第22章二次函数第17课时二次函数与线段和差最值（将军饮马）问题 暑假预习课-2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第17课时二次函数与线段和差最值（将军饮马）问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 将军饮马：这个经典的问题其实是一个数学问题 知识原理：①两点之间线段最短；②垂线段最短 数学转化原理：化同侧为异侧，化异侧为同侧，化折线为直线. 模型1:当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点P，使得PA+PB最小. 方法：作点B关于直线/的对称点B',连接AB'交直线/于点P，点P即为所求作的点,PA+PB的最小值为AB' 模型2:当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点P，使得|PA-PB|最大. 方法：连接AB并延长交直线/于点P，点P即为所求作的点，|PA-PB|的最大值为AB 模型3:当两定点A、B在直线/异侧时，在直线/上找一点P，使得|PA-PB|最大. 方法：作点B关于直线/的对称点B' ，连接AB' 并延长交直线/于点P，点P即为所求作的点.|PA-PB|的最大值为AB' 模型4:点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，0A边上找点C，使得△PCD周长最小. 方法：分别作点P关于OA、OB的对称点P' 、P",连接P' P",交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求，△PCD 周长的最小值为P' P" 模型5:点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD+CD最小. 方法：作点P关于OB的对称点P',过P作P'C⊥OA交OB于点D，PD+CD的最小值为P'C 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，抛物线经过、、三点，若抛物线的对称轴上存在点使得四边形的周长最小，则四边形周长的最小值为  ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，轴对称最短路线问题． A、关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为所求的点，此时，四边形的周长最小值为：；根据勾股定理求得，即可求得． 【解答】 解：、关于对称轴对称，如图，连接，与对称轴的交点即为所求的点，此时， 四边形的周长最小值为：， 、、， ，，， ． 故选：． 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，在轴上存在、两点点在点右侧，，则当四边形周长最小时，点的坐标为  ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：将点、代入可得：，， ， 作轴，且，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时四边形周长最小， 、， 设的解析式为， 解得： 直线的解析式为：， 点为． 故选：． 此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，轴对称最短路线问题，一次函数的解析式等知识点，作好辅助线是解题的关键． 求出，作轴，且，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时四边形周长最小，求出直线的解析式为：，便可得出结果． 3.如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点点是该抛物线的对称轴上一个动点，则周长的最小值为  ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数的性质、轴对称最短路线问题以及两点间距离公式，属于常考题根据的周长为，可得当最小时，的周长最小，然后连接，交于点，点即所求的点，再得出，根据两点间距离公式分别求出和的长可得答案． 【解答】 解：的周长为， 是定值， 当最小时，的周长最小， 点、点关于抛物线的对称轴对称， 连接，交于点，点即所求的点， ， ， ，，， ，， 周长的最小值是． 故选C． 4.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，点的坐标为，是抛物线上一动点，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，确定点的位置是解题的关键．过点作轴于点，交抛物线于点，由结合三角形三边关系，即可得出此时周长取最小值，再由点、的坐标即可得出、的长度，进而得出周长的最小值． 【解答】 解：过点作轴于点，交抛物线于点，此时周长最小值， 、， ，， 周长的最小值． 故选：． 5.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等如图点的坐标为，是抛物线上动点，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据垂线段最短找出周长取最小值时点的位置是解题的关键． 过作轴于点，推出周长，当、、三点共线时最小，此时周长取最小值，再分别求出和，即可得出答案． 【解答】 解：过作轴于点， 由题意可知：， 周长， 又垂线段最短， 当、、三点共线时最小，此时周长取最小值， 过点作轴于点，交抛物线于点，此时周长最小值， 、， ，， 周长的最小值 故选：． 二、填空题： 6.如图，抛物线与轴交于点，点在点的左边，交轴于点，点为抛物线对称轴上一点．则的周长最小值是          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题是二次函数动点问题中的最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 连接，交对称轴于点，连接，，如图所示，则周长的最小值，再求出，，，根据勾股定理求出，，即可得出答案． 【解答】 解：如图，连接，交对称轴于点，连接，，如图所示： 由线段垂直平分线性质，得， 周长， 抛物线中，令，解得或；令，解得， ，，， ，，， 在中，有    ， 在中，有  ， 的周长的最小值为：  ， 故答案为  ． 7.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的坐标为______ ． 【答案】  【解析】【试题解析】 解：， 解得，或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ，得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 故答案为： 首先确定点和点的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标． 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为____． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查抛物线与轴的交点、轴对称最短路线问题，根据轴对称的性质得出点、的位置是解题的关键． 根据抛物线解析式求得点、点，作点关于轴的对称点、作点关于轴的对称点，从而得四边形的周长，当点、、、四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【解答】 解：如图， 在中，当时，，即点， ， 对称轴为，顶点， 则点关于对称轴的对称点的坐标为， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点， 连接、，与轴的交点、与轴的交点即为使四边形的周长最小的点，四边形的周长， ， ， ， 四边形的周长的最小值为：． 故答案为． 9.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在该抛物线的对称轴上存在点使得的周长最小，则的周长的最小值为          ． 【答案】  【解析】如图，连接交抛物线对称轴于，连接，由对称的性质可知，，则的周长为，可知当三点共线时，的周长最小，将代入得，，解得，，则，当，，即，由勾股定理得，，，进而可求周长最小值． 【详解】解：如图，连接交抛物线对称轴于，连接，    由对称的性质可知，， 的周长为， 当三点共线时，的周长最小， 将代入得，，解得， ， 当，，即， 由勾股定理得，，， 的周长的最小值为， 故答案为：． 10.如图，二次函数的图象经过点，与轴交于点，、分别为轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点的坐标为______． 【答案】  【解析】解：作点关于对称轴的对称点，则，作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，交对称轴于点，此时四边形的周长取得最小值， 将点代入得， 解得， 抛物线解析式为， 点坐标为， 则点， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 所以所在直线解析式为． 当时，， 故答案为： 别作点关于对称轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于点，交对称轴于点，此时四边形的周长取得最小值，再利用待定系数法求得抛物线解析式即可知点坐标，从而求解可得． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和轴对称最短路线问题是解题的关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)解：∵点A（-1，0）在抛物线y＝x2＋bx-3上，∴b＝-2．∴抛物线解析式为y＝x2-2x-3．∵抛物线y＝x2-2x-3＝（x-1）2-4，∴顶点D的坐标为（1，-4）．  (2)对于y＝x2-2x-3，当x＝0时，y＝-3，∴C（0，-3）．当y＝0时，x2-2x-3＝0，解得x1＝-1，x2＝3．∴B（3，0）．由抛物线的性质可知，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交抛物线的对称轴于点M，此时AM＋CM＝BC为最小值，故此时△ACM的周长最小．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线BC的解析式为y＝x-3．当x＝1时，y＝-2，故点M（1，-2）．  12.如图，为二次函数的图象，已知该图象经过点． 求该二次函数的解析式； 设该二次函数的图象与轴的交点为，顶点为，点为轴上一点，求周长的最小值． 【答案】(1)解：∵二次函数的最小值为1，a＞0， ∴①． 将点（2，3）代入y＝ax2＋bx＋3， 得4a＋2b＋3＝3②， 联立①②，解得a＝2，b＝－4， ∴该二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3；   (2)由题意，得A（0，3），B（1，1），如解图，作点A关于x轴的对称点A′， ∴A′（0，－3），连接A′B交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， ∴AP＝A′P， ∵AB为定值， ∴要使得△ABP周长最小，使得PA＋PB的值最小即可． 过点B作BD⊥y轴于点D， ∴点D坐标为（0，1）， ∴AD＝2，A′D＝4，BD＝1，∠ADB＝∠A′DB＝90°， ∴，， ∴△ABP周长的最小值为．   13.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】解：点在抛物线上， ， 抛物线解析式， 抛物线， 顶点的坐标． 对于， 当时，， ， 当时，，解得：，， ， 由抛物线的性质可知：点和是对称点， 连接交函数的对称轴于点，此时为最小值，而的长度是常数，故此时的周长最小， 设直线的表达式为， 则，解得， 故直线的表达式为， 当时，，故点．  【解析】把的坐标代入函数的解析式，即可求得的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标； 直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，的长就是最小值． 本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线与抛物线的对称轴的交点就是使取得最小值的的点，是本题解题的关键． 14.已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中、． 求这条抛物线的函数表达式； 在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 【答案】解：函数过点，，且对称轴为， 则：， 解得：， ； 答：存在，理由如下： 因为点、关于直线对称，连接交直线于点， 设直线为，代入和 得：，解得：， 直线为：， 将代入中，，   【解析】本题考查了抛物线和轴交点的坐标以及用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，正确找到点的位置是解题关键． 由点，在抛物线上以及抛物线的对称轴为即可求出其解析式； 因为点、关于直线对称，连接交直线于点，则此时的周长最小，设直线为，代入和则直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出的值，则点的坐标可求出． 15.如图，已知抛物线经过点，，三点，直线是抛物线的对称轴． 求抛物线的函数解析式； 设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】解：抛物线经过点，，三点， ，解得，， 即抛物线的函数解析式是； ， 该函数的对称轴是直线， 点关于直线对称的点为， 则过点和点的直线与直线的交点为，此时的周长最小， 设过点和点的直线解析式为， ，得 过点和点的直线解析式为， 当时，， 点的坐标为．  【解析】根据题意可以得到关于、、的三元一次方程组，从而可求得、、的值，进而求得抛物线的函数解析式； 根据轴对称最短路线问题可以求得点的坐标． 本题考查待定系数法求二次函数解析式、轴对称最短路径问题，解答本题的关键是明确用待定系数法求二次函数解析式的方法，利用轴对称和数形结合的思想解答． 16.如图，抛物线过点，顶点坐标为，且与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式 在直线上是否存在一点，使的周长最小若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的顶点坐标为， 可设其解析式为， 将代入，得， 故抛物线的解析式为． 存在． 如图，连接， 由知， 令，得， 令，得或， ，．，，， ，，， ，． 延长至，使，连接，交直线于点，连接，， 则，关于直线对称，， ，此时的周长最小． 由，，易得 设直线的解析式为， 将，代入， 得解得 直线的解析式为． 同理可求得直线的解析式为． 由解得 在直线上存在一点，使的周长最小．   【解析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，两函数交点坐标的求法等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 先由抛物线的顶点坐标为，可设其解析式为，再将代入，得，解方程求出的值即可得到抛物线的解析式； 先由勾股定理的逆定理得出，连结并延长至，使，连结，交直线于点，由轴对称的性质可知此时的周长最小，由，，根据中点坐标公式求出，再运用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后解方程组，即可求出点的坐标． 17.如图，抛物线的顶点为，且与轴右侧的交点为，直线与轴负半轴交于点，点关于轴对称的点为点． 若，求抛物线的解析式 在的条件下，在抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，求点的坐标 当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值． 【答案】解：与轴负半轴交于点， ． 由已知可得，， ，解得， 抛物线的解析式为 由得抛物线的解析式为，且顶点为， ， 与轴的交点为和， ， 抛物线的对称轴为直线， 点与点关于直线对称， 如图，连接与对称轴的交点即为点，此时的周长最小． ， 的周长为． ，， ，， 可得直线解析式为， 的周长的最小值为， 点的横坐标为， 由题意得，点的坐标为， 点在直线上方， 点到直线距离为， 当时，点到直线距离最大，最大值为．   【解析】本题考查二次函数的性质，轴对称最短路线问题；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离是解题关键． 根据二次函数的对称性得出，从而求得的值，再求出函数解析式即可； 根据轴对称最短路线问题即可求得函数的解析式； 首先求出点的坐标及点到直线距离，再进行求解即可． 18.如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴交于点． 求、两点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最小，求出点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得最大，求出点的坐标； 【答案】解：， 令，则，令，则或， 故点、的坐标分别为：、； 由知，抛物线于轴的另外一个交点坐标为，函数的对称轴为：，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴与点，则点为所求， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得： 直线的表达式为：， 当时，，故点； 当，，三点共线时，最大，等于， 设直线的解析式为，则，解得： 直线的表达式为：， 当时，，故点．  【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质以及轴对称最短等知识． ，令，则，令，则或，即可求解； 点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴与点，则点为所求，即可求解； 首先求出直线的解析式，即可求得点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第17课时二次函数与线段和差最值（将军饮马）问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 将军饮马：这个经典的问题其实是一个数学问题 知识原理：①两点之间线段最短；②垂线段最短 数学转化原理：化同侧为异侧，化异侧为同侧，化折线为直线. 模型1:当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点P，使得PA+PB最小. 方法：作点B关于直线/的对称点B',连接AB'交直线/于点P，点P即为所求作的点,PA+PB的最小值为AB' 模型2:当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点P，使得|PA-PB|最大. 方法：连接AB并延长交直线/于点P，点P即为所求作的点，|PA-PB|的最大值为AB 模型3:当两定点A、B在直线/异侧时，在直线/上找一点P，使得|PA-PB|最大. 方法：作点B关于直线/的对称点B' ，连接AB' 并延长交直线/于点P，点P即为所求作的点.|PA-PB|的最大值为AB' 模型4:点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，0A边上找点C，使得△PCD周长最小. 方法：分别作点P关于OA、OB的对称点P' 、P",连接P' P",交OA、OB于点C、D,点C、D即为所求，△PCD 周长的最小值为P' P" 模型5:点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD+CD最小. 方法：作点P关于OB的对称点P',过P作P'C⊥OA交OB于点D，PD+CD的最小值为P'C 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，抛物线经过、、三点，若抛物线的对称轴上存在点使得四边形的周长最小，则四边形周长的最小值为  ． A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、两点，在轴上存在、两点点在点右侧，，则当四边形周长最小时，点的坐标为  ． A. B. C. D. 3.如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线，且与轴交于点点是该抛物线的对称轴上一个动点，则周长的最小值为  ． A. B. C. D. 4.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，点的坐标为，是抛物线上一动点，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 5.已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等如图点的坐标为，是抛物线上动点，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.如图，抛物线与轴交于点，点在点的左边，交轴于点，点为抛物线对称轴上一点．则的周长最小值是          ． 7.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的坐标为______ ． 8.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为抛物线的顶点，点关于抛物线的对称轴的对称点为，点，分别在轴和轴上，则四边形周长的最小值为____． 9.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，在该抛物线的对称轴上存在点使得的周长最小，则的周长的最小值为          ． 10.如图，二次函数的图象经过点，与轴交于点，、分别为轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点的坐标为______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 12.如图，为二次函数的图象，已知该图象经过点． 求该二次函数的解析式； 设该二次函数的图象与轴的交点为，顶点为，点为轴上一点，求周长的最小值．   13.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 14.已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中 、． 求这条抛物线的函数表达式； 在对称轴上是否存在一点，使得的周长最小．若存在请求出点的坐标．若不存在请说明理由． 15.如图，已知抛物线经过点，，三点，直线是抛物线的对称轴． 求抛物线的函数解析式； 设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 16.如图，抛物线过点，顶点坐标为，且与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式 在直线上是否存在一点，使的周长最小若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 17.如图，抛物线的顶点为，且与轴右侧的交点为，直线与轴负半轴交于点，点关于轴对称的点为点． 若，求抛物线的解析式 在的条件下，在抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，求点的坐标 当点在直线上方时，求点到直线距离的最大值． 18.如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴交于点． 求、两点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得的周长最小，求出点的坐标； 已知该函数图象的对称轴上存在一点，使得最大，求出点的坐标； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$