精品解析：湖南省湘乡市东台中学2023-2024学年上学期七年级期中数学试卷

湘乡市东台中学2023年上学期期中考试七年级数学试题卷 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 下列各方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 方程的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 4. 下列各式不能使用平方差公式是（ ） A. B. C. D. 5. 用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 7. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（每小题全对得3分，少选得2分，错选不得分。） 9. 下列计算不正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 12. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C D. 三、填空题 13. 已知方程x＋y＝2，用含y的代数式表示x为____________． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 15. 已知，则的值为______． 16. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息计算_____． 四、解答题 17. 解下列方程组 （1）． （2）． 18. 因式分解 （1）． （2）． （3）． （4）． 19. 计算，能简便计算的请简便计算 （1）． （2）． （3）． （4）． 20. 先化简，再求值 ，其中． 21. 已知，求之值． 22. 已知有理数满足，．求下列各式的值． （1）； （2）． 23. 李大伯把一块L型的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是am，下底都是bm，高都是(b－a)m，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当a＝10，b＝30时这块菜地的面积． 24. 为建设资源节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”． (1)小张家今年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别多少元/千瓦时； (2)若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． 25. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 请解答下列问题： （1）写出由图②可以得到的数学等式　 　； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值； （3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　 　． 26. 【例题讲解】因式分解：x3﹣1． ∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值； （3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湘乡市东台中学2023年上学期期中考试七年级数学试题卷 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 下列各方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个方程均为整式方程；②共含两个不同未知数；③每个方程的次数为1，逐一判断即可． 【详解】解：A. 第二个方程含，次数为2，不符合一次方程要求； B. 含三个未知数，不符合二元条件； C. 第二个方程含二次项，次数为2； D. 两个方程均为一次整式方程，且仅含，符合定义． 故选：D． 2. 已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及参数求解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的几种解法，解方程前注意整体思想的使用． 可先将方程组中的两个方程整体相加，再利用即可解出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加， 左边相加得：， 右边相加得：， ∴， 两边同时除以得：， 由题意，代入得：， 解得． 故选：D． 3. 方程的正整数解有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得． 【详解】解：方程可化为， ∵，均为正整数， ∴，且是的倍数， ，且为偶数， 则当时，， 即方程的正整数解为，共有1组， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键． 4. 下列各式不能使用平方差公式的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，无互为相反数项，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5. 用提公因式法分解因式时，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案． 【详解】解：观察可知，这个多项式的每一项都含有， ∴提取的公因式为， 故选D． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 6. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方逆运算法则以及同底数幂的乘法逆运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 7. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程组，利用消元法解一元二次方程组是解题的关键． 利用加减消元法解答即可． 【详解】由题知， 得，， 解得， 把代入①中，得， 解得， 方程组的解为． 故选：C． 8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由甜果苦果共买千可得出，利用总价单价数量可得出，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【详解】解：甜果苦果共买千， ； 甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ． 联立两方程组成方程组． 故选：D． 二．多选题（每小题全对得3分，少选得2分，错选不得分。） 9. 下列计算不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方和完全平方公式，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算错误，符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，原计算错误，符合题意； 故选ABD 10. 下列各式中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过代数运算和符号分析，逐一验证各选项的正确性． 本题考查了等式的变形，乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 错误，不符合题意； B. 正确，符合题意； C. 正确，符合题意； D. 正确，符合题意； 故选：BCD． 11. 下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用完全平方公式因式分解， 有三项，且符合公式即可． 本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：A.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． B.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． C.，是完全平方公式分解．故本选项正确． D.无法用公式因式分解．故本选项错误． 故选：ABC． 12. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据完全平方公式因式分解，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 故选：BCD． 三、填空题 13. 已知方程x＋y＝2，用含y的代数式表示x为____________． 【答案】x＝2－y 【解析】 【分析】把y看做已知数求出x即可． 【详解】解：∵x＋y＝2， ∴x=2-y， 故答案为x=2-y． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将y看做已知数求出x． 14. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 15. 已知，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性，偶次方的非负性，代数式求值．根据非负数的性质求出，是解题的关键． 先根据非负数的性质得到，，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， 解得， ∴． 故答案为：1． 16. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】认真读懂题意，掌握新定义，利用新定义计算． 详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握新定义，利用新定义计算．也考查了合并同类项． 四、解答题 17. 解下列方程组 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 18. 因式分解 （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）直接由平方差公式分解因式即可； （3）先提取，再由完全平方公式分解即可； （4）先变形，再提取，然后由平方差公式分解即可． 小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 19. 计算，能简便计算的请简便计算 （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式计算，多项式乘以多项式的运算，同底数幂的乘法、积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算； （3）将原式变形为，再由平方差公式计算； （4）先将原式变形为，再由积的乘方逆运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用． 根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21. 已知，求之值． 【答案】 【解析】 【分析】先把中间几项改写成完全平方，再根据绝对值和完全平方的非负性得出方程组，从而求解． 【详解】， 由非负数的性质可得 解得 因此 【点睛】本题考查绝对值和完全平方的非负性在求代数式值中的应用，从题中提取出方程组是本题关键． 22. 已知有理数满足，．求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键． （1）首先利用完全平方公式展开，然后将两式相减进而求出即可； （2）由（1）得到，求出，进而代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴ ∴ ∴． 23. 李大伯把一块L型的菜地按如图所示的虚线分成面积相等的两个梯形，这两个梯形的上底都是am，下底都是bm，高都是(b－a)m，请你算一算这块菜地的面积是多少，并求出当a＝10，b＝30时这块菜地的面积． 【答案】这块菜地的面积S＝，当a＝10，b＝30时，菜地面积S＝800()． 【解析】 【分析】根据梯形的面积公式列出代数式，然后把a，b的值代入，再根据整式的乘法公式进行计算即可. 【详解】这块菜地的面积 S＝2× (a＋b)(b－a) ＝ ＝． 当a＝10，b＝30时，菜地面积S＝． 24. 为建设资源节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”． (1)小张家今年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时； (2)若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费． 【答案】（1）“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时；（2）98元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，则根据2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元，列方程组求解； （2）由（1）得出“基本电价”和“提高电价”求出6月份应上缴的电费． 试题解析：解：（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得： ，解之，得：． 答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时． （2）80×0.6+（130﹣80）×1=98（元）． 答：预计小张家6月份上缴的电费为98元． 点睛：此题考查的是二元一次方程组的应用，解题的关键是理解明确上缴电费的计算方法，列方程组求解． 25. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 请解答下列问题： （1）写出由图②可以得到的数学等式　 　； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值； （3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝　 　． 【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）11；（3）15 【解析】 【分析】（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，由此可得出等式； （2）将a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14代入（1）中所得的等式，计算即可； （3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，将等式左边展开，再比较系数即可得出x，y，z的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积， ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14， ∴62＝14+2（ab+ac+bc）， ∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11． （3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2， ∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2， ∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2， ∴x＝2，y＝9，z＝4， ∴x+y+z＝2+9+4＝15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景及多项式乘法等知识点，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 26. 【例题讲解】因式分解：x3﹣1． ∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立． ∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　 　； （2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值； （3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 【答案】（1）1；（2）－5；（3）能，（x2+x+1）（x2﹣x+1） 【解析】 【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果； （2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论； （3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论． 【详解】解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， ∴﹣m＝﹣1， ∴m＝1， 故答案为：1； （2）设另一个因式为（x2+ax+k）， （x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k， ∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k， ∴a+1＝3，a+k＝﹣3， 解得a＝2，k＝﹣5； 答：k的值为﹣5； （3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下： 设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1）， ①（x2+1）（x2+ax+b） ＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b ＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b， ∴a＝0，b+1＝1，b＝1， 由b+1＝1得b＝0≠1， ②（x2+x+1）（x2+ax+1） ＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1， ∴a+1＝0，a+2＝1， 解得a＝﹣1． 即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）， ∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积． 答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$