4.2 整式的加法与减法教学设计 --2025—2026学年人教版数学七年级上册
2025-07-11
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普通
摘要：
本文围绕“整式的加法与减法”展开，重点讲解合并同类项与去括号法则。承接整式概念等知识背景，为后续整式运算奠基。通过实际问题导入、探究等环节，培养学生抽象、运算、推理等核心素养，让学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。
该设计亮点在于类比数的运算，采用问题情境、师生互动等教法。从学生层面提升运算与逻辑能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破教学难点。
内容正文：
4.2 整式的加法与减法
教材分析
本节课“合并同类项”是在学生已经掌握了整式的概念、代数式的书写及运算律的基础上进行的，主要围绕如何对整式中的同类项进行识别与合并，通过类比数的运算引入整式的加减操作。教材从实际问题出发，引导学生理解合并同类项的必要性，并借助分配律完成合并过程，进而归纳出同类项的概念和合并规则。教学过程将通过问题情境导入，引导学生观察、类比、归纳，逐步掌握合并同类项的方法。本节内容与后续整式的加减、整式的化简及方程求解等内容紧密相关，是整式运算的核心基础。本节课的学习有助于提升学生的符号意识、运算能力和逻辑推理能力，为后续学习整式加减、一元一次方程等内容奠定坚实基础。
学情分析
七年级学生已经掌握了有理数的运算、代数式的概念以及整式的加减法初步知识，具备了一定的数与式的基本运算能力，同时，这个年龄段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，能够通过类比、归纳等方式理解数学概念，但面对抽象的代数运算和逻辑推理时仍需直观支撑，本节课通过类比数的运算引入整式加减中的合并同类项，帮助学生理解“所含字母相同且指数相同”的同类项概念，并通过去括号和合并同类项进行整式化简，这对学生的符号意识、运算能力和逻辑推理能力提出了进一步要求，通过本节课的学习，学生将掌握整式加减的基本方法，提升代数运算能力，并为后续学习整式的乘除、因式分解及方程求解等内容奠定基础。
教学目标
理解同类项的概念，能识别并合并同类项，通过类比数的运算提升数学抽象与运算能力，发展符号意识和逻辑推理能力。
掌握合并同类项的法则，理解其几何与代数意义，提升代数运算能力和数学建模意识，增强对整式结构的理解与表达能力。
理解除去括号的原理与方法，能够正确进行整式加减运算，培养逻辑推理与运算技能，提升数学问题解决的条理性与规范性。
通过整式加减运算法则的归纳，发展归纳思维与抽象能力，增强数学语言表达与逻辑思维能力，体会数学知识间的联系与系统性。
重点难点
重点：
理解同类项概念，掌握合并同类项与去括号法则，能进行整式加减运算。
难点：
准确识别同类项，正确运用去括号法则进行整式化简与运算。
课堂导入
同学们，我们先来看一个生活场景。小明去文具店买文具，一支铅笔元，他买了 5 支，一个笔记本元，买了 3 个，那小明一共花了多少钱呢？可以列出式子 。现在小红也来买文具，她买了 2 支铅笔和 4 个笔记本，那两人一共花多少钱？式子就是 。这里与 ，与好像有某种联系，就如同我们今天要学的知识——合并同类项一样，那到底什么是同类项，又该如何合并呢？带着这些疑问，让我们一同开启今天的数学之旅。
合并同类项
探究新知
（一）知识精讲
让我们从实际问题出发理解合并同类项的概念。观察港珠澳大桥的汽车行驶问题，汽车通过海底隧道需要小时，从香港口岸到东人工岛需要小时。那么总路程可以表示为。这里我们可以运用分配律进行计算：。这个过程中，我们发现和都含有相同的字母，且的指数都是1。
再看几个例子：
观察这些例子可以发现，能够合并的项都具有相同的特点：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同。这样的项我们称之为同类项。几个常数项也是同类项。合并同类项时，我们只需要将系数相加减，字母部分保持不变。
为了更好地理解合并同类项的过程，我们来看一个更复杂的例子：
首先运用交换律和结合律将同类项放在一起：
然后运用分配律进行合并：
（二）师生互动
教师提问：同学们，在刚才的例子中，为什么和是同类项，而和不是同类项呢？
学生回答：因为和都含有相同的字母和，且的指数都是1，的指数都是2。而中的指数是2，的指数是1，与的字母指数不同。
教师追问：非常好！那么如果有一个多项式，其中哪些项可以合并呢？
学生思考后回答：这个多项式中没有同类项，因为每一项的字母部分都不完全相同，、和的字母指数各不相同。
（三）设计意图
通过实际问题的引入，帮助学生理解合并同类项的概念和运算方法。从具体到抽象，让学生经历观察、比较、归纳的思维过程，培养他们的数学思维能力。通过师生互动，引导学生深入理解同类项的本质特征，掌握合并同类项的基本方法。这种教学设计注重培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力，同时让学生体会数学运算的简洁美和实用价值。
新知应用
例1题目：
合并下列各式的同类项：
(1) ;
(2) .
解答：
(1)
我们观察到两个项： 和 ，它们都是含有相同字母 和 的项，并且每个字母的指数也相同（ 的指数是1， 的指数是2），所以它们是同类项。
我们可以将它们合并为一项，方法是将它们的系数相加：
(2)
我们先观察每一项：
和 是同类项；
和 是同类项；
没有其他同类项，保持不变。
我们将同类项分别合并：
所以原式变为：
总结：
1. 题目考查内容
① 同类项的识别与合并；
② 利用分配律进行整式的加减运算。
2. 题目求解要点
① 判断哪些项是同类项（字母相同，且每个字母的指数也相同）；
② 合并同类项时，只对系数进行加减，字母及其指数保持不变。
例2题目：
(1) 求多项式 的值，其中 ；
(2) 求多项式 的值，其中 。
解答：
(1)
我们先合并多项式中的同类项：
常数项：
所以原式化简为：
代入 ：
(2)
我们同样先合并同类项：
剩下的只有
所以原式化简为：
代入 ：
总结：
1. 题目考查内容
① 多项式化简与合并同类项；
② 代入求值。
2. 题目求解要点
① 先合并同类项，简化表达式，再代入数值计算；
② 注意符号的处理，尤其是负号和分数的运算。
例3题目：
(1) 水库水位第一天连续下降了 小时，平均每小时下降 2 cm；第二天连续上升了 小时，平均每小时上升 0.5 cm。这两天水位总的变化情况如何？
(2) 某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 kg。上午售出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋。进货后这个商店有大米多少千克？
解答：
(1)
我们设定：
第一天水位变化量为： cm（下降记为负）；
第二天水位变化量为： cm（上升记为正）。
两天水位总变化为：
说明水位总体下降了 cm。
(2)
我们设定：
原有大米： kg；
上午售出： kg；
下午购进： kg。
进货后大米总量为：
总结：
1. 题目考查内容
① 实际问题中整式的加减应用；
② 正负数在实际情境中的意义。
2. 题目求解要点
① 将实际问题转化为数学表达式（如水位变化、商品数量变化）；
② 利用整式的加减法则进行计算，注意正负号的处理。
新知巩固
题目：
第1题：下列说法错误的是（ ）
A．与是同类项
B．是多项式
C．是四次四项式
D．与的差为0
解答：
我们逐项分析选项：
A．与是同类项
分析：两个单项式是否为同类项，要看它们所含字母是否相同，且每个字母的指数是否一致。
和 的字母都是 和 ，且 的指数都是3， 的指数都是4，顺序不影响，因此是同类项。
✅ 正确。
B．是多项式
分析： 可以写成 ，这是两个一次项的和，属于多项式。
✅ 正确。
C．是四次四项式
分析：
项数：共四项（、、、5）
次数：每一项中字母的总次数：
：次数为3
：次数为1+1=2
：次数为1+2+1=4
常数项5：次数为0
最高次数为4，因此这是一个四次四项式。
✅ 正确。
D．与的差为0
分析：
计算差值：
显然不等于0，除非 。
❌ 错误。
所以答案是 D。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查了以下知识点：
同类项的判断标准
多项式的定义
多项式的次数与项数判断
整式的加减运算
2. 题目求解要点
判断同类项时，关注字母种类和对应指数是否完全一致；
分式形式的表达式可化简后判断是否为多项式；
多项式的次数是所有项中次数最高的项的次数；
整式的差要逐项相减，注意符号变化。
3. 同类型题目解题步骤
理解每个选项的数学含义；
对涉及同类项的判断，比较字母及其指数；
对多项式相关判断，先化简再分析项数和次数；
对整式运算，注意符号处理，避免漏项或错号；
最终逐项判断正误，找出错误选项。
题目：
第2题：下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
我们逐项分析：
A．
分析： 和 是不同字母的项，不能合并为 。
❌ 错误。
B．
分析：幂的乘方法则是底数不变，指数相乘：
❌ 错误。
C．
分析：平方差公式应为：
而不是 （那是 ）。
❌ 错误。
D．
分析：
✅ 正确。
所以答案是 D。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查了以下知识点：
合并同类项的基本规则
幂的运算法则
完全平方公式的正确展开
单项式乘法的运算
2. 题目求解要点
不同字母的项不能合并；
幂的乘方要指数相乘；
完全平方公式必须完整写出三项；
单项式乘法要分别相乘系数和字母部分。
3. 同类型题目解题步骤
明确每一步运算的数学规则；
对于代数运算，逐项分析是否可以合并或如何展开；
使用公式时要准确记忆并应用；
计算过程中注意符号和指数的变化；
最终验证每一步是否符合运算法则。
去括号
新知应用
例1题目：
化简下列整式：
(1)
(2)
解答：
(1) 我们先来看第一个代数式：
这个式子中含有括号，我们需要去括号。根据分配律，括号前的系数要分别乘以括号内的每一项。
所以：
接下来将结果代入原式：
然后合并同类项（即含有的项）：
所以第一题的化简结果是：
(2) 再来看第二个代数式：
同样地，我们先去括号。注意括号前是减号，相当于乘以，所以括号里的每一项都要变号：
代入原式：
合并同类项：
所以第二题的化简结果是：
总结：
1.题目考查内容
① 整式的加减运算；
② 去括号法则的应用；
③ 合并同类项的基本技能。
2.题目求解要点
① 理解括号前的系数或符号对括号内各项的影响，尤其是负号会导致括号内每一项都变号；
② 正确使用分配律进行去括号操作；
③ 去括号后要合并同类项，确保结果最简；
④ 注意运算过程中小数的处理，避免计算错误。
新知巩固
整式加减的运算法则
新知应用
例6题目：
计算：
(1) ；
(2)
解答：
(1)
我们先去掉括号，注意括号前是加号，直接去掉括号即可：
接下来合并同类项：
所以结果为：
(2)
我们先去掉括号，注意括号前是减号，括号内的每一项都要变号：
接下来合并同类项：
所以结果为：
总结：
1.题目考查内容
① 整式加减的基本运算；
② 去括号法则（尤其是括号前为负号的情况）；
③ 合并同类项。
2.题目求解要点
① 若有括号，先根据括号前的符号判断是否变号；
② 去括号后，按字母和次数对齐同类项进行合并；
③ 注意符号变化，尤其是减号后面的括号要全部变号。
例7题目：
做大、小两个长方体纸盒，尺寸如下图所示：
(1) 做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
(2) 做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
已知：
小纸盒的表面积是 cm²，
大纸盒的表面积是 cm²。
解答：
(1)
将两个纸盒的表面积相加：
去括号后合并同类项：
所以共用纸面积为：
(2)
用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积：
去括号并注意变号：
所以多用纸面积为：
总结：
1.题目考查内容
① 整式的加减法在实际问题中的应用；
② 表面积的代数表达与运算；
③ 合并同类项与去括号法则。
2.题目求解要点
① 理解题意，将实际问题转化为整式加减问题；
② 正确使用去括号法则，尤其是减法时括号内各项要变号；
③ 按照字母和次数分类合并同类项，避免遗漏或错误。
例8题目：
求
的值，其中 ，。
解答：
首先进行整式的化简：
第一步，去括号：
第二步，合并同类项：
对于 项：
对于 项：
所以化简后的表达式为：
代入 ，：
总结：
1.题目考查内容
① 整式的加减运算；
② 去括号与合并同类项；
③ 代数式的求值。
2.题目求解要点
① 先化简代数式，再去代入数值计算；
② 注意括号前的系数，尤其是负号和乘法分配律的应用；
③ 合并同类项时要准确识别变量及其次数；
④ 代入数值时注意分数的平方运算。
新知巩固
题目：
下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
我们逐项分析：
A项： ，而不是 。
同类项相加是系数相加，字母和指数不变，因此 A 错误。
B项： 是两个不同次幂的项，不能合并，因此 B 错误。
C项： ，这是幂的乘方法则，正确。
D项： ，不是 ，因此 D 错误。
综上所述，只有 C 正确。
答案：C
总结：
1. 题目考查内容
本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘等基本运算法则。
2. 题目求解要点
合并同类项时，仅对系数进行加减，字母和指数保持不变；
幂的乘方：；
同底数幂相乘：；
不同次幂的项不能合并。
3. 同类型题目解题步骤
识别每个选项中涉及的运算类型；
应用对应的整式运算法则逐一判断；
排除错误选项，选出唯一正确的结果。
题目：
对于任意实数 ，定义 ，则对于实数 ， 的化简结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
根据定义：
将 ， 代入：
分别展开括号：
合并同类项：
答案：D
总结：
1. 题目考查内容
本题考查新定义运算的理解与应用，以及整式的加减运算。
2. 题目求解要点
理解新定义运算 ；
将表达式中的 和 替换为给定的代数式；
按照整式加减法则进行去括号、合并同类项；
注意符号变化，尤其是负号分配到括号内每一项。
3. 同类型题目解题步骤
明确新定义的运算规则；
代入指定的代数式；
按照运算顺序逐步展开；
合并同类项，化简表达式；
对比选项，选择正确答案。
题目：
已知关于 的整式 ，其中 为整数，且满足：
① 所有满足条件的整式 中，不存在其中两个整式的和为单项式；
② 若 ，则满足条件的整式 共有6个；
③ 满足条件的所有整式 共有10个。
问：正确的说法有几个？
A．0
B．1
C．2
D．3
解答：
我们逐条分析：
条件一：
说明 是严格递减的整数，且都在 到 之间。
条件二：
我们先考虑可能的取值范围：
最大可能值：当 ，和为 ；
最小可能值：当 ，和为 ；
所以绝对值为5的情况是存在的。
判断说法①：
“所有满足条件的整式 中，不存在其中两个整式的和为单项式。”
假设存在两个整式 和 ，使得它们的和为单项式，例如 ，这意味着除了某一项外，其余项都抵消了。这在系数严格递减的情况下几乎不可能，因为每项系数都不相同，无法完全抵消。因此该说法成立。
判断说法②：
若 ，则满足条件的整式 共有6个。
我们可以枚举所有满足 的组合，并验证其和是否满足绝对值为5。经枚举，确实可以找到6组符合条件的组合，因此该说法成立。
判断说法③：
满足条件的所有整式 共有10个。
通过枚举所有可能的 组合，发现总共有10组满足所有条件的组合，因此该说法也成立。
综上，三个说法都正确。
答案：D
总结：
1. 题目考查内容
本题综合考查整式的结构、整数的排列组合、绝对值的性质以及逻辑推理能力。
2. 题目求解要点
理解整式中各项系数的大小关系；
掌握绝对值的含义；
能够通过枚举法验证组合的可能性；
分析逻辑命题的真假。
3. 同类型题目解题步骤
明确题目中给出的限制条件；
枚举所有可能的整数组合；
验证每组是否满足所有条件；
分析每个命题是否成立；
统计正确命题的数量。
板书设计
整式的加减
├─ 合并同类项
│ ├─ 探究
│ │ ├─ 数的运算： 等
│ │ └─ 整式运算： 等
│ ├─ 同类项定义：所含字母相同且相同字母指数也相同的项，常数项也是同类项
│ └─ 合并同类项：把同类项合并成一项，所得项系数是合并前系数和，字母及指数不变
├─ 去括号
│ ├─ 实际问题： 等
│ ├─ 去括号方法：用括号外数乘括号内每一项再相加
│ └─ 特殊情况： ，
└─ 整式加减运算法则：有括号先去括号，再合并同类项
教学反思
本节课围绕“合并同类项”展开，通过类比数的运算引入整式的加减，结合具体实例引导学生理解同类项的概念及合并规则，并通过探究活动归纳合并同类项的规律。教学设计符合课标要求，注重知识的生成过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想。课堂中学生积极参与，基本掌握了合并同类项的方法，达成了教学目标。成功之处在于通过问题情境激发学生思考，注重逻辑推理与代数表达的结合；不足在于对部分抽象概念的讲解略显仓促，个别学生在字母指数不同的情况下仍存在识别同类项的困难。今后应加强变式训练，帮助学生深化理解。
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