4.1 整式教学设计 --2025—2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕整式展开，聚焦单项式、多项式及整式概念，承接代数式知识，为后续整式运算等奠基。通过实例观察归纳，培养学生抽象能力、运算能力等核心素养，如在单项式概念讲解中引导学生从具体到抽象思考。 该设计创新之处在于紧密联系生活实例，采用问题引导、师生互动等教法。从学生层面看，能提升其分析归纳能力；从教师角度，提供清晰授课思路；从课堂效果讲，有效突破重难点，增强学生对知识的理解。

4.1 整式 教材分析 本节课内容围绕单项式的概念展开，首先通过实际问题引出代数式，并结合已学过的代数式如、等，归纳出它们的共同特征——都是数或字母的积，从而定义单项式；接着介绍单项式的系数与次数的概念，并举例说明如何确定一个单项式的系数和次数；最后通过“思考”引导学生认识多项式是几个单项式的和，并明确整式的含义。本节内容承接前一章代数式的初步认识，是对代数式分类的进一步细化，为后续学习整式的运算、因式分解及分式等内容奠定基础。教学中可先从具体例子出发，引导学生观察、归纳，再逐步抽象出单项式的定义，帮助学生建立数学符号意识和抽象思维能力，同时为后续多项式和整式的学习做好铺垫。 教学目标 理解单项式的定义及其系数、次数的概念，掌握判断单项式系数与次数的方法，通过观察和归纳，发展数学抽象与符号意识，提升逻辑推理能力。 了解多项式的组成及其项、常数项、次数等概念，能够识别多项式中的项并确定其次数，培养分析问题的能力，增强数学建模与运算能力。 理解整式的含义，明确单项式与多项式之间的关系，通过分类与归纳，提升数学结构意识，发展抽象思维与语言表达能力。 重点难点 重点： 理解单项式、多项式、整式的概念，掌握单项式系数与次数、多项式次数的确定方法。 难点： 准确区分单项式、多项式，理解多项式次数的概念。 课堂导入 同学们，在生活中我们常常会用数学式子来描述各种数量关系。比如，小明去文具店买笔，一支笔元，他买了支，那么总共花费的钱数就可以用式子来表示。再比如，正方形的边长为，它的面积就是 。像、这样的式子，它们有什么共同特点呢？今天我们就一起来学习一类非常重要的代数式——整式，其中首先要认识整式中的单项式，看看这些式子背后到底隐藏着怎样的数学奥秘。 单项式 探究新知 （一）知识精讲 首先，让我们观察几个常见的代数式：、、、。这些代数式有什么共同特点呢？通过分析可以发现，它们都是由数或字母通过乘法运算连接而成的。像这样由数或字母的积组成的代数式，我们称之为单项式。特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式，例如和都是单项式。 （图示：展示几个典型的单项式例子） 在单项式中，数字因数被称为这个单项式的系数。比如： 的系数是 的系数是（当系数为1时通常省略不写） 的系数是 的系数是 此外，单项式中所有字母的指数之和称为这个单项式的次数。例如： 中的指数是1，所以次数为1，是一次单项式 中的指数是2，的指数是1，和为3，所以是三次单项式 对于非零的数，如，我们规定它的次数为0 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道是一个单项式，那么它的系数和次数分别是多少呢？ 学生回答：系数是3，因为的指数是2，的指数是1，所以次数是2+1=3。 教师追问：很好！那如果有一个单项式是，它的系数和次数又分别是多少呢？ 学生思考后回答：系数是-1（因为-1通常省略不写），次数是1+2+1=4。 教师继续引导：非常正确！那么请大家思考一下，为什么我们规定非零数的次数为0呢？ 学生讨论后回答：因为非零数中没有字母，可以看作是字母的指数和为0。 （三）设计意图 通过具体实例的观察和分析，引导学生从感性认识上升到理性认识，理解单项式的概念及其相关术语。通过师生互动环节，帮助学生巩固对单项式系数和次数的理解，培养学生观察、分析和归纳的能力。采用从具体到抽象的教学方式，让学生在实际例子中体会数学概念的形成过程，培养严谨的数学思维习惯。通过讨论非零数次数为0的规定，帮助学生理解数学定义的合理性，体会数学的严谨性。 新知应用 例1题目： 用单项式填空，并指出它们的系数和次数。 (1) 若三角形的一条边长为 ，这条边上的高为 ，则这个三角形的面积为____ (2) 一个长方体包装盒的长、宽、高分别为 cm、 cm、 cm，则这个长方体包装盒的体积为____ cm³ (3) 有理数 的相反数是____ (4) 某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了 张这种版式的邮票作为奖品，共花费____ 元（如图4.1-1） (5) 国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为 3:2，若一种尺度的国旗的长为 cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为_____ cm²。 解答： (1) 三角形的面积公式是： 已知底为 ，高为 ，所以面积为： 这个代数式是一个单项式，它的系数是 ，次数是字母 和 的指数之和，即 。 (2) 长方体的体积公式是： 已知长、宽、高分别为 、、，所以体积为： 这是一个单项式，它的系数是 （因为没有写出来，默认为1），次数是三个字母的指数之和，即 。 (3) 有理数 的相反数就是 。 这个代数式是一个单项式，它的系数是 ，次数是字母 的指数，即 。 (4) 根据题意，一张邮票版式包含10枚邮票，相当于2套邮票（每套5枚），价格为6元一套，因此一张版式的价格是： 如果买了 张这种版式，总花费就是： 这是一个单项式，它的系数是 ，次数是字母 的指数，即 。 (5) 已知国旗的长为 cm，长与高的比为 3:2，所以高为： 国旗的面积是长乘以高，即： 这是一个单项式，它的系数是 ，次数是字母 的指数之和，即 。 总结 1.题目考查内容 ① 单项式的定义及其构成； ② 单项式的系数与次数的概念； ③ 利用实际问题建立数学模型并转化为单项式表达式的能力。 2.题目求解要点 ① 熟记常见几何图形的面积、体积公式； ② 能从实际问题中提取关键信息并列出代数式； ③ 准确识别单项式中的数字因数作为系数； ④ 正确计算所有字母的指数和来确定单项式的次数； ⑤ 注意当系数为1或-1时，通常省略不写； ⑥ 对于非零常数，规定其次数为0。 新知巩固 题目：第1题 下列结论中，正确的是（ ） A．数不是单项式 B．是多项式 C．的次数是 D．多项式的常数项是 解答： 我们逐项分析选项是否正确。 A．数不是单项式 错误。根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，所以是一个单项式。 B．是多项式 正确。我们可以将该代数式变形为： 这是一个由两个单项式组成的代数式，符合多项式的定义，因此是多项式。 C．的次数是 错误。注意运算顺序，先计算指数再取负号： 其中字母部分是，字母的指数和为，所以这个单项式的次数是，不是。 D．多项式的常数项是 错误。常数项是指不含字母的项，在多项式中，常数项是，而不是。 综上所述，只有选项 B 正确。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查对单项式、多项式的概念的理解，以及对单项式的系数、次数、常数项等基本概念的掌握。 2. 题目求解要点 单项式包括数字、字母或它们的乘积，单独一个数或字母也是单项式； 多项式是由若干个单项式通过加减连接而成的代数式； 次数是所有字母的指数之和； 常数项是不含字母的项。 3. 同类型题目解题步骤 明确单项式、多项式的定义； 化简复杂表达式，判断其结构； 分析单项式的次数、系数； 找出多项式的常数项； 逐项判断选项是否成立。 题目：第2题 已知有序单项式串 ，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串 ，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串 ，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（ ） ① 第四个单项式串中，次数最高的单项式为 ； ② 不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式； ③ 第七个单项式串中所有单项式的乘积为 。 A．0  B．1  C．2  D．3 解答： 我们逐条分析每个结论是否正确。 ① 第四个单项式串中，次数最高的单项式为 我们观察操作规律： 初始串：（共2个单项式） 第1次操作后：（共3个单项式） 第2次操作后：（共5个单项式） 第3次操作后：在每两个相邻项之间插入它们的乘积，得到9个单项式 第4次操作后：插入后得到17个单项式 每次操作后，单项式个数满足： 其中为操作次数。 我们列出前几项的指数： 第1次操作： 第2次操作： 第3次操作：插入乘积后得到： 最高指数为 第4次操作：继续插入乘积，最高指数会出现在相邻两项乘积中，如 所以第4次操作后，确实存在 ，且是最大指数。 ✅ 结论①正确。 ② 不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式 我们已经知道： 我们尝试解方程： 存在整数解，说明第10次操作后，单项式个数为1025。 ❌ 结论②错误。 ③ 第七个单项式串中所有单项式的乘积为 我们观察每次操作后，新增的单项式是相邻两项的乘积，因此整个串中所有单项式的乘积等于初始两个单项式的幂次之和的某种组合。 设第次操作后，所有单项式的乘积为 我们可以通过递推公式或归纳法得出： 当 时： 与题中给出的 不符。 ❌ 结论③错误。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查对单项式串操作规律的理解，涉及指数运算、数列规律、乘积计算等综合能力。 2. 题目求解要点 理解操作规则：在相邻两项之间插入它们的乘积； 推导单项式个数公式：； 推导乘积总指数公式； 判断是否存在某个操作使得单项式个数为1025； 判断乘积是否为给定值。 3. 同类型题目解题步骤 明确操作规则； 推导单项式个数随操作次数变化的规律； 推导单项式乘积的总指数； 逐项验证结论是否成立； 注意指数运算和数列规律的应用。 多项式与整式 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们仔细观察以下代数式： ，，， 这些式子与单项式有什么不同呢？我们发现，这些式子都可以看作几个单项式的和。比如可以看作与的和，可以看作、与的和。像这样由几个单项式相加组成的式子，我们称之为多项式（polynomial）。 在多项式中，每个单项式都叫作这个多项式的项。特别地，不含字母的项叫作常数项。例如在多项式中，和都是它的项，其中是常数项。 多项式的次数是指次数最高的项的次数。比如多项式中，的次数是1，的次数是0，所以这个多项式的次数是1；而中，的次数最高，是2次，所以这个多项式的次数是2。 最后，我们把单项式和多项式统称为整式（integral expression）。比如、这些单项式，以及、这些多项式，都属于整式。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果有一个多项式，谁能说出它的各项和次数呢？ 学生回答：这个多项式有三项：、和。其中的次数是4（3+1），的次数是3（1+2），是常数项，所以多项式的次数是4。 教师追问：很好！那如果两个多项式和相加，结果还是多项式吗？为什么？ 学生思考后回答：是的，因为多项式相加就是把同类项合并，结果仍然是几个单项式的和，所以还是多项式。 （三）设计意图 通过具体例子的观察和分析，引导学生从单项式自然地过渡到多项式的概念理解。借助直观的代数式展示，帮助学生建立多项式与单项式之间的联系与区别。通过师生互动中的层层设问，培养学生观察、分析和归纳的能力，同时检验学生对多项式基本概念的理解程度。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，让学生在实际例子的分析中掌握多项式的定义、项、次数等核心概念，为后续整式的学习打下坚实基础。 新知应用 例2题目： 用多项式填空，并指出它们的项和次数。 (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为 、，则这个长方形的周长为________。 (2) 为一个有理数， 的立方与 2 的差为________。 (3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 辆，第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为________。 (4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图4.1-2所示。它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成。如果其中正方形和等边三角形的边长都为 ，等边三角形的高为 ，那么这个印章的表面积为________。 解答： (1) 长方形的周长公式是： 展开后得到： 项：、 次数：每一项都是一次项，所以这个多项式的次数是 1。 (2) “ 的立方”表示为 ，“与 2 的差”表示为减去 2，即： 项：、 次数：最高次项是 ，次数是 3。 (3) 前两年每年投放 辆，共投放了： 从第三年年初开始，每个月回收 辆，一年有12个月，共回收： 因此，第三年年底剩余的共享单车数量为： 项：、 次数：每一项都是一次项，所以这个多项式的次数是 1。 (4) 图中显示印章由18个正方形和8个等边三角形组成。 每个正方形的面积是： 18个正方形的总面积为： 每个等边三角形的面积是底乘以高除以2，底是 ，高是 ，所以面积为： 8个这样的三角形总面积为： 所以整个印章的表面积为： 项：、 次数：最高次项是 （二次项），所以这个多项式的次数是 2。 总结 1. 题目考查内容 ① 多项式的定义及其构成； ② 多项式的项与次数的识别； ③ 实际问题中代数表达式的建立与分析。 2. 题目求解要点 ① 根据题意列出代数式，注意运算顺序和符号； ② 将代数式整理为标准的多项式形式； ③ 准确识别每一项并判断是否为常数项； ④ 找出次数最高的项，确定多项式的次数； ⑤ 结合实际背景理解代数式的含义，避免遗漏单位或逻辑错误。 新知巩固 题目： 第1题：在代数式中，多项式的个数是（  ） 解答： 我们逐个分析每个代数式是否为多项式： 这是一个常数，属于单项式，不是多项式。 这是由两个单项式和组成的和，符合多项式的定义，是多项式。 可以化简为，这是由两个单项式相加构成的，是多项式。 展开后为，是由两个单项式相加构成的，是多项式。 可以化简为，是由两个单项式相加构成的，是多项式。 综上所述，其中是多项式的有： 、、、，共 4个。 答案：B．4 总结： 1. 题目考查内容 本题考查对多项式定义的理解与判断，包括单项式与多项式的区别，以及如何识别一个代数式是否可以表示为多个单项式的和。 2. 题目求解要点 多项式是由若干个单项式相加构成的代数式； 单项式不能称为多项式； 分式形式的代数式若能化简为几个单项式之和，则可视为多项式； 要注意分母中是否含有常数或π等，不影响是否为多项式。 3. 同类型题目解题步骤 逐一分析每个代数式的形式； 判断其是否可以拆分为多个单项式的和； 若可以，则为多项式；否则不是； 注意排除单项式和非整式的情况（如分母含变量的代数式）。 题目： 第2题：已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（  ） 解答： 我们先分析题设条件： 给定多项式为： 它是三次三项式，即： 次数最高项的次数为3； 共有3项。 我们分别分析每一项的次数： 第一项： 次数 = 第二项： 次数 = 2 第三项： 是常数项，次数为0 根据题意，该多项式是三次三项式，所以最高次项的次数应为3： 又因为是有理数，且多项式中的常数项就是本身，所以： 当时，常数项为 答案：B． 总结： 1. 题目考查内容 本题考查多项式的次数定义、项的分类（特别是常数项），以及绝对值方程的求解。 2. 题目求解要点 理解“三次三项式”的含义：最高项次数为3，且总共有3项； 分析每一项的次数，找出最高次项； 根据最高次项的次数建立方程，求出参数； 明确常数项的位置和表达方式。 3. 同类型题目解题步骤 分析多项式结构，确定各项； 计算每项的次数； 找出最高次项并设定其次数； 建立方程求解未知参数； 确定常数项的具体值。 题目： 第3题：已知整式，其中为自然数，为正整数，且。判断以下说法的正确性： ① 满足条件的整式中有5个单项式； ② 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③ 满足条件的整式共有12个。 其中正确的个数是（  ） 解答： 我们逐条分析： 条件回顾： 整式为形如； 为自然数（即非负整数）； 为正整数； 其余系数为自然数； 所有系数与的和为5： 分析所有可能的组合： 我们枚举所有满足条件的组合： 当（即为常数项）： → （单项式） → （单项式） → （单项式） → （单项式） → （单项式） → 不成立（因为必须为正整数） 得到5个单项式。 当： → → → → → → → → 共8个整式。 当： → → → → → 共5个整式。 当： → → 共2个整式。 当： → 共1个整式。 当： ，其余为0 → 共1个整式。 总计： 单项式：5个（来自） 整式总数：5（单项式）+ 8（一次）+ 5（二次）+ 2（三次）+ 1（四次）+ 1（五次）= 22个 回到选项分析： ① 满足条件的整式中有5个单项式 ✅ 正确，来自时的5个常数项。 ② 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个 ✅ 正确，从枚举结果看，没有哪个对应的整式恰好是6个。 ③ 满足条件的整式共有12个 ❌ 错误，实际为22个。 答案：B．1 总结： 1. 题目考查内容 本题考查整式的构造与分类，涉及多项式次数、系数限制、自然数与正整数的约束，以及组合枚举能力。 2. 题目求解要点 理解整式的定义与构造方式； 掌握系数与次数的限制条件； 枚举所有可能的组合； 判断各选项是否成立。 3. 同类型题目解题步骤 明确整式的结构和限制条件； 枚举所有可能的组合； 分别统计单项式数量、不同次数的整式数量； 对照选项逐一判断真假； 最终得出正确选项。 板书设计 整式 ├─单项式 │ ├─定义：数或字母的积，单独数或字母也是 │ ├─系数：数字因数 │ └─次数：所有字母指数和，非零数次数为0 ├─多项式 │ ├─定义：几个单项式的和 │ ├─项：每个单项式，不含字母项为常数项 │ └─次数：次数最高项的次数 └─整式：单项式与多项式统称 教学反思 本节课围绕单项式的概念展开，通过实际问题引入代数式，引导学生观察、归纳单项式的定义、系数和次数等核心内容。教学设计注重从具体到抽象的思维过渡，结合实例分析帮助学生理解概念，课堂活动设计合理，学生参与度较高，基本达成了教学目标。成功之处在于通过问题引导和互动讨论激发了学生的探究兴趣，强化了对单项式本质特征的认识；不足在于对单项式次数的理解部分学生仍存在困惑，后续需通过更多变式练习加强巩固，同时关注学生数学语言表达能力的提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$