二项分布、超几何分布、正态分布 课件-2026届高三数学一轮复习

二项分布、超几何分布、正态分布 课 标 解 读 1.理解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题. 2.理解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 3.理解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,理解正态分布的特征. 4.理解正态分布的均值、方差及其含义. 知识梳理 1.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示失败,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示: X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布,又称0—1分布、伯努利分布. 2.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 ①伯努利试验:只包含两个可能结果的试验. ②n重伯努利试验:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验. 注:独立重复试验的实际原型是　　　　　　的抽样检验问题. 有放回 (2)二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作　　　　　. (3)二项分布的均值和方差 若X~B(n,p),则E(X)=　　　,D(X)=　　　　　　. X~B(n,p) np np(1-p) [教材知识深化] 判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点: (1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变; (2)试验可以独立重复进行n次. 误区警示　“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同:恰好发生k次的概率P=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k (k=0,1,2,…,n). 3.超几何分布 (1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N, m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.记作X~H(n,M,N). (2)均值与方差 设随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=　　　　. [教材知识深化] 超几何分布与二项分布的关系 不同点 联系 假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=);若采用不放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从超几何分布 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,此时,超几何分布可以用二项分布近似 4.正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交. 当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. ②曲线与x轴之间的区域的面积为1. ③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. ④曲线在x=μ处达到峰值. ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示. 图1 图2 (3)定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从　　　　　　　. 服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量 X~N(μ,σ2) 标准正态分布 (4)3σ原则 假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, ①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. (5)正态分布的均值与方差 若X~N(μ,σ2),则X的均值与方差分别为E(X)=　　,D(X)=　　　　. μ σ2 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (2)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情况.(　　) (3)正态曲线落在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(　　) √ √ √ 2.(人教A版选择性必修第三册7.4.1节例1改编)将一枚质地均匀的硬币重 复抛掷10次,则恰好出现5次正面朝上的概率是　　　　　. 　 解析 用X表示硬币正面朝上的次数,则X~B(10,). 恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是P(X=5)=0.510= 3.(人教B版选择性必修第二册4.2.4节练习B第1题改编)已知随机变量X服 从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p的值为　　　. 　 解析 由题意,得解得p= 4.(人教B版选择性必修第二册4.2.3节例3改编)学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教,设抽取的人中女教师的人数为X,则 P(X≤1)=　　　　　. 　 解析 由题意知,X服从参数为7,3,2的超几何分布,即X~H(7,3,2), 因此P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= 二、连线高考 5.(多选题)(2024·新高考Ⅰ,9)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 BC 解析 由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12). ∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7. ∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误. P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确. ∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC. 6.(2006·重庆,理18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求: (1)随机变量ξ的分布列; (2)随机变量ξ的均值. 解 (1)ξ~B(5,),即有P(ξ=k)=()k×()5-k,k=0,1,2,3,4,5. 由此可得ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)∵ξ~B(5,),∴E(ξ)=5 考点一　二项分布及其应用 例1(2024·山东临沂一模)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动,其中有个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎.游戏规则如下:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,出现3的倍数,则一次上三级台阶,否则上二级台阶,再重复以上步骤,当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束.规定:从平地开始,结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物,位于第9级台阶可获得一套智力玩具,位于第10级台阶则认定游戏失败. (1)某学生抛掷三次骰子后,按游戏规则位于第X级台阶,求X的分布列及数学期望E(X); (2)甲、乙两位学生参加游戏,求恰有一人获得奖品的概率. 解 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,试验的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},共有6个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.设 A=“出现3的倍数”,则A={3,6},所以n(A)=2,所以P(A)=,所以每 次掷骰子上两级台阶的概率为1-P(A)=,上三级台阶的概率为P(A)=设抛掷三次骰子,上三级台阶出现的次数为Y,则Y~B(3,),所以Y的分布列为P(Y=k)=)k()3-k,k=0,1,2,3.由题可知,X的可能取值为6,7,8,9,且P(X=6)=P(Y=0),P(X=7)=P(Y=1), P(X=8)=P(Y=2),P(X=9)=P(Y=3), 所以X的分布列为 所以E(X)=6+7+8+9=7. X 6 7 8 9 P (2)由题可知,当某位学生恰好位于第10级台阶,且未曾位于第8、第9级台阶时,游戏失败.又因为每次上二级或三级台阶,所以其上一次掷骰子时位于第7级台阶.因为抛掷两次骰子,至多上六级台阶;抛掷三次骰子,至少上六级台阶;抛掷四次骰子,至少上8级台阶,所以位于第7级台阶时,恰好抛掷了三次骰子,位于第10级台阶时,第四次抛掷骰子上三级台阶, 所以某位学生不能获得奖品的概率为P=P(X=7)P(A)= 两位同学参加游戏,用Z表示不能获得奖品的人数,则Z~B(2,), 则P(Z=m)=)m·()2-m,m=0,1,2,所以甲、乙两位学生参加游戏, 恰有一人获得奖品的概率为P(Z=1)= [对点训练1](2024·江苏宿迁一模)某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛,现将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中概率均为,乙队三名队员投篮命中的概率分别为,p(0<p<1).现要求所有队员各投篮一次(队员投篮是否投中互不影响). (1)若p=,求甲、乙两队共投中5次的概率; (2)以甲、乙两队投中次数的数学期望为依据,若甲队获胜的期望更大,求p的取值范围. 解 (1)用X表示甲队所有队员各投篮一次,投中的次数,则X~B(3,), 所以P(X=k)=)k·()3-k,k=0,1,2,3,所以P(X=2)=,P(X=3)= 设Ai=“乙队第i名队员投中”(i=1,2,3),且P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=p= 由分步乘法计数原理,乙队所有队员各投篮一次,共有8种可能的结果, 它们两两互斥,每个结果都是3个相互独立事件的积. 用Y表示乙队投中的次数,则Y的可能结果为0,1,2,3. 由概率的加法公式和乘法公式得 P(Y=2)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =, P(Y=3)=P(A1A2A3)= 设B=“甲、乙两队共投中5次” 则P(B)=P(X=2)P(Y=3)+P(X=3)P(Y=2)=, 所以甲、乙两队共投中5次的概率为 (2)由(1)可知X~B(3,),所以E(X)=3=2. 由(1)可得,当P(A3)=p(0<p<1)时, P(Y=0)=P()=(1-p)=, P(Y=1)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =(1-p)+(1-p)+p=, P(Y=2)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =p+p+(1-p)=, P(Y=3)=P(A1A2A3)=p=, 所以Y的分布列为 所以E(Y)=0+1+2+3 若甲队获胜的期望更大,则<2,解得p< 又0<p<1,所以0<p< Y 0 1 2 3 P 考点二　超几何分布及其应用 例2(2024·重庆模拟)在一种新能源产品的客户调查活动中发现,某小区10位客户有4人是该产品的潜在用户,小刘负责这10人的联系工作,他先随机选择其中5人安排在上午联系,剩余5人下午联系. (1)设上午联系的这5人中有ξ个潜在用户,求ξ的分布列与期望; (2)小刘逐一依次联系,直至确定所有潜在用户为止,求小刘6次内即可确定所有潜在用户的概率. 解 (1)由题知,ξ服从超几何分布,可能取值有0,1,2,3,4, 所以P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, P(ξ=4)= ξ的分布列为 所以E(ξ)=0+1+2+3+4=2. ξ 0 1 2 3 4 P (2)记确定所有潜在用户所需要的联系次数为X, 则P(X=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=, 所以6次内即可确定所有潜在用户的概率为 [对点训练2](2024·广东茂名一模)近几年,随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起,新能源汽车产业进入了加速发展的阶段,我国的新能源汽车产业,经过多年的持续努力,技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强,呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关,对送来的某个汽车零部件进行检测. (1)若每个汽车零部件的合格率为0.9,从中任取3个零部件进行检测,求至少有1个零部件是合格的概率; (2)若该批零部件共有20个,其中有4个零部件不合格,现从中任取2个零部件,求不合格零部件的产品数X的分布列及数学期望. 解 (1)记事件A=“检测出至少有1个零部件是合格品”, 则P(A)=1-P()=1-(1-0.9)3=0.999. (2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)= 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0+1+2 考点三　正态分布及其应用(多考向探究预测) 考向1　概率计算 例3(1)(2024·江苏泰州模拟)某校高三800名学生的考试成绩近似服从正态分布N(89,132),某生成绩为102分,则该生成绩的年级排名大约是(　　) (附:参考数据:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ 0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.第18名 B.第128名 C.第245名 D.第546名 B 解析 因为成绩X近似服从正态分布N(89,132),所以μ=89,σ=13, 所以P(X>102)=P(X>μ+σ)==0.158 65, 所以成绩大于102的学生人数为800×0.158 65≈127, 所以成绩为102的学生的年级排名约为128. (2)(2022·新高考Ⅱ,13)随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　　　　　. 0.14 解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14. 考向2　正态分布的实际应用 例4(2024·广东深圳模拟)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.一般地,对于一次成功的考试来说,所有考生的考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人,其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000名,考试满分为400分.记考生的成绩为X,且X~N(μ,σ2),已知所有考生考试的平均成绩μ=180,且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求σ的值.(结果保留整数) (2)该单位的最低录取分数约是多少?(结果保留整数) (3)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取,请说明理由. 参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1). ②当Y~N(0,1),P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.900,P(Y≤1.09)≈0.863, P(Y≤1.04)≈0.85 解 (1)依题意,X~N(180,σ2),令Y=,则Y~N(0,1), 所以可得P(X≥360)=, P(X<360)=1-=0.985,P(Y<)≈0.985, 又因为P(Y<2.17)≈0.985,则2.17,解得σ≈83. (2)由(1)可得X~N(180,832),设最低录取分数为x0, 则P(X≥x0)=P(Y)=, P(Y<)=1-0.85,=1.04, 所以x0≈266.32,即最低录取分数线为266分. (3)考生甲的成绩为286分>267分, 所以甲能被录取概率为P(X<286)=P(Y<)=P(Y<1.28)≈0.900, 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1-0.900=0.100, 约有2 000×0.100=200,即考生甲大约排在第200名,排在275名之前, 所以甲能获得高薪. [对点训练3](1)(2024·江苏苏州模拟)某班有60名学生,一次考试后数学成绩ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(　　) A.10 B.9 C.8 D.7 B 解析 因为数学成绩ξ~N(110,σ2),所以由P(100≤ξ≤110)=0.35, 可得P(110≤ξ≤120)=0.35, 所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为 P(ξ>120)=(1-0.35-0.35)=0.15, 所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15×60=9. (2)(2024·广东六校联考)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,闯关活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动. ①若甲第一关通过的概率为,第二关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率; ②已知该闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励. (ⅰ)假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,请说明理由; (ⅱ)丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解 ①设Ai表示事件“第i次通过第一关”,Bi表示事件“第i次通过第二关”, 甲可以进入第三关的概率为P, 由题意知P=P(A1B1)+P(A2B1)+P(A1B2)+P(A2B2) =P(A1)P(B1)+P()P(A2)P(B1)+P(A1)P()P(B2)+P()P(A2)·P()P(B2) =+(1-)(1-)+(1-)(1-) ②设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2). (ⅰ)由题意可知μ=171,因为=0.022 8, 且P(X>μ+2σ)=0.022 8, 所以μ+2σ=351,则σ==90, 而=0.16,且P(X>μ+σ)=0.158 7<0.16, 所以前400名参赛者的最低得分高于μ+σ=261, 而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励. (ⅱ)假设乙所说为真,则μ=201, P(X>μ+2σ)=0.022 8, 而=0.022 8,所以σ==75,从而μ+3σ=201+3×75=426<430, 而P(X>μ+3σ)=0.001 3, 所以X>μ+3σ为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说为假. $$