精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2023-2024学年 七年级下学期期中数学试卷

2023−2024学年度第二学期期中测试 初一试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 2. 计算a8÷a4的结果是（　　） A. a2 B. a4 C. a12 D. a32 3. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A. 4，5，9 B. 5，5，10 C. 8，8，15 D. 6，7，15 4. 下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. (2a+b) (2b-a) B. (-x-b) (x+b) C. (a-b) (b-a) D. (m+b)(- b+m) 5. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在中，当，时，这个三角形是直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 算式计算结果的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 如图，，，是五边形的3个外角，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义A、B分别满足某种运算：，（），规定A、B之差记为：，例如：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若用科学记数法可以记为，则_______． 10. 若，则_______． 11. 分解因式：_________． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 如图，∥，则 ____________度. 14. 若是完全平方式，则_____________________ ． 15. 比较大小：_____ 16. 若，，则的值为_________________． 17. 如图，D，E分别是的边上的点，，，连接交于点F，若的面积为18，则__________． 18. 如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为_______． 三、解答题（本大题10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 23. 如图所示，已知，，，求证：． 24. 如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． （1）在方格纸中画出平移后的； （2）画出的角平分线，边上的中线； （3） 25. 若 的积中不含x项与项． （1）求p、q的值； （2）求代数式的值． 26. 对于任何数，我们规定：＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． （1）按照这个规定，请你化简； （2）按照这个规定，请你计算：当时，求的值． 27. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 28. 如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． （1）求的值： （2）如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： （3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024学年度第二学期期中测试 初一试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手．同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据同位角的定义解答即可． 【详解】解：与是同位角， 故选：D 2. 计算a8÷a4的结果是（　　） A. a2 B. a4 C. a12 D. a32 【答案】B 【解析】 【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可． 【详解】解：a8÷a4＝a8﹣4＝a4． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底幂的除法运算法则是解题关键． 3. 下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（ ） A. 4，5，9 B. 5，5，10 C. 8，8，15 D. 6，7，15 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，依次判断三条线段能否组成三角形即可． 【详解】解：A. 4，5，9，因为，所以不能构成三角形，故A不符合题意； B. 5，5，10，因为，所以不能构成三角形，故B不符合题意； C. 8，8，15，因为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以能构成三角形，故C符合题意； D. 6，7，15，因为，所以不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握是三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4. 下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. (2a+b) (2b-a) B. (-x-b) (x+b) C. (a-b) (b-a) D. (m+b)(- b+m) 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式特征判断即可． 【详解】解：A、(2a+b) (2b-a)= -(2a+b) (a-2b)，不能用平方差公式运算，不满足题意； B、(-x-b) (x+b)= -(x+b) (x+b)，不能用平方差公式运算，不满足题意； C、(a-b) (b-a)= -(a-b) (a-b)，不能用平方差公式运算，不满足题意； D、(m+b)(- b+m)= (m+b)(m- b)，能用平方差公式运算，满足题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 5. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点． ②任意三角形的外角和都是． ③三角形的一个外角大于任何一个内角． ④在中，当，时，这个三角形是直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高线． 根据三角形高线的性质可判断①，根据三角形外角的性质可判断②③，结合三角形内角和定理可判断④，进而可求解． 【详解】解：①锐角三角形的三条高都在三角形内，且都交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，故①的说法错误； ②任意三角形的外角和都是，故②的说法正确； ③三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故③的说法错误； ④设为，则，，由得，故，为直角三角形，故④的说法正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选：B． 6. 算式计算结果的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式． 通过平方差公式将原式化简为，再分析2的幂次个位数的循环规律求解． 【详解】解： ， ∵，，，，，…… ∴的个位数字周期为4，以2，4，8，6为一周期， ∵余0，对应周期末位， ∴的个位数字为6． 故选：B． 7. 如图，，，是五边形的3个外角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据五边形的内角和为，得出，再根据内角和外角的数量关系，计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵五边形，， ∴， 又∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解本题的关键在熟练掌握多边形内角和的公式． 8. 定义A、B分别满足某种运算：，（），规定A、B之差记为：，例如：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义的有理数运算． 根据题意，先求出的表达式，将其转化为分式形式并进行拆分，进而计算即可． 【详解】解：∵由定义可知，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若用科学记数法可以记为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】用科学记数法可以记为， ∴． 故答案为：． 10. 若，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：6． 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法，提出公因式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 如图，∥，则 ____________度. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质和两直线平行的性质求出即可. 【详解】解：如图： ∵∠BGH、∠CHG分别是△ABG、△CDH的外角, ∴∠A+∠B=∠BGH, ∠C+∠D=∠CHG, ∵BE∥CF, ∴∠BGH+∠CHG=180 ∴∠A+∠B+∠C+∠D=180 故答案为：180. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和两直线平行的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力. 14. 若是完全平方式，则_____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 15. 比较大小：_____ 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据两数的特点，先把他们变成底数分别是8和9，指数为4的形式，然后再比较大小． 【详解】，； ∵8＜9，∴，∴＜． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了比较乘方的大小．解答本题的关键是把它们转化为指数相同的乘方的形式． 16. 若，，则的值为_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 根据完全平方公式，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故答案为：6． 17. 如图，D，E分别是的边上的点，，，连接交于点F，若的面积为18，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由的面积为18，根据三角形的面积公式和等积代换即可求得． 【详解】解：， ， ，，， ， 即①， 同理：，， ，， ， 即②， 得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换． 18. 如图，D是内一点，连接、、，P是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，和的外角平分线相交于点Q，若，，则的度数为_______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，同底数幂的乘除，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减； （2）首先计算幂的乘方，同底数幂的乘除，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，在中，CD是的角平分线，点E在AC上，，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ， 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算的化简求值， 先根据整式的乘法公式和单项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项，然后把x的值代入进行计算即可解答． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 若（都是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把32写成，再根据同底数幂相乘法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可； （2）先把各个底数化成2，再根据幂的乘方和同底数幂乘除法则进行计算，从而列出关于x的方程，解方程即可． 本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方和同底数幂乘除法则． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 23. 如图所示，已知，，，求证：． 【答案】 证明：如图． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，2两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】略 24. 如图所示的方格纸中有一个，将经过一次平移后得到，图中已经标出了点C的对应点． （1）在方格纸中画出平移后的； （2）画出的角平分线，边上的中线； （3） 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 如图所示，角平分线，中线即为所求； （3）8 【解析】 【分析】（1）根据点平移后的对应点是，得到平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位，按照平移规则作图即可． （2）在上取格点，连接，即为的角平分线；取的中点，连接，即为边上的中线； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：∵点平移后的对应点是， ∴平移规则为：向右平移4个单位，再向下平移1个单位； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题考查了平移作图，作角平分线和中线，割补法求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 若 的积中不含x项与项． （1）求p、q的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值的问题，注意计算的准确性即可. （1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【小问1详解】 解： ∵的积中不含x项与项 ∴， 解得： 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 26. 对于任何数，我们规定：＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2． （1）按照这个规定，请你化简； （2）按照这个规定，请你计算：当时，求的值． 【答案】（1）-36 （2）-4 【解析】 【分析】（1）根据所给例题列出算式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据所给例题列出代数式，然后根据整式的乘法进行计算化简，再代入求值即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：＝﹣5×4﹣2×8＝﹣36； 【小问2详解】 解：由题意得： ＝（a+2）（a﹣3）﹣3（a﹣1） ＝﹣3a+2a﹣6﹣3a+3＝﹣4a﹣3， ∵﹣4a+1＝0， ∴﹣4a＝﹣1， ∴原式＝﹣1﹣3＝﹣4． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的乘法运算，理解新定义是解题的关键． 27. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键． 28. 如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． （1）求的值： （2）如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： （3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据，可得，即可求解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，由，求得，进而求解即可； （3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，从而可得，再结合题意可得，即可得出关于n的方程，进而求解即可． 【小问1详解】 解：过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点M作，过点N作， ∵平分，平分， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，设直线与交于点H，与交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，在内，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $