14.2 三角形全等的判定 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 讲解目录 【知识点1】全等三角形的判定 1 【知识点2】直角三角形全等的判定 3 【知识点3】全等三角形的判定与性质 4 【题型1】用SAS判定三角形全等 6 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 7 【题型3】SAS的实际应用 8 【题型4】用ASA判定三角形全等 10 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 11 【题型6】ASA的实际应用 12 【题型7】用AAS判定三角形全等 13 【题型8】AAS的实际应用 14 【题型9】用SSS判定三角形全等 15 【题型10】SSS与全等三角形性质的综合 16 【题型11】SSS的实际应用 17 【题型12】用HL判定直角三角形全等 19 【题型13】HL的实际应用 20 【题型14】尺规作图 21 【题型15】全等三角形的性质与判定的综合 23 【题型16】倍长中线法 24 【题型17】全等三角形与垂线问题 25 【题型18】与尺规作图相关的全等三角形问题 26 知识巩固 【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 即学即练 1．（2025春•宝山区校级期末）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充下面一个条件，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．BC=B′C′ B．AC=A′C′ C．∠C=∠C′ D．∠A=∠A′ 2．（2025•长沙一模）如图，AC=AD，BC=BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 3．（2025春•安福县期末）如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（　　） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 4．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，那么添加下列选项中的条件后．仍然不能判定出△ACB≌△DFE的是（　　） A．AC=DF B．∠ACB=∠DFE=90° C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D 5．（2025•安平县校级开学）如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，则△ABC≌△ABD，应用的判定方法是______． 6．（2023秋•富锦市校级期末）如图，AC⊥BC于点C，AC=4，BC=2，射线AX⊥AC于点A，点P在线段AC上移动，点Q在射线AX上随着点P移动，且始终保持PQ=AB，当AP=______时，才能使△PQA与△ABC全等． 【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． · 即学即练 1．（2025春•高州市期末）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′ C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′ 2．（2023秋•民权县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 3．（2023秋•铁岭县期末）如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE=CF，则图中全等三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．（2024春•汝城县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件______． 5．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF=AC，CD=DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理______． 【知识点3】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 即学即练 1．（2024秋•衡阳期末）如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（　　） A．120° B．125° C．127° D．104° 2．（2025春•菏泽月考）如图，FE=BC，DE=AB，∠B=∠E=40°，∠F=70°，则∠A=（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．（2025春•青岛期中）如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BOD的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 4．（2024秋•西安期末）如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE，DF⊥BE于点F，若∠A=90°，AD=DF，∠DBF=25°，则∠BEC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．140° 5．（2024秋•金安区期末）如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上的点，AE=AD，CE=CD，∠D=75°，∠ECD=140°，则∠B的度数为 ______°． 6．（2025•琼山区校级三模）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）若△ABC的边长为6，求CE的长． 题型专练 【题型1】用SAS判定三角形全等 【典型例题】在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A.BC＝EF B.BE＝CF C.AC＝DE D.以上都不对 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，若用“SAS”判定△ABC≌△ADC，需要添加的条件是（　　） A.∠ABC=∠ADC B.BO=DO C.∠BAC=∠DAC D.∠ACB=∠ACD 【举一反三2】如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.∠C＝∠D D.AC＝BD 【举一反三3】如图，在和中，，已知，小亮说：若，则可判定，他的依据是     ． 【举一反三4】在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，能用“SAS”判定能与△ABC全等的是        （填写序号） （1） （2） （3） （4） 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 【举一反三1】如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三3】如图，点C，F在线段上，，，，，则            ． 【举一反三4】如图，，，，，连接与交于，则       ． 【题型3】SAS的实际应用 【典型例题】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是 ，当小明从水平位置上升 时，小敏离地面的高度是（　 　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是某太阳伞截面示意图，平分，．若需要安装支杆，则支杆的长度应与哪条线段长度相等（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为      ． 【举一反三4】如图，亮亮想测量某湖，两点之间的距离，他选取了可以直接到达点，的一点，连接，，并作，截取，连接，他说，根据三角形全等的判定定理，可得，所以，他用到三角形全等的判定定理是      ． 【题型4】用ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，已知平分要想用“ASA”判定，需要添加的条件是 （     ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，通过标出的元素，能用“ASA”判定与全等的三角形是（    ）    A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 【举一反三2】如图，已知AC＝DC，∠1＝∠2，如果添加一个条件用“ASA”使△ABC≌△DEC，则添加的条件不可以是（　　） A.∠A＝∠D B.∠B＝∠E C.BC＝EC D.AB＝DE 【举一反三3】如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED（ASA），应添加的条件是 　  　． 【举一反三4】如图，已知，AE∥BD，若要用“ASA”判定△AEC≌△DCE，则需添加的一组平行线是　       　． 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，已知，在中，平分，于点D．若，则（   ） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三1】如图，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为（    ） A.1 B. C.2 D.3 【举一反三2】如图所示，，垂足分别是E，F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（   ） A.3个 B.4个 C.5个 D.以上答案都不对 【举一反三3】如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为           ． 【举一反三4】如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则        ． 【题型6】ASA的实际应用 【典型例题】如图，点，在一水池两侧，与相交于点．若，，，则水池的宽为（   ） A. B. C. D.无法确定 【举一反三1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.以上全不对 【举一反三2】小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A. B. C. D.选择哪块都行 【举一反三3】如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽AC为         ． 【举一反三4】如图，要测量河两岸相对两点，间的距离，先在过点的的垂线上取两点，，使，再在过点的垂线上取点，使，，三点在一条直线上，可证明，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是      ． 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知∠1＝∠2，在下列条件：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④AB＝AC中，只补充一个条件可用“AAS”判断△ABD≌△ACD的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 【举一反三2】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【举一反三3】如图，，利用“”，使，可添加一个条件是      ．    【举一反三4】如图，D在上，E在上，且，要说明． 若以“”为依据，还须添加的一个条件为            ． 【题型8】AAS的实际应用 【典型例题】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A.30 B.35 C.40 D.45 【举一反三2】如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点C离墙的水平距离是       ． 【举一反三4】如图，数学小组为了测量某建筑物的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上．且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点；最后测得 ，则建筑物的高度       m． 【题型9】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，在和中，，相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，，要想用“SSS”证明，还需要添加的条件是（　　） A.AC平分∠BAD B.AC平分∠BCD C.AB=DC D.BC=DC 【举一反三2】如图，是四边形的对角线，，若用“SSS”证明，需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】三边分别　    　的两个三角形全等，简写成“边边边”，用符号表示成“　       　”． 【举一反三4】如图，已知AC=FE,BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要想用“SSS”使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是            ． 【题型10】SSS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在和中，点在同一直线上，若，则的大小为（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在和中，，，，则（   ）    A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A.70° B.85° C.110° D.25° 【举一反三3】如图，，，E，F为上的两点，且，若，，则的度数为            ．    【举一反三4】如图，在中，为边上一点，连接，，，，则的度数为        ． 【题型11】SSS的实际应用 【典型例题】如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　）    A. B. C. D. 【举一反三1】油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图为其伞骨示意图，已知， 那么的依据是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（　　） A.AD和BC，点D B.AB和AC，点A C.AC和BC，点C D.AB和AD，点A 【举一反三3】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是              . 【举一反三4】某零件主体部分的示意图如图所示，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝CB，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是________． 【题型12】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC与△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，能用HL使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（　　） A.AB＝DC或AC＝DB B.AC＝BC C.∠ABC＝∠DCB D.∠ABD＝∠DCA 【举一反三1】如图，在和中，点B，D，C，E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在四边形中，，垂足分别是，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①；②；③；④在和中 证明步骤正确的顺序是（    ） A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是      ． 【举一反三4】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　     　． 【题型13】HL的实际应用 【典型例题】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 【举一反三2】如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ） A.15° B.20° C.30° D.40° 【举一反三3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则      ． 【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数是        ． 【题型14】尺规作图 【典型例题】用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）    A.以点F为圆心，OE长为半径画弧 B.以点F为圆心，EF长为半径画弧 C.以点E为圆心，OE长为半径画弧 D.以点E为圆心，EF长为半径画弧 【举一反三2】如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A.小楠 B.小雅 C.小彤 D.小华 【举一反三3】已知两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和理由） 【举一反三4】如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 【题型15】全等三角形的性质与判定的综合 【典型例题】如图所示，在中，，为的中点，过点分别向，作垂线段，则能够说明的理由是(   ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，点E在边CD上，AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC，AD＝2，BC＝4，则AB的长是（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【举一反三2】如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.3.5cm 【举一反三3】如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　    　°． 【举一反三4】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　      　． 【题型16】倍长中线法 【典型例题】中，是边上的中线，若，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 【举一反三2】如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ） A.1 B.2 C.5 D.8 【举一反三3】如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【举一反三4】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是           . 【题型17】全等三角形与垂线问题 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（    ） A.1 B.2 C. D. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，，，点C在x轴上，交y轴于M，经测量发现，已知，点A的横坐标为，则点B的坐标为        ． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，，，，且，则点的坐标是            ． 【题型18】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典型例题】如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得的根据是(    )    A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【举一反三1】如图，已知；，线段，求作． 作法；(1)作线段； (2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是(    ) A. B. C. D. 【举一反三2】如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为(    ) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线．若，则的度数为(   ) A. B. C. D. 【举一反三4】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定 讲解目录 【知识点1】全等三角形的判定 1 【知识点2】直角三角形全等的判定 5 【知识点3】全等三角形的判定与性质 8 【题型1】用SAS判定三角形全等 13 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 16 【题型3】SAS的实际应用 19 【题型4】用ASA判定三角形全等 22 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 24 【题型6】ASA的实际应用 28 【题型7】用AAS判定三角形全等 30 【题型8】AAS的实际应用 32 【题型9】用SSS判定三角形全等 35 【题型10】SSS与全等三角形性质的综合 37 【题型11】SSS的实际应用 39 【题型12】用HL判定直角三角形全等 42 【题型13】HL的实际应用 44 【题型14】尺规作图 47 【题型15】全等三角形的性质与判定的综合 50 【题型16】倍长中线法 53 【题型17】全等三角形与垂线问题 57 【题型18】与尺规作图相关的全等三角形问题 61 知识巩固 【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． · 即学即练 1.（2025春•宝山区校级期末）已知在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充下面一个条件，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（　　） A．BC=B′C′ B．AC=A′C′ C．∠C=∠C′ D．∠A=∠A′ 【答案】B 【分析】要使△ABC≌△A′B′C′，已知一边和一角，则我们可以利用AAS或SAS来判定其全等．此题我们可以采用排除法． 【解答】解：A、添加后符合SAS判定； B、添加后不符合任何判定，因为它与已知的边不能构成一个角； C、添加后符合AAS判定； D、添加后符合AAS判定． 故选：B． 2.（2025•长沙一模）如图，AC=AD，BC=BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】A 【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明△ABC≌△ABD（SSS）． 【解答】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS． 故选：A． 3.（2025春•安福县期末）如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（　　） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 【答案】D 【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看条件是否符合判定定理即可． 【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误； B、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误； C、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误； D、根据AE=AD，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确； 故选：D． 4.（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，那么添加下列选项中的条件后．仍然不能判定出△ACB≌△DFE的是（　　） A．AC=DF B．∠ACB=∠DFE=90° C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D 【答案】D 【分析】首先根据等式的性质可得BC=EF，结合AB=DE，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【解答】解：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF， 另有AB=DE， A、添加AC=DF，利用SSS能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； B、添加∠ACB=∠DFE=90°，利用HL能判定Rt△ABC≌Rt△DEF，不符合题意； C、添加∠B=∠DEF，利用SAS能判定△ABC≌△DEF，不符合题意； D、添加∠A=∠D，利用SSA不能判定△ABC≌△DEF，符合题意； 故选：D． 5.（2025•安平县校级开学）如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB，则△ABC≌△ABD，应用的判定方法是______． 【答案】SAS． 【分析】直接根据三角形全等的判定定理判断即可． 【解答】解：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SAS）． 故答案为：SAS． 6.（2023秋•富锦市校级期末）如图，AC⊥BC于点C，AC=4，BC=2，射线AX⊥AC于点A，点P在线段AC上移动，点Q在射线AX上随着点P移动，且始终保持PQ=AB，当AP=______时，才能使△PQA与△ABC全等． 【答案】2或4． 【分析】分当AP=BC=2时和当AP=AC=4时两种情况解答即可． 【解答】解：∵AC⊥BC，AX⊥AC， ∴∠ACB=∠PAQ=90°， ①∴当AP=BC=2时， ∵PQ=AB，∠ACB=∠PAQ=90°， ∴△PQA与△ABC（HL）； ②当AP=AC=4时， ∵PQ=AB，∠ACB=∠PAQ=90°， ∴△PQA与△ABC（HL）； 故答案为：2或4． 【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． · 即学即练 1.（2025春•高州市期末）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′ C．AC=A′C′，AB=A′B′ D．∠B=∠B′，BC=B′C′ 【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法HL即可直接得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等， 故选：C． 2.（2023秋•民权县期末）如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（　　） A．28° B．59° C．60° D．62° 【答案】B 【分析】根据∠C=90°，AD=AC，且AE=AE，求证△CAE≌△DAE（HL），∠CAE=∠DAE=∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE=AE， ∴△CAE≌△DAE（HL）， ∴∠CAE=∠DAE=∠CAB， ∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°， ∴∠CAB=90°-28°=62°， ∴∠AEC=90°-∠CAB=90°-31°=59°． 故选：B． 3.（2023秋•铁岭县期末）如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE=CF，则图中全等三角形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题是开放题，应先根据三角形的判定确定图中全等三角形：△BCF≌△CBE，△ABE≌△ACF，△BOF≌△COE．再分别进行证明． 【解答】解：①△BCF≌△CBE ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠CFB=∠BEC=90° ∵BE=CF，BC=BC ∴△BCF≌△CBE（HL）； ②△ABE≌△ACF ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠AFC=∠AEB=90° ∵BE=CF，∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACF（AAS）； ③△BOF≌△COE 设BE与CF相交于点O， ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠OFB=∠OEC， ∵由①知：△BCF≌△CBE， ∴BF=CE， ∠BOF=∠COE ∴△BOF≌△COE（AAS）． 故选：C． 4.（2024春•汝城县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件______． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC． 【解答】解：还需添加条件AB=AC， ∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， 故答案为：AB=AC． 5.（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF=AC，CD=DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理______． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△BFD． 【解答】∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠BDF=90°， 在Rt△ACD和Rt△BFD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）． 故答案为：HL． 【知识点3】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． · 即学即练 1.（2024秋•衡阳期末）如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是（　　） A．120° B．125° C．127° D．104° 【答案】C 【分析】证△ABC≌△ADC，得出∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAC=∠BAD=23°，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：∵在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC， ∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAC=∠BAD=×46°=23°， ∴∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-30°-23°=127°， 故选：C． 2.（2025春•菏泽月考）如图，FE=BC，DE=AB，∠B=∠E=40°，∠F=70°，则∠A=（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠C与∠F的关系，根据三角形的内角和定理，可得答案． 【解答】解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠C=∠F=70°． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=180°-∠B-∠C =180°-40°-70°=70°， 故选：D． 3.（2025春•青岛期中）如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BOD的度数为（　　） A．75° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】利用等边三角形性质证明△BCE≌△CAD，利用全等三角形性质得到∠ACD=∠CBE，利用三角形的外角性质求解，即可解题． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE=∠CAD=60°，BC=CA， 在△BCE和△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD（SAS）， ∴∠CBE=∠ACD， ∴∠BOD=∠OCB+∠CBE=∠OCB+∠ACD=∠ACB=60°， 故选：B． 4.（2024秋•西安期末）如图，在△ABC中，D、E为边AC上两点，连接BD、BE，DF⊥BE于点F，若∠A=90°，AD=DF，∠DBF=25°，则∠BEC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．140° 【答案】D 【分析】根据已知得出BD是∠ABE的角平分线，进而得出∠ABE=2∠DBF=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=40°，最后根据邻补角的定义，即可求解． 【解答】解：∵DF⊥BE， ∴∠DFB=90°， ∵∠A=90°， 在Rt△ADB和Rt△FDB中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△FDB（HL）， ∴∠ABD=∠FBD， ∴BD是∠ABE的角平分线， ∵∠DBF=25°， ∴∠ABE=2∠DBF=50°， ∴∠AEB=∠A-∠ABE=90°-∠ABE=90°-50°=40°， ∴∠BEC=180°-∠AEB=180°-40°=140°， 故选：D． 5.（2024秋•金安区期末）如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上的点，AE=AD，CE=CD，∠D=75°，∠ECD=140°，则∠B的度数为 ______°． 【答案】35． 【分析】连结AC，由AE=AD，CE=CD，AC=AC，根据“SSS”证明△ACE≌△ACD，则∠AEC=∠D=75°，由∠ECD=140°，求得∠BCE=40°，则∠B=∠AEC-∠BCE=35°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连结AC， 在△ACE和△ACD中， ， ∴△ACE≌△ACD（SSS）， ∴∠AEC=∠D=75°， ∵∠ECD=140°， ∠BCE=180°-∠ECD=180°-140°=40°， ∴∠B=∠AEC-∠BCE=75°-40°=35°， 故答案为：35． 6.（2025•琼山区校级三模）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）若△ABC的边长为6，求CE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）3． 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠ABD=∠CBD，AB=CB，利用SAS即可证明△ABD≌△CBD； （2）根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB=60°，CD=AC=3，求得∠DBC=30°，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠DBC=30°，求得∠E=∠DBC=30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴∠ABD=∠CBD，AB=CB， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）； （2）解：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB=60°，CD=AC=3， ∴∠DBC=30°， ∵BD=DE， ∴∠E=∠DBC=30°， ∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°， ∴∠E=∠CDE=30°， ∴CD=CE=3． 题型专练 【题型1】用SAS判定三角形全等 【典型例题】在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A.BC＝EF B.BE＝CF C.AC＝DE D.以上都不对 【答案】C 【解析】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．以上C符合题意，故本选项不符合题意. 故选：C． 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，若用“SAS”判定△ABC≌△ADC，需要添加的条件是（　　） A.∠ABC=∠ADC B.BO=DO C.∠BAC=∠DAC D.∠ACB=∠ACD 【答案】C 【解析】解：∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）. ∴添加∠BAC=∠DAC可用“SAS”判定△ABC≌△ADC. ，故选C． 【举一反三2】如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.∠C＝∠D D.AC＝BD 【答案】B 【解析】解：由题意得：∠CAB＝∠DBA，AB＝BA， A、∵∠1＝∠2， ∴AO＝BO， ∠CAB﹣∠1＝∠DBA﹣∠2， 即∠CAO＝∠DBO， 利用ASA可判定△ACO≌△BDO， 则有AC＝BD， 从而利用SAS可判定△ABC≌△BAD，故A不符合题意； B、当AD＝BC时，不能判定△ABC≌△BAD，故B符合题意； C、当∠C＝∠D时，利用AAS可判定△ABC≌△BAD，故C不符合题意； D、当AC＝BD时，利用SAS可判定△ABC≌△BAD，故D不符合题意； 故选：B． 【举一反三3】如图，在和中，，已知，小亮说：若，则可判定，他的依据是     ． 【答案】 【解析】解：， ， 即， 在和中， ． 【举一反三4】在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，能用“SAS”判定能与△ABC全等的是        （填写序号） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） 【解析】解：（1）中，根据SAS可以判定两个三角形全等，不符合题意； （2）中，两角及夹边，本选项不符合题意； （3）中，两边和一边的对角对应相等，不能判断三角形全等，不符合题意； （4）中，三边分别相等，不符合题意． 故填写：（1）． 【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在中，，平分交于点D，在上截取，则周长为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】B 【解析】解：是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长． 【举一反三1】如图所示，为的角平分线，且，，，则的大小是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三2】如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A 【解析】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4． 【举一反三3】如图，点C，F在线段上，，，，，则            ． 【答案】 【解析】解：因为， 则， 所以． 在与中， ， 所以， 所以． 【举一反三4】如图，，，，，连接与交于，则       ． 【答案】 【解析】解：如图所示，设交于点， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型3】SAS的实际应用 【典型例题】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O即跷跷板的中点到地面的距离是 ，当小明从水平位置上升 时，小敏离地面的高度是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴小敏离地面的高度是． 【举一反三1】如图是某太阳伞截面示意图，平分，．若需要安装支杆，则支杆的长度应与哪条线段长度相等（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴． 【举一反三2】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，O是它们的中点， ， 在与中, ， ． 【举一反三3】如图，是一个瓶子的切面图，测量得到瓶子的外径的长度是，为了得到瓶子的壁厚，小庆把两根相同长度的木条和的中点O固定在一起，做了一个简单的测量工具，如图，得到的长为，则瓶子的壁厚a的值为      ． 【答案】3 【解析】解：是木条和的中点, 又 ， ， ． 【举一反三4】如图，亮亮想测量某湖，两点之间的距离，他选取了可以直接到达点，的一点，连接，，并作，截取，连接，他说，根据三角形全等的判定定理，可得，所以，他用到三角形全等的判定定理是      ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 在与中， ， ， ． 【题型4】用ASA判定三角形全等 【典型例题】如图，已知平分要想用“ASA”判定，需要添加的条件是 （     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵平分 ∴， 即， 在中， ∴添加“”,可用“ASA”判定. 【举一反三1】已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，通过标出的元素，能用“ASA”判定与全等的三角形是（    ）    A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 【答案】A 【解析】解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角与角的夹边和的角与角的夹边对应相等，故可利用证明乙三角形与全等； 丙的角和边与的角和边对应相等，不符合ASA. 甲、乙、丙三个三角形中能用“ASA”判定与全等的是乙. 【举一反三2】如图，已知AC＝DC，∠1＝∠2，如果添加一个条件用“ASA”使△ABC≌△DEC，则添加的条件不可以是（　　） A.∠A＝∠D B.∠B＝∠E C.BC＝EC D.AB＝DE 【答案】A 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE， 当∠A＝∠D时，由ASA可证△ABC≌△DEC，故A符合要求； 当∠B＝∠E时，AAS不符合ASA证△ABC≌△DEC，故B不符合要求； 当BC＝EC时，SAS不符合ASA证△ABC≌△DEC，故C不符合要求； 当AB＝DE，无法使△ABC≌△DEC，故D符合要求． 故选：A． 【举一反三3】如图，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED（ASA），应添加的条件是 　  　． 【答案】∠C＝∠D． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAD， 又∵AC＝AD， ∴当∠C＝∠D时，可以利用“ASA”判定△ABC≌△AED． 故答案为：∠C＝∠D． 【举一反三4】如图，已知，AE∥BD，若要用“ASA”判定△AEC≌△DCE，则需添加的一组平行线是　       　． 【答案】AC∥DE 【解析】解：∵AE∥BD，∴∠AEC＝∠DCE． 又CE＝EC， ∴当∠ACE＝∠DEC时，△AEC≌△DCE．（ASA） 此时有 AC∥DE． 故答案为 AC∥DE． 【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，已知，在中，平分，于点D．若，则（   ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】解：如图所示，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，， ∴． 【举一反三1】如图，是的高线，与相交于点．若，且的面积为12，则的长度为（    ） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】如图所示，，垂足分别是E，F，D是的中点，下列结论：①D是的中点；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（   ） A.3个 B.4个 C.5个 D.以上答案都不对 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴，故③正确； ∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∴D是的中点，故①正确； 根据现有条件无法证明和是等腰三角形，故④⑤错误； ∴正确的有3个． 【举一反三3】如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为           ． 【答案】3 【解析】解：∵平分， ， 又， ， ， ． 【举一反三4】如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则        ． 【答案】 【解析】解：如图，延长交于点， ∵是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型6】ASA的实际应用 【典型例题】如图，点，在一水池两侧，与相交于点．若，，，则水池的宽为（   ） A. B. C. D.无法确定 【答案】B 【解析】解：在和中， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A.SSS B.SAS C.ASA D.以上全不对 【答案】C 【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选C． 【举一反三2】小林同学一不小心将厨房里的一块三角形玻璃摔成了如图所示的三部分，他想到玻璃店配一块完全相同的玻璃，那么他应该选择带哪个部分去玻璃店才能最快配得需要的玻璃（　　） A. B. C. D.选择哪块都行 【答案】C 【解析】解：A块和B块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；C块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．则应带C去．故选C. 【举一反三3】如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽AC为         ． 【答案】 【解析】解：由题意得， ， 在和中， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，要测量河两岸相对两点，间的距离，先在过点的的垂线上取两点，，使，再在过点的垂线上取点，使，，三点在一条直线上，可证明，所以测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是      ． 【答案】 【解析】解：由题意可得， 在和中， ∴． 【题型7】用AAS判定三角形全等 【典型例题】如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其他选项都不能证明． 【举一反三1】如图，已知∠1＝∠2，在下列条件：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④AB＝AC中，只补充一个条件可用“AAS”判断△ABD≌△ACD的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴∠ADB＝∠ADC， A.∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD=AD ∴△ABD≌△ACD(AAS)，故①正确； B.∵∠BAD＝∠CAD，AD=AD，∠ADB＝∠ADC， ∴△ABD≌△ACD（ASA），故②不符合题意； C.∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD=AD,不能用AAS判定△ABD≌△ACD，故③不符合题意． ∴故选A． 【举一反三2】如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，用“AAS”可判定与一定全等的三角形是（    ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙 【答案】D 【解析】解：甲中b，c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，不符合，故乙不符合题意， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另两组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能用“AAS”和全等的是只有丙． 【举一反三3】如图，，利用“”，使，可添加一个条件是      ．    【答案】（答案不唯一） 【解析】解：，， 要利用“”，使，需添加条件：（答案不唯一）． 【举一反三4】如图，D在上，E在上，且，要说明． 若以“”为依据，还须添加的一个条件为            ． 【答案】 【解析】解：条件是， 理由是：在和中， ∴． 【题型8】AAS的实际应用 【典型例题】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【举一反三1】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（   ） A.30 B.35 C.40 D.45 【答案】D 【解析】解：如图，由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴嘉嘉离地面的高度是． 【举一反三2】如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点C离墙的水平距离是       ． 【答案】70 【解析】解：如图，过点作于点， ， ∴， （同角的余角相等）． ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ∴． ． ∴． 【举一反三4】如图，数学小组为了测量某建筑物的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上．且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点；最后测得 ，则建筑物的高度       m． 【答案】7 【解析】解：， ， ， ， ， ， ． 【题型9】用SSS判定三角形全等 【典型例题】如图，在和中，，相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】证明：∵，， ∴当时，根据可判定． 【举一反三1】如图，，要想用“SSS”证明，还需要添加的条件是（　　） A.AC平分∠BAD B.AC平分∠BCD C.AB=DC D.BC=DC 【答案】D 【解析】证明：∵，，， ∴， ∴要想用“SSS”证明，还需要添加的条件是BC=DC． 【举一反三2】如图，是四边形的对角线，，若用“SSS”证明，需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：在和中， ， ∴若用“SSS”证明，需要添加的条件是． 【举一反三3】三边分别　    　的两个三角形全等，简写成“边边边”，用符号表示成“　       　”． 【答案】对应相等；SSS． 【解析】解：三条边分别对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”，用符号表示成“SSS”， 故答案为：对应相等；SSS． 【举一反三4】如图，已知AC=FE,BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要想用“SSS”使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是            ． 【答案】AB=FD或AD=FB 【解析】解：用SSS判定三角形全等.要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，BC=DE，具备了两组边对应相等，故添加AB=FD或AD=FB，利用SSS可证全等．（也可添加其它条件）． 【题型10】SSS与全等三角形性质的综合 【典型例题】如图，在和中，点在同一直线上，若，则的大小为（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解： ， 在和 中， ， 【举一反三1】如图，在和中，，，，则（   ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三2】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，，，，，则的度数为（    ）    A.70° B.85° C.110° D.25° 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，，，E，F为上的两点，且，若，，则的度数为            ．    【答案】 【解析】解：在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，在中，为边上一点，连接，，，，则的度数为        ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型11】SSS的实际应用 【典型例题】如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：在和中， ， ． 【举一反三1】油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图为其伞骨示意图，已知， 那么的依据是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴的依据是． 【举一反三2】如图是人字型金属屋架的示意图，该屋架由BC、AC、BA、AD四段金属材料焊接而成，其中A、B、C、D四点均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，假设焊接所需的四段金属材料已截好，并已标出BC段的中点D，那么，如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，而又为了准确快速地焊接，他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是（　　） A.AD和BC，点D B.AB和AC，点A C.AC和BC，点C D.AB和AD，点A 【答案】A 【解析】解：根据题意知，∵在△ABD与△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC， 根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D． 故选A． 【举一反三3】 “三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量就知道∠DEH＝∠DFH，则她判定两个三角形全等的方法是              . 【答案】边边边 【解析】解：在△DEH和△DFH中 ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH， 故选：边边边 【举一反三4】某零件主体部分的示意图如图所示，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的．测得AB＝CB，OA＝OC，OA⊥OC，∠ABC＝36°，则∠OAB的度数是________． 【答案】117° 【解析】解：因为在△AOB和△COB中， 所以△AOB≌△COB(SSS)， 所以∠ABO＝∠CBO，∠AOB＝∠COB， 又OA⊥OC，∠ABC＝36°， 所以∠ABO＝36°÷2＝18°， ∠AOB＝90°÷2＝45°， 所以∠OAB＝180°－18°－45°＝117°. 【题型12】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，在△ABC与△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，能用HL使Rt△ABC≌Rt△DCB的是（　　） A.AB＝DC或AC＝DB B.AC＝BC C.∠ABC＝∠DCB D.∠ABD＝∠DCA 【答案】A 【解析】解：A、由HL判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故A符合题意； B、AC=AB，不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故C不符合题意； C、由AAS判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故C不符合题意； D、∠ABD和∠DCA不是Rt△ABC和Rt△DCB的角，∠ABD＝∠DCA不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三1】如图，在和中，点B，D，C，E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴． 【举一反三2】如图，在四边形中，，垂足分别是，．求证：．以下是排乱的证明过程： ①；②；③；④在和中 证明步骤正确的顺序是（    ） A.③②④① B.③①④② C.①②③④ D.①③④② 【答案】B 【解析】解：， ， 在和中， ． 故顺序为③①④②． 【举一反三3】如图，已知，，，要使，且需用“”进行判定，可补充的一个条件是      ． 【答案】 【解析】解：补充条件为． 理由：∵，， ∴， 在和中， ∴． 【举一反三4】如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是 　     　． 【答案】AB＝CD． 【解析】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边， 根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD． 故答案为：AB＝CD． 【题型13】HL的实际应用 【典型例题】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ． 【举一反三1】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠2=∠3，∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选：B． 【举一反三2】如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ） A.15° B.20° C.30° D.40° 【答案】C 【解析】过点O作线段A′B′，如图，∠AOA′即为跷跷板可以转动的最大角度 在Rt△OCA和Rt△OCB′中 ∵OA＝OB′，OC＝OC ∴△OCA≌△OCB′（HL） ∴∠OB′C＝∠OAC＝15° ∵∠AOA′＝∠OB′C＋∠OAC＝15＋15°＝30° ∴跷跷板可以转动的最大角度为30° 故选：C 【举一反三3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则      ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数是        ． 【答案】 【解析】解：在和中， ∴， ∴， ∴． 【题型14】尺规作图 【典型例题】用直尺和圆规作等于已知的过程如下图，则图中与全等的依据是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：根据题意，， ∴． 【举一反三1】如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）    A.以点F为圆心，OE长为半径画弧 B.以点F为圆心，EF长为半径画弧 C.以点E为圆心，OE长为半径画弧 D.以点E为圆心，EF长为半径画弧 【答案】D 【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D． 【举一反三2】如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A.小楠 B.小雅 C.小彤 D.小华 【答案】D 【解析】解：由作图得，， 在和中， ∴， ∴． 故小华的说法错误． 【举一反三3】已知两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和理由） 【答案】解：如图所示． 【举一反三4】如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 【答案】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【题型15】全等三角形的性质与判定的综合 【典型例题】如图所示，在中，，为的中点，过点分别向，作垂线段，则能够说明的理由是(   ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵为中点， ∴， ∵由点分别向，作垂线段，， ∴， 在与中， ∴． 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，点E在边CD上，AE，BE分别平分∠BAD，∠ABC，AD＝2，BC＝4，则AB的长是（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】解：过点E作EF⊥AB于点E，则∠EFA＝∠EFB＝90° ∵AD∥BC，CD⊥BC， ∴∠D＝90°， ∴∠D＝∠EFA， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠DAF， 又∵AE＝AE， ∴在△DAE和△FAE中， ， ∴△DAE≌△FAE（AAS）， ∴AD＝AF＝2， 同理可证：△BFE≌△BCE（AAS）， ∴BF＝BC＝4， ∴AB＝2+4＝6， 故选：C． 【举一反三2】如图，AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝7cm，CF＝5cm，则BD是（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.3.5cm 【答案】A 【解析】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE＝EF， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF＝5cm， ∴BD＝AB﹣AD＝7﹣5＝2（cm）． 故选：A． 【举一反三3】如图，在△ABC的上方有一点D，连接AD，CD，AB＝AD，CB＝CD，∠BCD＝50°，则∠ACB的度数为 　    　°． 【答案】25． 【解析】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 又∠BCD＝50°， ∴， 故答案为：25． 【举一反三4】如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　      　． 【答案】55° 【解析】解：如图，∵∠DFC+∠AFD＝180°，∠AFD＝145°， ∴∠CFD＝35°． 又∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠CDF＝90°， 在Rt△BDE与△Rt△CFD中， ， ∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL）， ∴∠BDE＝∠CFD＝35°， ∴∠EDF+∠BDE＝∠EDF+∠CFD＝90°， ∴∠EDF＝55°． 故答案为：55°． 【题型16】倍长中线法 【典型例题】中，是边上的中线，若，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：延长到，使，连接，如图，    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是() A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】B 【解析】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求． 【举一反三2】如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ） A.1 B.2 C.5 D.8 【答案】C 【解析】解：如图，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即：， ∴， 故选C． 【举一反三3】如图，在中，，中线，则AB边的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图，延长至，使， ∵是的中线， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即． 故选D． 【举一反三4】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是           . 【答案】 【解析】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 【题型17】全等三角形与垂线问题 【典型例题】如图，在中，，，垂足分别是D，E，AD，CE交于点H．已知，，则CH的长为（    ） A.1 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠ADB=90°， ∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴∠BAD=∠BCE， 在△BCE和△HAE中， ， ∴△BCE≌△HAE(AAS)， ∴CE=AE=6， ∴CH=CE-HE=6-4=2． 故选：B． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，．点，点．则点A坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：过C作直线轴，过B作于E，过A作于D， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴． 【举一反三2】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴, 又∵，， ∴，， ∴． 【举一反三3】如图，在中，，，点C在x轴上，交y轴于M，经测量发现，已知，点A的横坐标为，则点B的坐标为        ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点A作轴于D，过点B作轴于E， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，点A的横坐标为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，，，，且，则点的坐标是            ． 【答案】 【解析】解：过点C作轴于点D，如图所示， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 【题型18】与尺规作图相关的全等三角形问题 【典型例题】如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得的根据是(    )    A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 【答案】D 【解析】解：由题意可得， AD=BC，AB=CD， 在△ADC和△CBA中， ∴△ADC≌△CBA(SSS)． 【举一反三1】如图，已知；，线段，求作． 作法；(1)作线段； (2)在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 【举一反三2】如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由作图可知，在与中， 则． ∴，即， ∴． 【举一反三3】如图，在中，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交②中所画的弧于点G；④作射线．若，则的度数为(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，连接，， 在中，，， ， 由作法可知：，， ， ， ∴． 【举一反三4】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解∶由作图过程可得，， ∴， ∴． 即==． 学科网（北京）股份有限公司 $$