第十七章因式分解 分节教案2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章 因式分解 单 元 备 课 第17单元 本单元所需课时数 5课时 课标要求 1. 了解因式分解的概念、公因式的概念. 2. 正确区分整式乘法和因式分解. 3.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数). 教材分析 本章主要包括用提公因式法分解因式以及用公式法分解因式等知识.本章我们在整式的乘法的基础上，学习了与整式的乘法方向相反的变形——因式分解.整式的乘法是把几个整式相乘，得到一个新的整式，而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘.在本章，我们学习了两种分解因式的方法：提公因式法和公式法. 主要内容 本章的主要内容是用提公因式法分解因式以及用公式法分解因式.主要包括两节：第17.1节“用提公因式法分解因式”主要介绍因式分解的概念、公因式的概念、提公因式法；第17.2节“用公式法分解因式”主要包括公式法进行因式分解. 教学目标 1.理解因式分解的概念. 2.理解因式分解与整式乘法的区别. 3.能熟练地运用提公因式法、公式法分解因式. 课时分配 17.1 提公因式法分解因式 2课时 17.2 用公式法分解因式 3课时 教与学建议 1.重视发挥学生的主观能动性. 2.注意把握教学要求. 3.抓住教学重点和关键，突破教学难点. 17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 公因式是单个字母的因式分解 课题 公因式是单个字母的因式分解 课型 新授课 教学内容 教材第124-125页的内容 教学目标 1.理解因式分解的概念，区分整式乘法与因式分解. 2.了解公因式的概念，能熟练地运用提公因式法分解因式. 教学重难点 教学重点：因式分解的概念，提公因式法分解因式. 教学难点：理解因式分解与整式乘法的区别与联系，运用提公因式法分解因式. 教 学 过 程 备 注 1. 回顾旧知，引入新课 前面我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.反过来，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式. 2.发现探究，学习新知 【问题1】请把下列多项式写成整式的乘积的形式: (1)x2＋x= ； (2)x2－1= ； (3)x2+2x+1= . 追问1:根据整式的乘法，你能猜想出问题(1)(2)(3)的结果吗？ 学生自己思考，讨论得出结论： x2＋x＝x(x＋1)，x2－1＝(x＋1)(x－1)，x2+2x+1=(x+1)2. 教师提示学生用整式的乘法进行验证. 追问2:在多项式的变形中，有时需要把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.你认为因式分解与整式乘法有什么关系？ 学生独立思考，并回答因式分解与整式乘法是方向相反的变形关系. 【问题2】请观察多项式 pa+pb+pc，你能看出这个多项式有什么特点吗？ 学生独立观察、思考，发现这个多项式的各项都有一个公共的因式p，教师指出我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 追问：你能将这个多项式分解因式吗？ 教师引导学生思考，因式分解与整式的乘法是一份方向相反的变形关系，那么这个多项式应该是哪两个整式相乘的结果呢？考虑到整式的乘法p(a+b+c)=pa+pb+pc，所以可以得到因式分解 pa+pb+pc=p(a+b+c). 追问：分解后的各因式与原多项式有何关系？ 学生观察因式分解的式子，发现：分解后的一个因式是公因式p，另一个因式a+b+c是原多项式pa+pb+pc除以公因式p所得的商. 教师给出提公因式法的定义:一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 3.学以致用，应用新知 考点1 因式分解的判断 【例1】下列变形中，属于因式分解的是 ③ (填序号). ①a(b+c)=ab+ac； ②x3+2x2-3=x2(x+2)-3； ③a2-b2=(a+b)(a-b). 考点2 运用提公因式法分解因式 【例2】分解因式： （1）mx2+my2；（2）3x2-4xy2+x. 解：（1）mx2+my2＝m(x2+y2). （2）3x2-4xy2+x＝x·3x-x·4y2+x·1=x(3x-4y2+1)． 4.随堂训练，巩固新知 教材P125练习1,2,3. 【教材变式1】 下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③； ④． 答案：①②；③④ 【教材变式2】利用因式分解计算： (1)； (2)． （1）解： ； （2）解： ． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.因式分解和整式乘法有什么联系和区别？ 6.布置作业 1.教材P127习题17.1第1,2,3题； 2.教材P124复习题第5，题； 3.学霸创新题P77. 通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆关系，为后续探索因式分解的具体方法作铺垫. 让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括因式分解的判断和运用提公因式法分解因式. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 第1课时 公因式是单个字母的因式分解 1.因式分解： 例题 2.公因式： 练习 3.提公因式： 教学反思 本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果． 17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 公因式是单项式或多项式的因式分解 课题 公因式是单项式或多项式的因式分解 课型 新授课 教学内容 教材第125-126页的内容 教学目标 1.能熟练地将公因式是单项式或多项式的因式分解. 2.掌握提公因式法的步骤. 教学重难点 教学重点：熟练地将公因式是单项式或多项式的因式分解. 教学难点：掌握提公因式法的步骤. 教 学 过 程 备 注 2. 回顾旧知，引入新课 前面我们已经学习了公因式是单个字母的因式分解，对于较为复杂的多项式进行因式分解时就需要提取是单项式或多项式的公因式，请同学们尝试用上节课所学方法解决下列问题. 2.发现探究，学习新知 【问题1】把8a3b2+12ab3c分解因式. 教师引导学生思考，尝试解答.先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式.我们看这两项的系数8与12，它们的最大公因数是4；两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b，其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为要提出的公因式.提出公因式4ab2后，另一个因式2a2+3bc的两项就不再有公因式了. 教师指导学生书写步骤： 8a3b2+12ab3c =4ab2·2a2+4ab2·3bc =4ab2（2a2+3bc）. 【问题2】分解因式： （1）2a(b+c)-3(b+c)；（2）4(a-b)3+8(b-a)2. 教师引导学生思考，类比提取单项式的因式分解，多项式时又是如何提取的？在（1）中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式，可以用提公因式法分解因式；在（2）中，因为(b-a)2=(a-b)2，所以各项含有公因式4(a-b)2，也可以用提公因式法分解因式. （1）2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3)； （2）4(a-b)3+8(b-a)2 =4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2 =4(a-b)2(a-b+2). 追问：同学们能否归纳出提公因式法的步骤呢？ 学生观察因式分解的式子，小组积极讨论、发言，教师给出提公因式法的步骤: 1.准确找出多项式中各项的公因式. 2.如果多项式首项是负号，一般应先提出负号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出负号时，多项式的各项都要变号. 3.把公因式提取出来，剩余的部分作为另一个因式. 注意： （1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 3.学以致用，应用新知 考点1 提单项式公因式进行因式分解 【例1】分解因式： (1)； (2)； 解：（1） . （2） . 考点2 提多项式公因式进行因式分解 【例2】将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 答案：C 4.随堂训练，巩固新知 教材P126练习1,2. 【教材变式1】 分解因式：． 解： . 【教材变式2】先分解因式，再求值： 其中 解：4a2(x+7)-3(x+7) =(x+7)(4a2-3)， ∵a=-5，x=3， ∴原式=970. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.提公因式法的一般步骤是什么？ 2.提公因式法分解因式应注意什么？ 6.布置作业 1.教材P127习题17.1第4,5,6,7,8题； 2.教材P136复习题第1题； 3.学霸创新题P97. 通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中进一步理解提公因式法分解因式. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 17.1 用提公因式法分解因式 第2课时 公因式是单项式或多项式的因式分解 提公因式法的步骤 例题 练习 教学反思 本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受提公因式法在复杂多项式中的应用，在分解因式时需要注意的事项需反复提及，让学生增加印象，尽可能将课堂还给学生，让其有更多的时间练习本节内容，熟练进行分解因式. 17.2 用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 课题 运用平方差公式分解因式 课型 新授课 教学内容 教材第128-129页的内容 教学目标 1.会运用平方差公式分解因式. 2.理解用平方差公式分解因式的应用． 教学重难点 教学重点：运用平方差公式分解因式. 教学难点：用平方差公式分解因式的应用. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 请同学们计算下列各式： (1)(a+2)(a-2)；　　　　(2)(2m+n)(2m-n)． 教师请学生板书上面两道题的计算过程，并给出点评． (1)(a+2)(a-2)=a2-22=a2-4. (2)(2m+n)(2m-n)=(2m)2-n2=4m2-n2. 2.发现探究，学习新知 【问题1】你能运用因式分解与整式乘法的方向相反的变形关系分解因式a2-4和4m2-n2吗？ 教师指导学生完成下面的因式分解过程： a2-4＝a2-22＝(a+2)(a-2). 4m2-n2=(2m)2-n2=(2m+n)(2m-n). 追问：通过前面的因式分解，你能用平方差公式对形如a2－b2的是两个数的平方差的多项式进行因式分解吗？ 学生经过思考、讨论，给出因式分解的方法： 把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b). 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用平方差公式因式分解 【例1】分解因式： (1)4x2-9；(2)a2-25b2. 解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)． (2) a2-25b2=a2-(5b)2=(a+5b)(a-5b). 考点2 需要多步完成的因式分解 【例2】分解因式： (1)x2-y4；(2)(x+p)2-(x+q)2. 解：(1)x2-y4＝x2-(y2)2＝(x+y2)(x-y2)． (2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q)． 4.随堂训练，巩固新知 教材P129练习1,2. 【教材变式1】对于多项式①x2-y2；②-x2-y2；③4x2-y；④x2-4，能够用平方差公式进行因式分解的是( ) A．①和② B．①和③ C．②和④ D．①和④ 答案：D 【教材变式2】分解因式： (1)a2-81； (2)9a2x2-b2y2； (3)2a3-8ab2； (4)49(a-b)2-16(a+b)2. 解：(1)原式=(a+9)(a-9)． (2)原式=(3ax+by)(3ax-by)． (3)原式=2a(a+2b)(a-2b)． (4)原式=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(11a-3b)(3a-11b)． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.如何利用平方差公式进行因式分解？ 6.布置作业 1.教材P132习题17.2第1,7题； 2.教材P136复习题第2,7题； 3.学霸创新题P98-P99. 通过两道应用平方差公式的整式乘法入手，引出本节课的内容，激发学生强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自信心. 运用因式分解和整式乘法的关系分解因式a2－4和4m2－n2，引导学生发现应用平方差公式因式分解的式子的特点. 从特殊到一般，逐渐的出用公式法进行因式分解的一般形式. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括直接用平方差公式因式分解和不能一步分解到位，需要再分解. 在讲解例2时应强调：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 17.2 用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 运用平方差公式分解因式 例题 练习 教学反思 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底． 17.2 用公式法分解因式 第2课时 运用完全平方公式分解因式 课题 运用完全平方公式分解因式 课型 新授课 教学内容 教材第129-131页的内容 教学目标 1.会运用完全平方公式分解因式. 2.理解公式法的概念． 教学重难点 教学重点：运用完全平方公式分解因式. 教学难点：理解公式法的概念，熟练运用公式法分解因式. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 请同学们计算下列各式： (1)(a+3)2；　　　　(2)(2m-n)2． 教师请学生板书上面两道题的计算过程，并给出点评． (1)(a+3)2=a2+2×3×a+32＝a2+6a+9. (2)(2m-n)2=(2m)2-2×2m×n+n2＝4m2-4mn+n2. 2.发现探究，学习新知 【问题1】你能运用因式分解与整式乘法的方向相反的变形关系分解因式a2+6a+9和4m2-4mn+n2吗？ 教师指导学生完成下面的因式分解过程： a2+6a+9=a2+2×3×a+32＝(a+3)2. 4m2-4mn+n2=(2m)2-2×2m×n+n2＝(2m-n)2. 追问：通过前面的因式分解，你能用完全平方公式对形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的多项式进行因式分解吗？ 学生经过思考、讨论，给出因式分解的方法： 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2及 (a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2及a2-2ab+b2=(a-b)2. 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 追问：我们是怎么利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解的？ 学生讨论，教师给出定义：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用完全平方公式因式分解 【例1】分解因式： （1）x2+4x+4；(2)16x2+24x+9. 解：（1）x2+4x+4=x2+2·x·2+22=(x+2)2. (2)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2. 考点2 需要多步完成的因式分解 【例2】分解因式： (1)(a+b)2-12(a+b)+36；（2）-x2+4xy-4y2；. 解：(1)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2. (2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2. 4.随堂训练，巩固新知 教材P131练习1,2. 【教材变式1】多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） 答案：D 【教材变式2】把下列多项式因式分解： （1）x2-12x+36； （2）4a2-4a+1. （3）ax2 +2a2 x + a3； （4）-3x2 +6xy-3y2. 解：（1）原式=x2-2·x·6+62=（x-6）2 （2）原式=（2a）²-2·2a·1+1²=（2a-1）2. （3）原式 =a（x2+2a x+a2）=a(x+a)2； （4）原式=-3（x2 -2xy +y2）=-3(x-y )2. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.如何利用完全平方公式进行因式分解？ 6.布置作业 1.教材P132习题17.2第2,8题； 2.教材P136复习题第3题； 3.学霸创新题P100-P101. 利用完全平方公式进行整式乘法运算，复习完全全平方公式，同时引出本节课的内容，激发学生强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自信心. 运用因式分解和整式乘法的关系进行因式分解，引导学生发现应用完全平方公式因式分解的式子的特点. 从特殊到一般，逐渐得出用完全平方公式进行因式分解的一般形式. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括直接用完全平方公式因式分解和不能一步分解到位，需要再分解的情况. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 17.2 用公式法分解因式 第2课时 运用完全平方公式分解因式 1.运用完全平方公式分解因式 例题 2.公式法 练习 教学反思 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领． 17.2 用公式法分解因式 第3课时 复杂的因式分解 课题 复杂的因式分解 课型 新授课 教学内容 教材第131-132页的内容 教学目标 1.会多次运用公式法. 2.会综合运用提公因式法和公式法． 教学重难点 教学重点：多次运用公式法. 教学难点：综合运用提公因式法和公式法. 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.接下来我们一起来探究它们在分解因式中的应用. 2.发现探究，学习新知 【问题1】分解因式： （1）x4-y4；（2）a3b-ab. 教师指导学生完成下面的因式分解过程： x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y). a3b-ab=ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1). 教师强调：分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 【问题2】分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2；（2）-ax2+2a2x-a3. 学生经过思考、讨论，给出因式分解的方法： 先提公因式，再用公式法进一步分解因式. 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2. -ax2+2a2x-a3=-a(x2-2ax+a2)=-a(x-a)2. 3.学以致用，应用新知 考点1 多次运用公式法 【例1】分解因式： （1）81-x4；(2)a3-a. 解：（1）81-x4=(9+x2)(9-x2)=(9+x2)(3+x)(3-x). (2)a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1). 考点2 综合运用提公因式法和公式法 【例2】分解因式： （1）9x2﹣81；(2) 解：(1)9x2-81=9(x2-9)=9(x+3)(x-3). (2)3a2-12ab+12b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2. 4.随堂训练，巩固新知 教材P132练习1,2. 【教材变式1】把下列各式分解因式： (1) (2) 答案：(1) (2) 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.综合运用提公因式法和公式法时需要注意什么？ 6.布置作业 1.教材P132习题17.2第3,4,5,6,7题； 2.教材P136复习题第5,8题； 3.学霸创新题P102-P103. 通过学生自主探索，激发学生强烈的好奇心和求知欲，增强学生的自信心. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 17.2 用公式法分解因式 第3课时 复杂的因式分解 1.多次运用公式法 例题 2.综合运用提公因式法和公式法 练习 教学反思 本节课需要学生自主探索，在讲解例题时要注意运算步骤，强调把每一个多项式因式都分解到不能再分解为止.多做多练，让学生熟练掌握两种分解因式的方法，提高运算能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$