3.1 列代数式表示数量关系教学设计 (1) 教学设计 2025—2026学年人教版数学七年级上册

本文围绕“列代数式表示数量关系”展开，在学生已有数与式运算基础上，为后续整式、方程等学习奠基。通过实际问题引入，培养学生抽象能力、运算能力、模型意识等核心素养，让学生从具体情境抽象出代数式概念与关系。 该设计亮点在于紧密联系生活实际，采用实例探究、师生互动等教法。从学生层面看，提升抽象思维与应用能力；从教师角度，提供清晰授课思路；从课堂效果讲，有效突破教学重难点。

3.1 列代数式表示数量关系 教材分析 本节课“代数式”是在学生已经掌握基本的数与式的运算、简单的数量关系表示的基础上展开的，主要内容是通过实际问题情境引入代数式的概念，理解用字母表示数的意义，并能列出代数式表示数量关系。教学过程从具体问题出发，引导学生抽象出代数式的形式，进而归纳其定义和书写规范。本节内容与前面对数量关系的理解密切相关，是后续学习整式、方程、函数等知识的基础。本节课的学习有助于学生发展符号意识和数学抽象能力，提升用数学语言表达现实问题的能力，为后续代数内容的学习奠定重要基础。 学情分析 七年级学生已经掌握了用字母表示数的基本方法，具备初步的代数意识，能够理解简单的数量关系并进行基本的运算，为学习《代数式》奠定了基础。同时，这个年龄段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，对用符号表示数和抽象表达式有一定的认知挑战，但仍具有较强的好奇心和模仿能力。本节课要求学生能够识别并列出简单的代数式，理解代数式的意义，并能用代数式表示实际问题中的数量关系，通过观察、归纳和类比，提升数学抽象能力和符号意识，为进一步学习整式、方程和函数等知识打下坚实基础。 教学目标 理解代数式的概念，能识别和列出简单问题中的代数式，通过用字母表示数，提升数学抽象和符号意识，发展从具体问题抽象到一般规律的能力。 掌握列代数式的基本方法，能够用代数式表示常见数量关系，增强数学建模意识，提高分析和解决实际问题的能力。 理解正比例与反比例关系的本质特征，能识别现实情境中的正、反比例关系，培养数据分析观念，提升逻辑思维能力和数学交流能力。 重点难点 重点： 理解代数式概念，会列代数式表示数量及数量关系；掌握正、反比例关系概念。 难点： 准确列出代数式；理解正、反比例关系中量的变化特点。 课堂导入 同学们，在日常生活中，我们常常会遇到这样的情况：小明去文具店买笔记本，每个笔记本3元，他买了5个，一共花了多少钱呢？很简单，元。那如果他想买个笔记本，需要花费多少钱呢？这就得到式子。 再比如，小红跑步速度是5米/秒，跑了10秒，路程是米，如果跑秒，路程就是米。像、这样，用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，在数学里有个特定名称。今天，我们就一起走进“代数式”的世界，探究这类式子的奥秘。 代数式 探究新知 （一）知识精讲 让我们通过具体实例来认识代数式。观察机器人识别苹果的例子，当工作效率为5 时，工作时间t秒内完成的工作量可以表示为 。这个式子就是一个典型的代数式，它用乘法运算将数字5和字母t连接起来。同样地，识别n 范围所需时间秒也是一个代数式。 （图注：机器人正在识别苹果的工作场景） 再看工程队铺设管道的例子，2 km的管道在d天内完成，平均每天铺设 km。这个分数形式的式子也是代数式。对于边长为a的正方形，其周长和面积都是用运算符号连接数字和字母的代数式。 （图注：边长为a的正方形示意图） 代数式的定义是：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子。特别地，单独的一个数或字母也是代数式，比如5和t都是代数式。代数式的优势在于它能将具体问题中的数量关系一般化，使表达更加简洁和通用。 （二）师生互动 教师提问：同学们，我们已经知道可以表示机器人的工作量，那么如果工作效率变为8 ，工作时间仍然是t秒，工作量该如何表示呢？ 学生回答：工作量可以表示为 。 教师追问：很好！那如果工作效率是k ，工作时间是t秒呢？ 学生思考后回答：工作量就是 。 教师继续引导：非常正确。那么请大家思考，为什么我们要用字母k来表示工作效率呢？ 学生讨论后回答：因为工作效率可能变化，用字母表示可以适用于各种不同情况。 （三）设计意图 通过具体生活实例引入代数式的概念，帮助学生从实际问题中抽象出数学表达式，培养数学建模能力。借助直观的图示和具体数字计算，引导学生逐步理解用字母表示数的意义，体会代数式的概括性和一般性。通过师生互动中的层层递进式提问，促进学生深入思考代数式的本质特征，发展符号意识和抽象思维能力。整个探究过程注重从具体到抽象的认知规律，让学生在解决实际问题的过程中自然建构代数式的概念。 新知应用 例1题目： (1) 苹果原价是 元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； (2) 一个长方形的长是 0.9 m，宽是 m，用代数式表示这个长方形的面积； (3) 某产品前年的产量是 件，去年的产量比前年产量的 2 倍少 10 件，用代数式表示去年的产量； (4) 一个长方体水池底面的长和宽都是 m，高是 m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积。 解答： (1) 苹果原价是 元/kg，打九折就是乘以 0.9，所以售价为： (2) 长方形的面积 = 长 × 宽 已知长是 0.9 m，宽是 m，所以面积为： (3) 前年产量是 件，去年产量是前年的 2 倍减去 10 件，即： (4) 长方体水池的容积 = 长 × 宽 × 高 已知长和宽都是 m，高是 m，所以容积为： 池内水的体积是总容积的三分之一，所以水的体积为： 总结： 1.题目考查内容 ① 用代数式表示实际问题中的数量关系； ② 理解字母表示数的意义； ③ 掌握基本公式在实际问题中的应用（如面积、体积等）。 2.题目求解要点 ① 明确题意，找出数量之间的运算关系； ② 正确使用字母表示未知量或变量； ③ 运用数学公式（如面积、体积公式）进行代数表达； ④ 注意单位是否一致，是否需要保留单位。 例2题目： 说出下列代数式的意义： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解答： (1) 表示的是： 先将 的值乘以 2，再加上 3。 也就是说，它是 的两倍与 3 的和。 (2) 表示的是： 先计算 与 3 的和，再将这个和乘以 2。 也就是说，它是 与 3 的和的两倍。 (3) 表示的是： 将 除以 和 的乘积。 也就是说，它是 除以 、 的积所得的商。 (4) 表示的是： 先计算 的平方，再加上 的两倍，最后加上 8。 也就是说，它是 的平方、 的两倍、与 8 的和。 总结： 1.题目考查内容 ① 理解代数式的结构及其运算顺序； ② 能够将代数式转化为语言描述； ③ 掌握代数式中括号的作用及优先级。 2.题目求解要点 ① 分析代数式中的运算符号和顺序； ② 注意括号对运算顺序的影响； ③ 用自然语言准确描述代数式的含义； ④ 区分“某数的几倍”、“某数的平方”等常见表达方式。 新知巩固 题目：第1题 解答： 题目给出两个扇形，甲扇形圆心角为 ，乙扇形圆心角为 。要求判断关于它们弧长和面积的说法是否正确。 我们先回顾扇形的弧长公式和面积公式： 扇形弧长公式： 扇形面积公式： 其中， 是圆心角（单位为度）， 是半径。 分析选项： A. 甲扇形的弧长是乙扇形弧长的二分之一 这个说法成立的前提是两个扇形的半径相等。如果半径不等，即使圆心角成比例，弧长也不一定成比例。因此该选项不一定成立。 B. 甲、乙扇形的弧长可以相等 这是可能的。例如，若甲扇形半径较大，乙扇形半径较小，通过调整半径大小，可以使两者的弧长相等。因此该选项正确。 C. 甲、乙扇形的弧长一定不相等 错误，理由同上，弧长可以相等。 D. 甲、乙扇形的面积一定不相等 错误，面积也可能相等，只要调整半径和角度的比例即可。 综上，正确答案为 B。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查扇形的弧长与面积公式，以及对代数表达式的理解与推理能力。 2. 题目求解要点 理解扇形弧长和面积的计算公式； 注意弧长和面积不仅与圆心角有关，还与半径有关； 判断“可以”或“一定”的逻辑关系。 3. 同类型题目解题步骤 写出相关几何图形的计算公式； 分析变量之间的关系； 判断在不同条件下结果是否一定成立、可能成立或不可能成立； 根据选项判断最合理的结论。 题目：第2题 解答： 已知大正方形边长为 ，小正方形边长为 ，且满足关系式： 要求图中阴影部分的面积和。 观察图形可知，阴影部分由一个大正方形减去三个小正方形组成，即： 将已知条件 变形得： 代入阴影面积公式： 但也可以直接利用原式进行整体代换： 所以阴影面积为： 但注意，这里我们不需要具体求出 的值，而是直接利用整体代换法得出： 由于 ，可得： 因此，阴影部分面积为 8。 正确答案为 A。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查代数式的变形与整体代换思想，以及图形面积的代数表达。 2. 题目求解要点 识别图形中阴影部分的面积表达式； 利用已知条件进行代数变形； 掌握整体代换的方法简化运算。 3. 同类型题目解题步骤 观察图形，写出阴影部分面积的代数表达式； 利用已知条件进行代数变形； 若存在多个变量，尝试整体代换； 化简后求出最终结果。 题目：第3题 解答： 逐项分析选项： A. 0 和 都是单项式 正确。单项式包括常数、字母及其乘积，0 和 都是常数，属于单项式。 B. 与 不是同类项 正确。同类项要求字母相同且次数一致，这两个式子中字母顺序不同，其次数也不同（一个是 ，一个是 ），不是同类项。 C. 不是代数式 正确。这是一个等式，表示的是一个等量关系，而不是单纯的代数式。 D. 与 都是多项式 错误。多项式是由若干个单项式相加组成的代数式，其中每一项只能是整式。而 中含有分母为字母的项，不是整式，因此不是多项式。 正确答案为 D。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查单项式、多项式、同类项及代数式的概念辨析。 2. 题目求解要点 明确单项式、多项式、同类项的定义； 注意分母中含有字母的式子不属于多项式； 能区分等式与代数式。 3. 同类型题目解题步骤 回顾基本概念（单项式、多项式、同类项）； 逐项分析每个选项是否符合定义； 特别注意分式形式是否为整式； 判断哪个选项不符合定义。 题目：第4题 解答： 题目要求选出符合书写规范的代数式。 分析选项： A. 正确。系数写在字母前，负号放在前面，分数形式规范。 B. 错误。带分数应转换为假分数，如应写为 。 C. 错误。除法应使用分数线表示，即 。 D. 错误。数字应写在字母前面，应写为 。 正确答案为 A。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查代数式的书写规范。 2. 题目求解要点 数字写在字母前面； 分数应为假分数形式； 除法应使用分数线而非除号； 避免带分数形式。 3. 同类型题目解题步骤 检查数字与字母的顺序； 判断是否使用了带分数； 检查除法是否使用分数线； 选择符合书写规范的选项。 题目：第5题 解答： 题目给出第一天游客人数为 ，第二天游客人数是第一天的2倍少300人，即： 问题问的是代数式 表示的意义。 我们来分析： 第一天游客人数是 第二天游客人数是 并不是直接表示某一天的人数，也不是两天总人数； 它比第一天人数少了300，但又不是第二天人数（因为第二天是 ）； 如果我们比较第一天和第二天人数差： 这说明 表示的是“第二天比第一天多的游客人数”。 正确答案为 B。 总结： 1. 题目考查内容 本题考查代数式在实际问题中的意义理解。 2. 题目求解要点 明确每一天游客人数的表达式； 通过代数运算判断某个代数式的实际含义； 注意“比……多”或“比……少”的表达方式。 3. 同类型题目解题步骤 写出每一天的数量表达式； 列出所给代数式； 通过代数运算判断其表示的实际意义； 选择最符合的选项。 列代数式表示数量关系 探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来看如何用代数式表示数量关系。在实际问题中，常常需要将数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式。例如，要表示两数的和与差的积，可以按照以下步骤进行： 通过图示我们可以清楚地看到，先计算两数的和，再计算两数的差，最后将这两个结果相乘，得到。这个例子说明，字母可以和数一样参与运算，用代数式表示数量关系既简明又具有一般性。 接下来我们研究反比例关系。通过冬季奥运会造雪的实际问题，我们发现当造雪总量固定为260 000 时，每天造雪量与造雪天数之间存在特定的关系： 从表中数据可以看出，随着每天造雪量的增加，所需的造雪天数在减少。具体计算如下： 每天造雪5 000 时，需要52天 每天造雪5 200 时，需要50天 每天造雪6 500 时，需要40天 通过计算可以发现，每天造雪量与造雪天数的乘积始终等于260 000。这种关系就是反比例关系：两个相关联的量，一个量变化另一个量也随之变化，且它们的乘积一定。用字母表示就是（为常数且）。 （二）师生互动 教师提问：同学们，刚才我们学习了反比例关系的定义，那么谁能举出生活中其他成反比例关系的例子呢？ 学生回答：在路程一定的情况下，行驶速度与所需时间成反比例关系。比如从家到学校的距离固定，骑车速度越快，所需时间就越少。 教师追问：很好！那如果考虑长方形的面积固定，长和宽之间是什么关系呢？ 学生思考后回答：长方形的面积=长×宽，当面积固定时，长和宽也是成反比例关系的。长增加时宽就要减小，长减小时宽就要增加。 （三）设计意图 通过具体实例引导学生理解代数式表示数量关系的方法，培养学生的符号意识和抽象思维能力。借助冬奥会造雪的实际问题，让学生从具体数据中归纳出反比例关系的特征，发展学生的数据分析能力和数学建模能力。通过师生互动中的举例环节，帮助学生将数学概念与生活实际相联系，体会数学的应用价值，同时培养学生的观察能力和语言表达能力。整个探究过程注重从具体到抽象的思维发展，遵循学生的认知规律。 新知应用 例3题目： 用代数式表示： (1) 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数。 (2) 把a元存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？ (3) 某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？ 解答： (1) 面包每个a元，共买2个，总价为： 元。 饮料每瓶b元，共买3瓶，总价为： 元。 所以总钱数为： 元。 (2) 利息计算公式为：利息 = 本金 × 年利率 × 存期。 本金为 元，年利率为 2.75%，即 ，存期为3年。 所以利息为：，即 元。 (3) 商品进价为 元，按进价的1.1倍标价，即标价为： 元。 后来降价80元出售，所以现在的售价为： 元。 总结 1.题目考查内容 ① 列代数式表示实际问题中的数量关系。 ② 简单的利息计算与价格变化问题建模。 ③ 数学语言与现实情境的转化能力。 2.题目求解要点 ① 明确题意中各量之间的关系，如总价、单价、数量等。 ② 掌握基本公式（如利息公式）并能代入数值进行代数运算。 ③ 注意单位的一致性，如百分数转化为小数参与运算。 ④ 能将文字描述转化为数学表达式，体现代数思想。 例4题目： 甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 km/h。 (1) 汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2) 如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 解答： (1) 时间 = 路程 ÷ 速度。 路程为240 km，速度为 km/h。 所以所需时间为： 小时。 (2) 加快速度后，速度变为 km/h。 所需时间为： 小时。 提前的时间为原来时间减去现在时间： 总结 1.题目考查内容 ① 用代数式表示时间、速度、路程之间的关系。 ② 分式运算在实际问题中的应用。 ③ 反映两个变量之间变化关系的表达方式。 2.题目求解要点 ① 熟悉基本公式“时间 = 路程 ÷ 速度”，并能代入具体数值或字母进行表达。 ② 能理解速度变化对时间的影响，并通过代数式表达这种变化。 ③ 注意分式运算的准确性，尤其是两个分式相减的形式。 例5题目： 如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 ，，，。分别往这四个容器中注入 的水。 (1) 四个容器中水的高度分别是多少厘米？ (2) 分别用 （单位：）和 （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 与 的关系， 与 成什么比例关系？ 解答： (1) 圆柱体积公式为：体积 = 底面积 × 高度。 已知体积为300 cm³，底面积分别为10、20、30、60 cm²。 所以高度分别为： (2) 由公式 ，可得：。 这说明 与 的乘积是一个定值，因此它们成反比例关系。 总结 1.题目考查内容 ① 圆柱体积公式的应用。 ② 用代数式表示两个变量之间的关系。 ③ 反比例函数的实际背景与识别。 2.题目求解要点 ① 熟练掌握圆柱体积公式，并能灵活变形求解高度。 ② 能根据数据归纳出变量之间的关系式。 ③ 理解反比例关系的本质是“乘积一定”，并能判断是否成立。 ④ 图形辅助理解变量间的变化趋势。 新知巩固 题目： 下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．三角形的高一定，三角形的面积和底 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 解答： 我们逐项分析： A．三角形的高一定，三角形的面积和底 三角形面积公式为： 当高一定时，面积与底成正比，不是反比例。 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 设总路程为 ，已走的路程为 ，则剩下的路程为 。 它们之间是差的关系，不是乘积一定的关系，也不是反比例。 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 圆柱体积公式为： 当底面积一定时，体积与高成正比，不是反比例。 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 设工作总量为 ，工作效率为 ，工作时间为 ，则有： 当工作总量 一定时，工作效率 和工作时间 的乘积为定值，即： 因此，这两个量成反比例关系。 ✅ 正确答案是：D 总结： 1.题目考查内容 本题考查的是反比例关系的判断，即两个量的乘积是否为定值。 2.题目求解要点 理解反比例关系的定义：两个量的乘积为定值，即 （ 为常数）。 能够根据实际问题中三个量之间的关系，判断哪两个量成反比例。 3.同类型题目解题步骤 找出题干中涉及的两个变量； 判断是否存在第三个不变量； 写出三者之间的基本关系式； 判断两个变量的乘积是否为定值； 若乘积为定值，则这两个量成反比例关系。 板书设计 代数式 ├─ 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，单独数或字母也是 │ ├─ 举例：，，，，，，5，t等 │ └─ 意义：表达从具体到一类，更具一般性 ├─ 列代数式 │ ├─ 步骤：如求两数和与差的积，先求与，再求积 │ └─ 作用：简明表示数量或数量关系 ├─ 比例关系 │ ├─ 正比例：工作量 = 工作效率×工作时间，效率不变，工作量与时间成正比例，如机器人识别范围与时间 │ └─ 反比例 │ ├─ 定义：两关联量，一量变，另一量也变，且乘积一定 │ ├─ 表达式：（确定且） │ └─ 举例：造雪问题、购物总价一定时单价与数量 教学反思 本节课围绕代数式的概念展开，通过实际问题引导学生理解用字母表示数的意义，并掌握列代数式的基本方法。教学设计贴近学生认知水平，注重从具体到抽象的思维过渡，结合工程、几何等实际情境，帮助学生理解代数式的本质和应用价值。课堂中通过思考与讨论，提升了学生的抽象概括能力和数学表达能力。成功之处在于情境创设贴近生活，学生参与积极，知识生成自然流畅；不足在于对代数式变式训练不够充分，部分学生在复杂表达式理解上仍存在困难，今后应加强针对性练习与个别指导。 学科网（北京）股份有限公司 $$