，作于点Q，则， ∵正方形 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴3， ∴3； 当点M在线段的延长线上，过E作交延长线于R， 则，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 18．（1）证明：∵半径平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点，连接，延长交于， ∴， ∴四边形为矩形， 则， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 连接，过C点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（1）证明：点在的外接圆上， ， 为的中线， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形； （2）证明：如图，连结，， 四边形为平行四边形， ． ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （3）解：如图，作， ， 平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在平行四边形中，， 作， 设， ， ， ． ，， ． ． 20．（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 设点D的坐标为， ∵轴， ∴， ∴； ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$