13.3 三角形的内角与外角 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 讲解目录 【知识点1】三角形内角和定理 1 【知识点2】直角三角形的性质 2 【知识点3】三角形的外角性质 4 【题型1】利用三角形内角和定理求角度 6 【题型2】与平行线有关的三角形内角和问题 6 【题型3】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 8 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 9 【题型5】三角形内角和定理的应用 11 【题型6】直角三角形的两个锐角互余 13 【题型7】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 14 【题型8】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 16 【题型9】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 17 知识巩固 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 即学即练 1．（2025春•茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（2025春•普陀区期末）已知△ABC是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：2 3．（2025春•金水区校级期末）若在△ABC中，∠B=2∠C，则称△ABC为“可爱三角形”，称∠A为“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或360° C．45°或72° D．36°，45°或72° 4．（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠C=60°，∠B=2∠A，则∠A=______°． 5．（2025春•宝山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B=25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O，且∠E=40°，则∠A=______． 6．（2025春•周至县月考）如图，点D为三角形ABC外一点，连接AD，BD，∠ABC+∠DAB=180°，AC平分∠DAB，∠CBD=3∠ABD，如果∠C=50°，那么∠CBD的度数为______°． 【知识点2】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． · 即学即练 1．（2025春•象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　） A．70° B．50° C．30° D．10° 2．（2025•南山区二模）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 3．（2025•雷州市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，若∠A=24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 4．（2024秋•杭州期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=65°，则∠A的度数是 ______． 5．（2025春•娄底期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=10°，则∠A=______． 6．（2024春•二七区校级期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ______． 【知识点3】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 即学即练 1．（2025•福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C=（　　） A．50° B．60° C．70° D．90° 2．（2025•南宫市模拟）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 3．（2025•前郭县模拟）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 4．（2025春•新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 5．（2025春•张店区期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠ACD=100°，则∠B= ______． 6．（2025春•裕华区校级期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 ______． 7．（2025春•鲤城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求∠BAC和∠E的度数． 题型专练 【题型1】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】已知在△ABC中，∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 【举一反三1】在一个三角形中，三个内角之比为1:2:6，则这个三角形形状是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【举一反三2】适合条件∠A＝∠B∠C的是△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【举一反三3】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC的形状是 　 　． 【举一反三4】在△ABC中，∠A＝110°，∠B＝20°，则∠C的度数为 　   　． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． 若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数. 【题型2】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A. B. C. D. 【举一反三2】如图，，，垂足为点E，，则的度数是（　　）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图，直线，，，则的度数为         ． 【举一反三4】如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为      ． 【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明DG∥BC； （2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数． 【题型3】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A.115° B.100° C.105° D.125° 【举一反三1】如图，平分，，垂足为点A，若，，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，，分别为边上的高线和的平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ADC＝110°，AD是△ABC的角平分线，则∠BAC的度数是 　      　． 【举一反三4】如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则             ，             ． 【举一反三5】如图，点在上，点在上，平分，交于点，平分，交于点，相交于点，相交于，若，则的度数为        ． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A. B. C. D. 【举一反三1】如图，已知中，，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A.20° B. C. D. 【举一反三2】如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A.或 B. C. D.或 【举一反三3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A.38 B.39 C.40 D.41 【举一反三4】如图，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的边所在直线垂直时，的度数是            ． 【举一反三5】如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，      ．    【举一反三6】如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于        ． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】如图是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4．若∠α=70°，则∠β的度数是（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【举一反三2】如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，他向东走300米至B处，测得灯塔P在北偏东方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，．若，则的度数是     ． 【举一反三4】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为     ． 【举一反三5】如图，一咱滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°， ∠B=∠D=40°.求∠C的度数. 【题型6】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（　　） A.45°　　　　　　 B.30°　　　　　　 C.90°　　　　　　 D.60° 【举一反三1】直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝36°，则∠2等于（　　） A.36° B.48° C.54° D.64° 【举一反三2】物理实验中，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态．如图，斜坡为Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝77°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，则∠EDF的度数为（　　） A.13° B.15° C.20° D.23° 【举一反三3】在直角三角形中，其中一个锐角度数为62°，则另一个锐角的度数为　　． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠B＝60°，则∠DAC的度数是 　    °． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°．求∠DAE的度数． 【举一反三6】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数． 【题型7】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A.95° B.85° C.75° D.65° 【举一反三1】是外角的平分线，，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，将平移后得到．若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三4】如图，的度数是        度． 【举一反三5】如图．，于N，，      ． 【举一反三6】如图，在中，，，，平分，则              ． 【题型8】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A.90° B.95° C.105° D.120° 【举一反三2】将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点，，，若，则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【举一反三3】如图是一副三角板拼成的图形，则的度数为      ． 【举一反三4】一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数是 　   　． 【举一反三5】将直角三角板如图所示放置，已知，，平分，，点为直线上的一个点且满足，则的度数为        . 【题型9】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图所示是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A，B和D在同一条直线上，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且保持不变，则应调整为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】某加工零件标出部分数据（如图），小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若∠A、∠B、∠BCD所标数据正确，则图中∠D所标数据应为 　    　°． 【举一反三5】右图①是某种青花瓷瓶，右图②是它抽象出来的简易轮廓图，已知，，，若，则     ． 【举一反三6】如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行， （1）当，时，         度； （2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时        度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 三角形的内角与外角 讲解目录 【知识点1】三角形内角和定理 1 【知识点2】直角三角形的性质 4 【知识点3】三角形的外角性质 7 【题型1】利用三角形内角和定理求角度 11 【题型2】与平行线有关的三角形内角和问题 13 【题型3】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 16 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 20 【题型5】三角形内角和定理的应用 26 【题型6】直角三角形的两个锐角互余 30 【题型7】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 33 【题型8】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 36 【题型9】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 40 知识巩固 【知识点1】三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． · 即学即练 1.（2025春•茂名期末）若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：2，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据各角度数间的关系，可求出最大内角的度数，由该值小于90°，可得出这个三角形是锐角三角形． 【解答】解：根据题意得：最大内角的度数为×180°=80°， ∵80°＜90°， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2.（2025春•普陀区期末）已知△ABC是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．1：2：2 【答案】B 【分析】根据各选项中三个内角的比，结合三角形内角和定理，可求出最大内角的度数，取最大内角是90°的选项即可． 【解答】解：A．∵三个内角的比为1：1：1，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°×=60°，选项A不符合题意； B．∵三个内角的比为1：2：3，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°×=90°，选项B符合题意； C．∵三个内角的比为2：3：4，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°×=80°，选项C不符合题意； D．∵三个内角的比为1：2：2，且三个内角的和是180°， ∴最大内角的度数为180°×=72°，选项D不符合题意． 故选：B． 3.（2025春•金水区校级期末）若在△ABC中，∠B=2∠C，则称△ABC为“可爱三角形”，称∠A为“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或360° C．45°或72° D．36°，45°或72° 【答案】C 【分析】分设三角形底角为α，顶角为2α，或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案． 【解答】解：△ABC是一个“可爱且等腰的三角形”， 设三角形三个角的度数为∠C=α，∠A=α，∠B=2α，则α+α+2α=180°， 解得：α=45°， 此时，∠A=45°，即可爱角是45°； 设三角形的底角为∠C=α，∠B=2α，∠A=2α，则2α+2α+α=180°， 解得：α=36°， 此时，∠A=2α=72°，即可爱角是72°， 故三角形的“可爱角”是45°或72°， 故选：C． 4.（2025春•金山区期末）在△ABC中，若∠C=60°，∠B=2∠A，则∠A=______°． 【答案】40． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C=60°，∠B=2∠A， ∴∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A+60°=180°， ∴∠A=（180°-60°）=40°． 故答案为：40． 5.（2025春•宝山区校级期末）如图，在△ABC中，∠B=25°，延长BC至E，过点E作AC的垂线ED，垂足为O，且∠E=40°，则∠A=______． 【答案】25°． 【分析】由三角形外角的性质得到∠AOE=∠E+∠A+∠B，即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵ED⊥AC， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOE=∠E+∠OCE，∠OCE=∠A+∠B， ∴∠AOE=∠E+∠A+∠B， ∵∠B=25°，∠E=40°， ∴∠A=∠AOE-∠E-∠B=90°-25°-40°=25°， 故答案为：25°． 6.（2025春•周至县月考）如图，点D为三角形ABC外一点，连接AD，BD，∠ABC+∠DAB=180°，AC平分∠DAB，∠CBD=3∠ABD，如果∠C=50°，那么∠CBD的度数为______°． 【答案】60． 【分析】根据∠ABC+∠DAB=180°，得到AD∥BC，进而得到∠DAC=∠C，角平分线求出∠DAB的度数，进而求出∠ABC的度数，再根据∠CBD=3∠ABD，进行求解即可． 【解答】解：由条件可知AD∥BC， ∴∠DAC=∠C=50°， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAB=2∠DAC=100°， ∴∠ABC=180°-100°=80°， ∵∠CBD=3∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠ABD=80°， ∴∠CBD=60°； 故答案为：60． 【知识点2】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． · 即学即练 1.（2025春•象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　） A．70° B．50° C．30° D．10° 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余，即可得到答案． 【解答】解：直角三角形的一个锐角是40°，另一个锐角是90°-40°=50°． 故选：B． 2.（2025•南山区二模）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得到∠3=∠1=50°，∠2=∠4，求出∠4=90°-∠3=40°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵∠3=∠1=50°， ∴∠4=90°-∠3=40°， ∴∠2=∠4=40°． 故选：C． 3.（2025•雷州市校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，若∠A=24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 【答案】D 【分析】由∠ACB=90°，∠A=24°得到∠B=66°，由高得到∠BDC=90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出∠BCD． 【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°-24°=66°， ∵CD是高， ∴CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， ∴∠BCD=90°-66°=24°， 故选：D． 4.（2024秋•杭州期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=65°，则∠A的度数是 ______． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，再代入∠B的度数可得∠A的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠B=65°， ∴∠A=25°， 故答案为：25°． 5.（2025春•娄底期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=10°，则∠A=______． 【答案】50°． 【分析】根据三角形的内角和等于180度，能够得出答案． 【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°，即∠B=90°-∠A， ∵∠A-∠B=10°， ∴∠A-（90°-∠A）=10°． ∴∠A=50°． 故答案为：50°． 6.（2024春•二七区校级期中）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ______． 【答案】90°或70°． 【分析】根据直角三角形的性质分两种情况求解即可． 【解答】解：当∠A为直角时，∠A=90°， 当∠C为直角时，∠A+∠B=90°， ∵∠A比∠B的3倍还多10°， ∴∠A=3∠B+10°， ∴3∠B+10°+∠B=90°， ∴∠B=20°， ∴∠A=70°， 故答案为：90°或70°． 【知识点3】三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． · 即学即练 1.（2025•福州模拟）在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是100°和150°，则∠C=（　　） A．50° B．60° C．70° D．90° 【答案】C 【分析】由平角的定义可得∠A=80°，∠B=30°，由三角形的内角和即可求∠C． 【解答】解：∵∠A，∠B的外角分别是100°，150°， ∴∠A=80°，∠B=30°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=70°． 故选：C． 2.（2025•南宫市模拟）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质计算即可作答． 【解答】解：∠α=30°+45°=75°， 故选：C． 3.（2025•前郭县模拟）如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：由图可得∠1=30°+45°=75°， 故选：C． 4.（2025春•新华区校级期中）如图，平面上直线a,b分别过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】D 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：如图，设直线a、b相交于点A， 由三角形外角的性质可得∠OAK=100°-70°=30°， 即a,b相交所成的锐角是30°， 故选：D． 5.（2025春•张店区期末）如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠ACD=100°，则∠B= ______． 【答案】55°． 【分析】由三角形的外角性质得到∠B=∠ACD-∠A=55°． 【解答】解：∵∠A=45°，∠ACD=100°， ∴∠B=∠ACD-∠A=55°． 故答案为：55°． 6.（2025春•裕华区校级期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 ______． 【答案】105°． 【分析】求出∠CBD=60°，由对顶角的性质得到∠ABE=∠CBD=60°，由三角形的外角性质即可求出∠α的度数． 【解答】解：∵∠CBD=90°-∠D=90°-30°=60°， ∴∠ABE=∠CBD=60°， ∴∠α=∠A+∠ABE=45°+60°=105°． 故答案为：105°． 7.（2025春•鲤城区校级期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求∠BAC和∠E的度数． 【答案】∠BAC=80°，∠E=20°． 【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC=80°，由角平分线定义得到∠DCE=60°，由三角形的外角性质求出∠E=∠DCE-∠B=20°． 【解答】解：∵∠B=40°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°， ∵CE是∠ACD的平分线， ∴∠DCE=∠ACD， ∵∠ACD=180°-∠ACB=120°， ∴∠DCE=60°， ∴∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20° 题型专练 【题型1】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】已知在△ABC中，∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 【答案】C 【解析】解：∠A+∠B+∠C＝180°，① 又∠A＝∠B﹣∠C，② 把②代入①，得2∠B＝180°， ∠B＝90°， 故该三角形是直角三角形． 【举一反三1】在一个三角形中，三个内角之比为1:2:6，则这个三角形形状是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】A 【解析】解：在一个三角形中，三个内角之比为1:2:6， 设较小的角为α，则另两个角为2α，6α， 根据三角形内角和定理得，α+2α+6α＝180°， 解得α＝20°， ∴6α＝120°， ∴这个三角形是钝角三角形． 【举一反三2】适合条件∠A＝∠B∠C的是△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】解：设∠A为k°，则∠B、∠C的度数分别为k°，2k°， ∵k°+k°+2k°＝180°，解得k°＝45°． ∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝2k°＝90°． ∴适合条件∠A＝∠B∠C的三角形是直角三角形． 故选：B． 【举一反三3】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC的形状是 　 　． 【答案】直角三角形． 【解析】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6， ∴设∠A＝α，∠B＝5α，∠C＝6α， ∴∠A+∠B+∠C＝α+5α+6α＝180°， ∴α＝15°，5α＝75°，6α＝90°， ∴∠A＝15°，∠B＝75°，∠C＝90°， 故△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【举一反三4】在△ABC中，∠A＝110°，∠B＝20°，则∠C的度数为 　   　． 【答案】50° 【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣110°﹣20°＝50°． 【举一反三5】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． 若∠A＝40°，∠ACB＝70°，求∠BFD的度数. 【答案】解：∵∠A＝40°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣（40°+70°）＝70°， ∵∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD， ∴∠ABE＝∠A＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠CDB＝180°﹣40°﹣70°＝70°. 【题型2】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，已知直线，平分，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 平分， ， 直线， ，， ， ， ． 【举一反三1】如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，，， ，， ． 【举一反三2】如图，，，垂足为点E，，则的度数是（　　）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三3】如图，直线，，，则的度数为         ． 【答案】 【解析】解：， ， ， ． 【举一反三4】如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为      ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC边上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2． （1）试说明DG∥BC； （2）若∠B＝34°，∠ACD＝46°，求∠3的度数． 【答案】解：（1）DG∥BC． 理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠CDF＝∠EFB＝90°， ∴CD∥EF． ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC. （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°． ∵∠B＝34°， ∴∠BCD＝90°﹣34°＝56°． ∵∠ACD＝46°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝46°+56°＝102°． ∵由（1）知DG∥BC， ∴∠3＝∠ACB＝102°． 【题型3】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（　　） A.115° B.100° C.105° D.125° 【答案】A 【解析】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A＝130°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣65°＝115°． 故选：A． 【举一反三1】如图，平分，，垂足为点A，若，，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 【举一反三2】如图，在中，，分别为边上的高线和的平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵分别为边上的高线和的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠ADC＝110°，AD是△ABC的角平分线，则∠BAC的度数是 　      　． 【答案】100°． 【解析】解：∵∠B+∠BAD＝∠ADC，∠B＝60°，∠ADC＝110°， ∴∠BAD＝50°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝50°， ∴∠BAC＝100°， 故答案为：100°． 【举一反三4】如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则             ，             ． 【答案】　 【解析】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴． 【举一反三5】如图，点在上，点在上，平分，交于点，平分，交于点，相交于点，相交于，若，则的度数为        ． 【答案】 【解析】解：如图，连接． ∵平分，交于，平分，交于点， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在位置，若，则（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由折叠性质可得，，， ∴，， ∵， ∴. 【举一反三1】如图，已知中，，，现将沿折叠，使点与点重合，则（  ） A.20° B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，， ∴， 由折叠得， ∴. 【举一反三2】如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A.或 B. C. D.或 【答案】A 【解析】当时，如图， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 综上所述，的度数是或． 【举一反三3】如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A.38 B.39 C.40 D.41 【答案】A 【解析】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 【举一反三4】如图，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的边所在直线垂直时，的度数是            ． 【答案】或或 【解析】当点在线段上且时，如图， 由折叠可知 ∴， 由折叠可知， ∵，∴； 当点在线段上且时，如图， 由折叠的性质可得， ∴； 当点在线段延长线上且时，如图所示， 同理可得； 当点在线段延长线上且时，如图所示， ∴， ∵，∴； ∴由折叠的性质可得； 综上所述，当与的边所在直线垂直时，的度数是或或． 【举一反三5】如图，在中，，是的中点，是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，当时，      ．    【答案】或 【解析】如图，当在上方，时，    ∴， 由翻折可知； 如图，当在下方，时，    ∴， ∴， 由翻折可知． 综上所述，. 【举一反三6】如图，在折纸活动中，王强做了一张纸片，点，分别是，上的点，将沿着折叠压平，与重合，且，若，则等于        ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， ∵沿着折叠压平，A与重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】如图是一个建筑工地的三角形支撑架，它的上部被一个长方形钢架遮挡，测量得，则被遮挡的的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴． 【举一反三1】如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4．若∠α=70°，则∠β的度数是（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】C 【解析】解：如图， 由题意得：∠5=180°-（∠1+∠2）=180°-2∠2，∠6=180°-（∠3+∠4）=180°-2∠3， ∵∠α=70°， ∴∠2+∠3=180°-∠α=110°， ∵∠β=180°-（∠5+∠6） ∴∠β=180°-（180°-2∠2+180°-2∠3） =2（∠2+∠3）-180° =2×110°-180° =220°-180° =40°． 故选：C． 【举一反三2】如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，他向东走300米至B处，测得灯塔P在北偏东方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，， ． 【举一反三3】如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子反射时，，．若，则的度数是     ． 【答案】 【解析】如图所示， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【举一反三4】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为     ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴. 【举一反三5】如图，一咱滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°， ∠B=∠D=40°.求∠C的度数. 【答案】解：∵四边形ABCD中，∠A=150°，∠B=∠D=40°， ∴∠BCD=360°-150°-40°-40°=130°． 【题型6】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A的度数是（　　） A.45°　　　　　　 B.30°　　　　　　 C.90°　　　　　　 D.60° 【答案】D 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝2∠B， ∴3∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝2∠B＝60°， 故选：D． 【举一反三1】直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1＝36°，则∠2等于（　　） A.36° B.48° C.54° D.64° 【答案】C 【解析】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1＝36°， ∴∠3＝90°﹣36°＝54°， 又∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝54°， 故选：C． 【举一反三2】物理实验中，小明研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态．如图，斜坡为Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝77°，小木块△DEF在斜坡AB上，且DE∥BC，则∠EDF的度数为（　　） A.13° B.15° C.20° D.23° 【答案】A 【解析】解：∵∠C＝90°，∠A＝77°， ∴∠B＝13°， ∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠B＝13°， 故选：A． 【举一反三3】在直角三角形中，其中一个锐角度数为62°，则另一个锐角的度数为　　． 【答案】28° 【解析】根据直角三角形的两锐角互余的性质可得， 另一个锐角的度数为90°﹣62°＝28°． 【举一反三4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠B＝60°，则∠DAC的度数是 　    °． 【答案】60． 【解析】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA＝50°．求∠DAE的度数． 【答案】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°， ∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴， ∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠CEA＝50°， ∴∠BAE＝50°﹣38°＝12°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝26°﹣12°＝14°． 【举一反三6】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数． 【答案】解：∵∠AFD＝152°， ∴∠DFC＝28°， ∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠DFC＝28°， ∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°． 【题型7】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　） A.95° B.85° C.75° D.65° 【答案】B 【解析】解：∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°， ∴∠ACD＝2∠ACE＝120°， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°， 故选：B． 【举一反三1】是外角的平分线，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 是外角的平分线，，， ， 是的外角， ， ， . 【举一反三2】如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 【举一反三3】如图，将平移后得到．若，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， ∴. 【举一反三4】如图，的度数是        度． 【答案】 【解析】解：线段交点为，交点为，如图所示. ∵，， ∴. 【举一反三5】如图．，于N，，      ． 【答案】28 【解析】解： ， ， ， ， ， . 【举一反三6】如图，在中，，，，平分，则              ． 【答案】 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 平分， ， ． 【题型8】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵直尺的两边平行， ∴， 根据三角形外角的性质可得， ∴． 【举一反三1】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A.90° B.95° C.105° D.120° 【答案】C 【解析】解：由图可得，∠2＝30°，∠3＝45°，∴∠4＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠4＝105°， 故选：C． 【举一反三2】将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点，，，若，则的度数为（   ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴，， ∴. 【举一反三3】如图是一副三角板拼成的图形，则的度数为      ． 【答案】 【解析】解：∵一副三角板拼成的图形， ∴， ∴， ∴， ∴. 【举一反三4】一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数是 　   　． 【答案】105°． 【解析】解：如图， 由题意得：∠ACB＝45°，∠B＝60°， ∵∠α是△BCD的外角， ∴∠α＝∠B+∠ACB＝105°． 故答案为：105°． 【举一反三5】将直角三角板如图所示放置，已知，，平分，，点为直线上的一个点且满足，则的度数为        . 【答案】或 【解析】解：∵平分， ， 若在点的右边，如图， ∵， ， . 若点在点的左边，如图， ， ， ， 故或. 【题型9】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图所示是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（挖去一小半圆），刀片上下是平行的，转动刀片时会形成，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：延长交于点E， 由题可知，，， ∴， ∵， ∴. 【举一反三1】如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A，B和D在同一条直线上，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由三角形外角性质可得. 【举一反三2】如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且保持不变，则应调整为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 【举一反三3】如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解： 如图，延长，交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三4】某加工零件标出部分数据（如图），小明说，这四个数据中有一个标错了，请你完善以下修改方案：若∠A、∠B、∠BCD所标数据正确，则图中∠D所标数据应为 　    　°． 【答案】25． 【解析】解：延长DC交AB于点E，如图， ∵∠BCD＝155°，∠B＝40°，∠BCD是△BCE的外角， ∴∠BEC＝∠BCD﹣∠B＝115°， ∵∠A＝90°，∠BCE是△ADE的外角， ∴∠D＝∠BCE﹣∠A＝25°． 故答案为：25． 【举一反三5】右图①是某种青花瓷瓶，右图②是它抽象出来的简易轮廓图，已知，，，若，则     ． 【答案】 【解析】解：延长交的延长线于点，延长交于点，如图： ，， ，， ∵，∴． 【举一反三6】如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台，延展臂（B在C的左侧），伸展主臂，支撑臂构成．在操作过程中，救援台，车身及地面三者始终保持平行， （1）当，时，         度； （2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，此时        度． 【答案】（1）120 （2）160 【解析】解：（1）如图2，延长，，相交于点K， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图3，延长，，相交于点P，则可得，延长交的延长线于点Q， ∵，，∴， ∵，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$