专题4.5 解三角形（六类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题4.5 解三角形 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 13 【课程标准】 13 【考情分析】 13 【2026考向预测】 14 三、知识点•逐点夯实 14 知识点1、基本定理公式 14 知识点2、相关应用 14 四、重点难点•分类突破 15 考点1 利用正弦、余弦定理解三角形 15 考点2 判断三角形的形状 17 考点3 与三角形面积有关的问题 19 考点4 与三角形有关的证明问题 23 考点5 平面图形中的计算问题 27 考点6 三角形的中线、角平分线、高及垂直平分线问题 33 五、必考题型•分层训练 40 A、基础保分 40 B、综合提升 43 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 6．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 7．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 10．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年北京卷，第16题,13分 正弦定理解三角形、 余弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用、 一般 2025年新Ⅱ卷，第5题,5分 余弦定理解三角形 简单 2024年新I卷，第15题,13分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第15题,13分 正弦定理解三角形 正弦定理边角互化的应用 一般 2023年新I卷，第17题,10分 正弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 简单 2023年新Ⅱ卷，第17题,10分 三角形面积公式及其应用 余弦定理解三角形 简单 2022年新I卷，第18题,12分 正弦定理边角互化的应用 简单 2022年新Ⅱ卷，第18题,12分 正弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 余弦定理解三角形 一般 【2026考向预测】 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 三、知识点•逐点夯实 知识点1：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 四、重点难点•分类突破 考点1 利用正弦、余弦定理解三角形 例1、（2025·江西·模拟预测）已知中，，则（   ） A． B．3 C． D． 例2、（2025·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】、（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ． 【变式训练2】、（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 考点2 判断三角形的形状 例3、（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例4、（2023·北京海淀·模拟预测）在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【变式训练3】、（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式训练4】、若的三个内角，，满足，则是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 考点3 与三角形面积有关的问题 例5、（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 例6、（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【变式训练5】、（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【变式训练6】、（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 考点4 与三角形有关的证明问题 例7、（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 例8、（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【变式训练7】、（2022·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【变式训练8】、如图，在中，为上一点，，是线段的延长线上一点，． （1）证明：； （2）已知，，求． 考点5 平面图形中的计算问题 例9、（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 例10、（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【变式训练9】、（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【变式训练10】、（23-24高一下·湖北·阶段练习）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 考点6 三角形中的中线、角平分线、高及垂直平分线问题 例11、（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 例12、（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.    (1)若，求和； (2)若，证明：. 【变式训练11】、（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【变式训练12】、（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 五、必考题型•分层训练 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则 A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是斜三角形 D．一定是直角三角形 5．（2025·湖北黄冈·三模）在三角形ABC中，，设，，则 . 6．（2025·广东广州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ． 7．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 8．（2024·广东·模拟预测）记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围． 9．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 解三角形 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 13 【课程标准】 13 【考情分析】 13 【2026考向预测】 14 三、知识点•逐点夯实 14 知识点1、基本定理公式 14 知识点2、相关应用 14 四、重点难点•分类突破 15 考点1 利用正弦、余弦定理解三角形 15 考点2 判断三角形的形状 17 考点3 与三角形面积有关的问题 19 考点4 与三角形有关的证明问题 23 考点5 平面图形中的计算问题 27 考点6 三角形的中线、角平分线、高及垂直平分线问题 33 五、必考题型•分层训练 40 A、基础保分 40 B、综合提升 43 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 7．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 10．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． （3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年北京卷，第16题,13分 正弦定理解三角形、 余弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用、 一般 2025年新Ⅱ卷，第5题,5分 余弦定理解三角形 简单 2024年新I卷，第15题,13分 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 一般 2024年新Ⅱ卷，第15题,13分 正弦定理解三角形 正弦定理边角互化的应用 一般 2023年新I卷，第17题,10分 正弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 简单 2023年新Ⅱ卷，第17题,10分 三角形面积公式及其应用 余弦定理解三角形 简单 2022年新I卷，第18题,12分 正弦定理边角互化的应用 简单 2022年新Ⅱ卷，第18题,12分 正弦定理解三角形 三角形面积公式及其应用 余弦定理解三角形 一般 【2026考向预测】 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主． 三、知识点•逐点夯实 知识点1：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 知识点2：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． 四、重点难点•分类突破 考点1 利用正弦、余弦定理解三角形 例1、（2025·江西·模拟预测）已知中，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求解的值即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 解得． 故选：A． 例2、（2025·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围， 【详解】因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． 在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 故选：A 【变式训练1】、（2025·天津河北·模拟预测）已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】应用余弦定理求余弦值即可. 【详解】由题设. 故答案为： 【变式训练2】、（2025·福建厦门·三模）锐角中，角所对应的边分别为，满足，，则的周长的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由题意得，结合正弦定理得，根据是锐角三角形求出的取值范围，通过换元法即可求解. 【详解】因为，，所以，故， 所以， 即， 因为，所以，， 所以，故或（舍），即， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 令，     则， 所以的周长的取值范围为. 故答案为：. 考点2 判断三角形的形状 例3、（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 例4、（2023·北京海淀·模拟预测）在中，若，则一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理化简计算即可. 【详解】由及余弦定理得：，即. 故选：D 【变式训练3】、（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状． 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 【变式训练4】、若的三个内角，，满足，则是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用余弦定理可求得，从而得到三角形为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得：，则， 由余弦定理可知： 又     为钝角三角形 本题正确选项： 【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状. 考点3 与三角形面积有关的问题 例5、（2025·安徽·模拟预测）在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、已知数量积求模、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. （2）因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 例6、（2024·重庆·模拟预测）已知的内角 所对应的边分别为，若. (1)求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）根据条件，得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）由（1）结果，利用基本不等式，得到，再利用面积公式，即可求解. 【详解】（1），得到， 由余弦定理知，， 因为，所以． （2），得到，当且仅当取等， 所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为． 【变式训练5】、（24-25高三上·湖北武汉·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解； （2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    【变式训练6】、（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知的三个内角的对边分别为，． (1)求a； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理得，结合三角形内角和的性质，即可求解； （2）由（1）得到，作为边上的高，设，根据题意，求得，得到的面积为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 因为，可得，所以. （2）由（1）知，即， 如图所示，为边上的高，不妨设为锐角， 设， 当为锐角时，则，故， 当为钝角时，则，故， 因为，所以，整理得， 所以的面积为， 因为，可得， 当时，取得最大值，最大值为，且， 所以的面积的取值范围为. 考点4 与三角形有关的证明问题 例7、（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 例8、（2024·广东·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、证明三角形中的恒等式或不等式、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【详解】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）由题设，即，得， 由，而，故. 【变式训练7】、（2022·湖北·模拟预测）已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】求三角形面积的最值或范围、证明三角形中的恒等式或不等式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）设，利用余弦定理求得，，再根据，化简，可求得，同理可求得，即可得证； （2）利用余弦定理求得，，再根据结合（1）求得，设，可求得，再根据三角形的面积公式结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）证明：设， 由余弦定理知：，， 由是外心知， 而， 所以， 即， 而，因此， 同理可知， 因此， 所以； （2）解：由（1）知， 由余弦定理知：，， 代入得， 设，则， 因此， 当且仅当时取到等号， 因此的最大值为. 【变式训练8】、如图，在中，为上一点，，是线段的延长线上一点，． （1）证明：； （2）已知，，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【难度】0.65 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、证明三角形中的恒等式或不等式 【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理得，再由得与面积的关系，即可得与的关系，即可得证； （2）先由余弦定理求出的余弦值，即可求出的余弦值，再利用余弦定理即可求出． 【详解】解：（1）在中，由正弦定理知，， ∵， ∴． ∵，∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，∴， ∵， ∴由（1）知，． 在中，由余弦定理知，， ∴， ∴， ． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由得到与面积的关系，即可得与的关系． 考点5 平面图形中的计算问题 例9、（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，． (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）由余弦定理结合的取值范围可得出角的值，结合及正弦定理可求得的值，然后利用正弦定理可求得、的长，即可得出的周长； （2）根据已知条件分析可知四边形为等腰梯形，，即可得出梯形的面积. 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 例10、（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且    (1)求BO的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解. 【详解】（1）设，，所以，， 在中，， 在中，， 因为，解得，所以BO的长为； （2）由（1）知，设,，， 在中，， 在中，， 所以， 若，则与全等，所以， 所以，所以， 不成立，所以 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的值为. 【变式训练9】、（2023·江苏扬州·模拟预测）如图，四边形中，已知，． (1)若的面积为，求的周长； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，从而求出，即可得解； （2）设，表示，再分别在、利用正弦定理得到，再由三角恒等变换公式计算可得. 【详解】（1）在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； （2）设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 【变式训练10】、（23-24高一下·湖北·阶段练习）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作. (1)当时，称为调和点列，若，求的值； (2)①证明：； ②已知，点为线段的中点，，，求，. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②， 【难度】0.4 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）设，，结合可整理得到，由此可得的值； （2）①根据，，，，结合三角形面积公式和角之间的等量关系可整理得到结论； ②根据可整理得到，由和可构造方程组求得结果. 【详解】（1）由知：两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：，， ，即. （2）①在中， ， ， 则 在中， ， ， 则， 又， ， 即； ②，，即， 又点为线段的中点，即，则， 又，则，， 设，，且， 由可知：， 即，整理可得：； 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得，， 且， 则，即， 由得：或（舍），即，. 考点6 三角形中的中线、角平分线、高及垂直平分线问题 例11、（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【答案】(1) (2)； 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以， 所以，， ， 在中，由正弦定理可得 ； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 例12、（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.    (1)若，求和； (2)若，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理及几何关系得出，进而得出是等边三角形及边长，进而可求解. （2）在与中，利用余弦定理列出方程组，化简即可证明. 【详解】（1）由，，可得. 因为，所以在中，由正弦定理可得，即， 则或60°，又因为，故. 因此，又因为，所以是等边三角形， 所以， 又在中，，，故， 所以. （2）证明：令，，，. 因为，则. 在与中，由余弦定理可得 消去，得，整理得， 所以，即. 【变式训练11】、（2025·四川成都·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，点为的垂心，，设， （i），求的面积； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及两角和正弦公式，求得，得到，即可求解； （2）①当，得到等边三角形，进而求得其面积； ②由，求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得， 代入上式，可得， 因为，可得，所以， 又因为，所以． （2）①若，则即是高线又是角平分线，且， 所以等边三角形， 如图：延长交于. 因为为的垂心，所以也是的外心和重心. 因为，可得，，所以，所以. 所以的面积为. ②如图：延长交于，连接并延长交于. 因为为垂心，所以，. 又因为，所以，. 因为，且，则，， 又因为，， 则， 因为，可得， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以取得最大值. 所以的取值范围为. 【变式训练12】、（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用正弦定理边化角即可得证； （2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 五、必考题型•分层训练 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）在中，是边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】设，在中，由余弦定理求出，利用平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】设，则，， 在中，由余弦定理得， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即. 故选：A. 2．（2025·江西景德镇·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得. 故选：C 3．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状 【详解】由，得， 所以由余弦定理得， 因为， 所以， 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以， 所以, 所以为等腰直角三角形， 故选：A 4．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则 A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是斜三角形 D．一定是直角三角形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到，确定出C为直角，即可得到三角形为直角三角形. 【详解】已知，利用正弦定理化简得： ， 整理得：， ， ，即. 则为直角三角形. 故选：D. 5．（2025·湖北黄冈·三模）在三角形ABC中，，设，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】利用三角形面积公式及面积比即可求解. 【详解】记 ，则， 因为，所以，所以 故答案为： 6．（2025·广东广州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理整理等式，解得与的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式，可得答案. 【详解】由，根据余弦定理，则，解得， 同理，由，则， 通分可得， 由，则， 化简可得，易知，则， 所以的面积. 故答案为：. 7．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由已知，利用余弦定理求出角，由正弦定理求外接圆的半径，求出圆心角，再由三角形面积公式求出的面积； （2）方法一：利用正弦定理表示出，由三角恒等变换，结合三角形内角和定理整理，讨论角的范围，进而求出周长的取值范围； 方法二：把条件整理成含与的式子，利用基本不等式求出的最大值，根据两边之和大于第三边，得的取值范围，进而得周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，由余弦定理得， 又，所以， 又为的外心， 则由正弦定理得，所以， 又， 所以. （2）方法一： 由（1）及正弦定理得， 则，， 记的周长为，则. 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. 8．（2024·广东·模拟预测）记中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)记的外接圆半径为，内切圆半径为r，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用辅助角公式整理得到结合角的范围即可求解； （2）根据正弦定理确定的外接圆半径为，根据等面积确定内切圆半径为，从而可得的不等式，进而可求其取值范围． 【详解】（1）， ，则， ， ，解得， ； （2）根据正弦定理得：， 设的内心为，易知， 由，则， 由余弦定理得：， 即，当且仅当时取等号， ， ， ， ． 9．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案； （2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$