专题1.3 交集、并集（八大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

专题1.3 交集、并集 重难点题型1 并集运算 并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏·周测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知集合，则 6．（24-25高一上·江苏连云港·月考）若集合，集合，则 . 7．（24-25高一上·浙江温州·月考）设集合，，则 . 8．集合，若，则实数a的值为 . 重难点题型2 交集运算 交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 1．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江舟山·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合，集合，则 ． 重难点题型3 根据并集的运算结果求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏无锡·周测）已知集合，集合，，则 5．（24-25高一上·浙江·周测）已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 6．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 重难点题型4 根据交集的运算结果求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高一上·浙江温州·周测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·周测）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，，若，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D．1 5．已知集合，，若，则实数的值为 6．若集合，，且，则实数 ． 7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是 . 8．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）集合，集合，若，则的取值集合为 . 重难点题型5 交集、并集、补集的混合运算 1．集合的交集与并集 (1)、两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)、对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)、A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 3．集合的运算性质 (1)、A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)、A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 1．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东珠海·周测）已知集合，，则= . 5．（23-24高一上·广东佛山·月考）设全集，集合，，则 ． 6．（24-25高一上·江苏无锡·周测）已知集合，. (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 8．（24-25高二下·江苏·周测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 9．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求与； (2)若，求实数的取值范围． 重难点题型6 根据集合的混合运算求集合、参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（22-23高三上·山西·月考）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知均为的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 5．（22-23高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 6．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 重难点题型7 区间的定义与表示 1．区间 (1)、设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列区间与集合或相对应的是（  ）. A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·周测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 6．（24-25高一上·上海·期中）设全集 集合,， 则 ． 7．不等式组的解集用区间表示为 ． 8．（24-25高一上·广东东莞周测）若确定区间满足，则实数的取值范围为 ． 重难点题型8 集合运算中的新定义问题 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 3．（24-25高一下·湖北黄石·月考）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25高一上·重庆·月考）南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有 人. 5．（24-25高一下·广东湛江·周测）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 一、单选题 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合， 若， 则实数a的值为（   ） A．5或 B． C．5 D． 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（2025·广东佛山·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏苏州·周测）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 9．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24高一上·江苏常州·周测）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    11．已知集合，，且，则 ． 12．（23-24高一上·江苏宿迁·周测）集合,，则 13．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 14．（2023高一·江苏·周测）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 15．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 三、解答题 16．（24-25高一上·山西晋中·周测）已知集合，． (1)求； (2)已知R为实数集，求． 17．（24-25高一上·山西晋中·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 交集、并集 重难点题型1 并集运算 并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈A,或x∈B} 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由集合，，则，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据二次函数计算求解集合，再求并集即可. 【详解】集合. 集合. 集合. 集合. . 故选：. 3．（24-25高二下·江苏·周测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的运算法则即可求得结果. 【详解】根据集合，， 可得. 故选：B 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】用列举法表示集合，再利用并集的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：C 5．（24-25高一上·江苏淮安·月考）已知集合，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集运算的定义直接计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·江苏连云港·月考）若集合，集合，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】利用并集的概念计算即可. 【详解】由题意得. 故答案为： 7．（24-25高一上·浙江温州·月考）设集合，，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】首先化简集合、，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 8．集合，若，则实数a的值为 . 【答案】0 【难度】0.94 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合的并集运算可直接求解. 【详解】因为且， 所以， 所以，解得：， 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题. 重难点题型2 交集运算 交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈A,且x∈B} 1．（24-25高一下·浙江金华·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由交集的概念可得结果. 【详解】由题意可得. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江舟山·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·浙江·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合A，再根据交集定义计算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先通过解一元二次不等式求得集合，再进行交集运算可得结果. 【详解】集合，， 则 故选：A. 5．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合，集合，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以, 故答案为：. 重难点题型3 根据并集的运算结果求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 2．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 3．（24-25高三下·江苏·开学考试）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 4．（23-24高一上·江苏无锡·周测）已知集合，集合，，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解. 【详解】设方程的两个根分别为， 则，又， 故或者， 则， 设两个根分别为， 则，又， 故或者， 则， 故， 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江·周测）已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】解出集合，由得到实数m的取值范围. 【详解】解得，即， ∵，∴ 故答案为： 6．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可. 【详解】因为，故4必定在中， 当时，解得或， 若时，，则，与题意不符，舍去； 若时，，则，符合题意，所以， 当时，解得，此时，不满足，舍去， 综上，即实数的值为. 故答案为： 重难点题型4 根据交集的运算结果求参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（24-25高一上·浙江温州·周测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据交集的结果，可得集合间的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由，则，可得. 故选：B. 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）设集合，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】取，排除选项ACD，利用反证法证明. 【详解】对于A，取可得， 则，此时，A错误； 则，此时，C错误； 则，此时，D错误； 对于B，若，则或或， 由，可得，此时，与中有三个不同元素矛盾， 由，可得，此时，与中有三个不同元素矛盾， 由，可得或（舍去）， 若，则，与中有三个不同元素矛盾， 所以，B正确； 故选：B. 3．（24-25高三上·江苏·周测）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据有，利用集合的基本关系即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，，若，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求出的范围即可. 【详解】由，得，则， 所以的最大值为. 故选：B 5．已知集合，，若，则实数的值为 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题可得或，并验证是否成立即得. 【详解】集合，，， 则或，解得或， 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，合乎题意； 当时，，则，合乎题意. 综上所述，或. 故答案为：或. 6．若集合，，且，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】利用交集的概念以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】解： 解得：或者 当时，，，符合题意 当时，，，不符合题意 所以 故答案为：. 7．已知集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】. 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【解析】由，结合已知集合的描述即可求m的取值范围. 【详解】由，，且，知：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了由集合的交集结果求参数范围，属于简单题. 8．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）集合，集合，若，则的取值集合为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交集的概念及运算 【分析】利用交集的运算得出结果. 【详解】因为集合，集合，若， 当时，则，即， 当时，， 故答案为：. 重难点题型5 交集、并集、补集的混合运算 1．集合的交集与并集 (1)、两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)、对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)、A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 3．集合的运算性质 (1)、A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)、A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 1．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合的补集和交集的概念和运算进行求解即可. 【详解】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 2．（2025·河北保定·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】求出集合，利用集合的运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以或，又， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的交集和补集运算可得结果. 【详解】由，可得或，则. 故选：B． 4．（24-25高一上·广东珠海·周测）已知集合，，则= . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合交并补混合运算法则即可得到结果. 【详解】 ∴ 故答案为： 5．（23-24高一上·广东佛山·月考）设全集，集合，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 6．（24-25高一上·江苏无锡·周测）已知集合，. (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或. (2) 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）根据题意，将代入计算，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，且， 则， 又或，则或. （2）当时，则，解得， 此时满足； 当时，则，即， 由可得或， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 8．（24-25高二下·江苏·周测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 9．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求与； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，写出集合，并求出集合，利用集合的运算可得出集合与； （2）分析可得，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ，全集， 所以，，或， 故. （2）因为，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 重难点题型6 根据集合的混合运算求集合、参数 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．（22-23高三上·山西·月考）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知均为的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由题意可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 故. 故选：B. 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、交并补混合运算、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 5．（22-23高一上·广西梧州·期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、交并补混合运算、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】（1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. 6．（22-23高一上·浙江温州·期中）已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或 重难点题型7 区间的定义与表示 1．区间 (1)、设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)、区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)、特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 3．下列区间与集合或相对应的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的概念判断即可. 【详解】集合中的可以表示为区间， 集合中的可以表示为区间， ∵或是并集关系， ∴集合表示为 故选：C. 4．（24-25高三上·广东·周测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、区间的定义与表示 【分析】根据集合的交集、补集运算计算即可求得结果，再用区间表示可得答案. 【详解】由可知， 又，故． 故选：D． 5．（24-25高一上·重庆渝北·期中）且解集的区间表示为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】区间的定义与表示 【分析】且解集，即为不等式组的解集，求解并将解集写成区间即可. 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）设全集 集合,， 则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、区间的定义与表示 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由,， 可得：. 故答案为： 7．不等式组的解集用区间表示为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】区间的定义与表示 【分析】求出不等式组的解集，再根据区间的定义求解即可． 【详解】由可得，所以. 所以，不等式组的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·广东东莞周测）若确定区间满足，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据集合的包含关系求参数、区间的定义与表示 【分析】利用集合关系的区间表示以及区间有意义得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意可知，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 重难点题型8 集合运算中的新定义问题 (1)、确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)、看这些元素满足什么限制条件． (3)、根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，为了办好这一届具有“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州某高校的40名同学报名参加足球、篮球、排球三个项目的志愿者服务活动，且每名同学至多参加两个志愿者服务项目.已知参加足球、篮球、排球项目的人数分别为26，15，13，同时参加足球和篮球项目的有6人，同时参加足球和排球项目的有4人，则同时参加篮球和排球项目的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】集合的应用 【分析】由题意画出参加三个项目的人数图形，列方程解出即可； 【详解】      如图所示，设同时参加篮球和排球项目的人数为， 则有， 解得， 故同时参加篮球和排球项目的人数为4． 故选：B. 2．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 3．（24-25高一下·湖北黄石·月考）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 4．（24-25高一上·重庆·月考）南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有 人. 【答案】45 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、集合的应用 【分析】引入参数，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解. 【详解】设只参加物理的有个人，则只参加数学的有个人， 因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的， 所以只参加数学的占参加了竞赛班的， 解得，所以全班有人. 故答案为：45. 5．（24-25高一下·广东湛江·周测）集合展拓在信息学中具有重要应用，定义为集合T中的元素个数，对于元集合，其展拓集合记为，满足，其中．已知集合，若的展拓集合满足，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、集合新定义 【分析】记，依题意求出，即可得到，分、两种情况讨论，分别求出的最大值，即可得解. 【详解】记，由，解得，又， 所以，则； 当时，，又，所以，此时的最大值为； 当时，，此时或， 于是，此时的最大值为； 综上可得的最大值为. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高三下·浙江·开学考试）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】结合集合交集概念求解两集合的交集. 【详解】因为,又因为 所以 故选：D 3．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合， 若， 则实数a的值为（   ） A．5或 B． C．5 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件. 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上：. 故选：D 4．（24-25高一上·江苏·阶段练习）设，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】结合不等式由交集运算即可； 【详解】因为，且， 所以， 故选：D. 5．（2025·广东佛山·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】当时，，满足， 当时，，由， 可知， 综上所述，. 故选：D 6．（24-25高一上·江苏苏州·周测）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 7．若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并运算结果，可得或，结合集合的性质，即可求得，从而进行选择. 【详解】因为集合，，且， 故可得或，解得或或， 当时，集合不满足互异性，故舍去； 当或时，满足题意. 故满足条件的的个数有个. 故选：C. 8．（24-25高一上·陕西榆林·月考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】容斥原理的应用、集合的应用 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 9．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 二、填空题 10．（23-24高一上·江苏常州·周测）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为 ．    【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】利用Venn图求集合、补集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】根据给定的韦恩图，利用补集、交集定义求解即得. 【详解】由集合，，得，而， 所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为： 11．已知集合，，且，则 ． 【答案】3或 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 12．（23-24高一上·江苏宿迁·周测）集合,，则 【答案】1或0 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据包含关系可求参数的值，注意讨论集合是否为空集即可. 【详解】, ,或， 故或. 故答案为：1或0 13．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 14．（2023高一·江苏·周测）设集合，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由于处理较繁琐，可先求时实数m的取值范围，再取相反情况即可. 【详解】若时， 则当时，，解得； 当时，，解得， 由可得或，解得或， 又，所以或， 综上可得当时，或， 所以当时，m的取值范围是. 故答案为：. 15．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 三、解答题 16．（24-25高一上·山西晋中·周测）已知集合，． (1)求； (2)已知R为实数集，求． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、交集的概念及运算 【分析】（1）解出，再根据交集的定义即可得解； （2）根据补集和并集的定义即可得解. 【详解】（1）由题得． 已知，得． （2）因为或，所以或． 17．（24-25高一上·山西晋中·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】（1）由题意， 知或，, 因为，故，解得； （2）中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$