2.3等腰三角形的性质定理 同步练习 2025-2026学年浙教版数学八年级上册

2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，为中点，，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，延长到点，在内作射线，使得过点作，垂足为若，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如果等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为(    ) A. B. C. 或 D. 4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，若，则的长为  (    ) A. B. C. D. 6.典例在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 或 7.如图，在中，，，为线段上一动点不与点、点重合，连接，作，交线段于点以下四个结论： ； 当为中点时，； 当时，； 当为等腰三角形时，． 其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于、，画直线，为的中点，为直线上任意一点，若，的面积为，则的最小长度为(    ) A. B. C. D. 9.如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为  (    ) A. B. C. D. 10.若实数，满足，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是  (    ) A. B. C. 或 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.如图，等边的边长为，，两点分别从点，同时出发，沿的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，两点同时停止运动，则当，运动时间          时，为等腰三角形． 12.若一个等腰三角形中有两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为          ． 13.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是          ． 14.已知中，，交直线于点，，则的度数为          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在中，，是边上的中线，于点求证：D. 16.本小题分 如图，在中，，，的延长线交于点，求证：． 17.本小题分 如图，在中，，是边上的中线，于点求证：． 18.本小题分 已知：如图，点，在的边上，，求证：． 19.本小题分 如图，在中，． 作边的垂直平分线，与，分别相交于点，用尺规作图，保留痕迹，不要求写作法； 在的条件下，连接，若，求的度数． 20.本小题分 如图，在中，点在边上，，求和的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理根据，为中点，可知是的平分线，且，，则，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【解答】 解：， ． ，为中点， 是的平分线， 又， ， ． 故选C． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】见答案 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 根据题意可以求得和的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得的度数． 【解答】 解：在中，，， 所以， 因为点在边上，为直角三角形， 所以如图， 当时，则， 所以， 如图， 当时，则 ． 综上所述，的度数是或． 7.【答案】  【解析】解：， ， ，， ；故正确； 为中点，， ， ， ， ， ， ，故正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ；故正确； ， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， ， ，故错误， 故选：． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故正确； 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故正确； 根据全等三角形的性质得到；故正确； 根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故错误． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：连接，交直线于点，连接， ，为的中点， ， ，， ． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， 当点与点重合时，，为最小值， 的最小值为． 故选：． 连接，交直线于点，连接结合等腰三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式可求出由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，可知当点与点重合时，，为最小值，即可得出答案． 本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】  提示：连接，因为是等腰三角形，是底边的中点，所以，所以，所以因为是线段的垂直平分线，所以，所以，所以的长为的最小值，所以周长的最小值为． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】或  【解析】解：如图，设点、运动秒后，， 由运动知，，， ， 解得：， 点、运动秒后，是等腰三角形； 如图，假设是等腰三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ≌， ， 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，， ， ， 解得：故假设成立． 点、运动时间为秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：或． 分两种情况求解：如图，由，可列方程求解；如图，首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值． 此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点和的路程，理清线段之间的数量关系． 12.【答案】  【解析】解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形， 周长为； 当为腰时， 其它两边为和， ， 不能构成三角形，故舍去， 答案只有 故答案为： 因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 13.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了尺规作图作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．分两种情况画图，由作图可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【解答】 解：根据题意，补全图如下图所示； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为或． 14.【答案】或  【解析】解：当为锐角时，；  当为钝角时，． 15.【答案】证明：，是边上的中线， ，． ， ， ，， ， ．   【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到． 16.【答案】证明：在和中， ≌， ， ， ．  【解析】 本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质由，，是公共边，即可证得≌，则可得，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得． 17.【答案】证明：，是边上的中线， ，． ， ， ，， ， ．   【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到． 18.【答案】证明：如图，过点作于．   ， ； ， ， ， ．  【解析】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；要证明线段相等，只要过点作的垂线，利用三线合一得到为及的中点，线段相减即可得证． 19.【答案】【小题】 解：如图所示，即为所求． 【小题】 是的垂直平分线， ． ．   【解析】 略  略 20.【答案】解：，，，  设，则，  在中，  ，，，，．  【解析】略 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$