1.1.2空间向量的数量积【6个题型】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.1.2空间向量的数量积】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．空间向量的数量积运算 【知识点的认识】 1．空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作•，即•||||cos， （2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 3．空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律． （1）交换律：λ（）•（） （2）分配律：． 4．数量积的理解 （1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用 （2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有 【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法： 利用数量积求两点间的距离： 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小． 利用数量积证明垂直关系： （1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，； （2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直． 2．空间向量的投影向量与投影 【知识点的认识】 ﹣投影向量：向量在上的投影是． ﹣投影长度：投影的长度为． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求空间向量的数量积】【共6题】 一、单选题 1．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 3．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 5．已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则 ． 6．设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【题型2：利用数量积求模长】【共6题】 一、单选题 1．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 2．郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 3．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 4．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 6．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【题型3：利用数量积求夹角】【共6题】 一、单选题 1．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 5．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【题型4：求空间向量的投影向量】【共6题】 一、单选题 1．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 3．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 5．已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 6．如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 【题型5：数量积的综合计算】【共6题】 一、多选题 1．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 3．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 4．如图，平行六面体的校长均为3，且两两向量的夹角都是，过的平面与分别交于点，则（    ）    A．截面的面积为9 B． C．的夹角是 D．平行六面体的体积为 5．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（   ）    A．异面直线与所成的角为 B． C． D．直线与所成角的余弦值为0 【题型6：数量积的最值与范围】【共6题】 一、单选题 1．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 2．正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 4．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 5．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 6．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【1.1.2空间向量的数量积】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．空间向量的数量积运算 【知识点的认识】 1．空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作•，即•||||cos， （2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 3．空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律． （1）交换律：λ（）•（） （2）分配律：． 4．数量积的理解 （1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用 （2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有 【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法： 利用数量积求两点间的距离： 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小． 利用数量积证明垂直关系： （1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，； （2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直． 2．空间向量的投影向量与投影 【知识点的认识】 ﹣投影向量：向量在上的投影是． ﹣投影长度：投影的长度为． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求空间向量的数量积】【共6题】 一、单选题 1．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 2．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据长方体的结构特征及，应用向量数量积的运算律求值. 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 3．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 二、填空题 4．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 5．已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 6．设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 【题型2：利用数量积求模长】【共6题】 一、单选题 1．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 2．郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 3．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 所以，向量两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 4．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：B. 二、填空题 5．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 6．若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 【题型3：利用数量积求夹角】【共6题】 一、单选题 1．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 2．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 3．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 4．已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】由题意，再两边平方求解即可. 【详解】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 5．已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 二、填空题 6．已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量加法和数量积求解即可. 【详解】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 【题型4：求空间向量的投影向量】【共6题】 一、单选题 1．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 2．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 3．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    二、填空题 4．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 5．已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 【答案】 【分析】利用向量投影的概念可求得结果. 【详解】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 6．如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 【答案】 ， 【分析】根据向量的投影向量，投影数量的概念结合条件即得. 【详解】根据正六棱柱的性质，知，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以向量在，方向上的投影向量分别为，． 向量在方向上的投影数量为． 故答案为：，；. 【题型5：数量积的综合计算】【共6题】 一、多选题 1．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 2．如图，平行六面体中，，，与交于点，则下列说法不正确的有（ ） A．直线直线 B．若，则平面 C． D．若，则A1A与AC夹角的余弦值为 【答案】CD 【分析】A选项，根据空间向量计算出，得到，A正确；B选项，作出辅助线，证明出平面，得到，根据得到为直角三角形，即，结合，证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到；D选项，利用空间向量计算出，从而得到. 【详解】对于A，因为，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，A正确， 对于B，连接，    由选项A知， 因为在平行四边形中，，所以四边形为菱形， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，由于， 所以， 所以为直角三角形，即，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 所以B正确， 对于C，因为四边形为平行四边形，所以为的中点， 所以，所以，所以C错误， 对于D，设，，因为在菱形中，， 所以， 因为， 所以 ， 所以，所以D错误， 故选：CD. 3．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，且，则（    ） A． B． C． D．直线与平面所成的角为 【答案】BD 【分析】利用空间向量的线性运算，数量积以及模长公式可判断A,B,C;先证明面，进而说明为直线与平面所成的角，计算即可. 【详解】对于选项A: 在四棱柱中， 易得,， 所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,所以 所以，即,故选项B正确； 对于选项C: 由, 所以 所以,故选项C错误； 对于选项D:取的交点,连接, 因为底面是正方形，且， 所以,所以， 所以, 因为, 所以, 所以，即. 因为面， 所以面. 所以为在面的投影，即为直线与平面所成的角. 在中，易得，所以,故选项D正确. 故选：BD. 4．如图，平行六面体的校长均为3，且两两向量的夹角都是，过的平面与分别交于点，则（    ）    A．截面的面积为9 B． C．的夹角是 D．平行六面体的体积为 【答案】ABD 【分析】由平行六面体各棱对应向量的位置关系，结合线线角向量求法，应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律逐项判断. 【详解】菱形中， 所以，菱形为正方形，故面积为，正确； 平面与侧面的交线平行，平行，则是平行四边形， ，B正确； 因为，所以， 所以，故的夹角不是不正确； 由上知的夹角的正弦值是，所以平行六面体的高为， 则平行六面体的体积为，D正确. 故选：ABD 5．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，，，利用向量的加减法则，以为基底可得，可得A错误；由计算可得，可知B正确；分别表示出可得不为零，可得C错误；利用C中结论，分别求出，即可得，即D正确. 【详解】设，，， 对于A选项，因为，， 所以，， 所以，故A错误； 对于B选项，因为，，， 所以， 所以，故B正确； 对于C选项，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D选项，因为，， 所以， 因为，所以， ，所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 6．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（   ）    A．异面直线与所成的角为 B． C． D．直线与所成角的余弦值为0 【答案】BD 【分析】A选项，由异面直线夹角范围可判断选项正误；B选项，由向量首尾相连法则结合图形可判断选项正误；C选项，由B选项结合向量模长公式可判断选项正误；D选项，注意到，后由向量夹角余弦公式可判断选项正误. 【详解】A选项，因异面直线夹角范围为，故A错误； B选项，由图可知，又，则，故B正确. C选项，由题可得，， 则 ，故C错误； D选项，，因. 又，则 ，故D正确. 故选：BD 【题型6：数量积的最值与范围】【共6题】 一、单选题 1．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 2．正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，再化简可求得其最大值. 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则. 因为正四面体的棱长为3，所以， 所以，设内切球的半径为， 则，，解得， 是它内切球的直径，此时，， ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长， 的最大值为，所以的最大值为. 故选：D 二、填空题 3．已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三棱柱性质确定出内切球的半径和球心位置，再利用极化恒等式结合向量数量积的运算律计算可求出结果. 【详解】由正三棱柱的底面边长为可得底面三角形外接圆半径为； 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为外接圆的直径，即为， 设内切球球心为，如下图所示： 易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为1，即 所以， 又点是该正三棱柱表面上的动点，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用极化恒等式将数量积表达式化简可得，再由可得结果. 4．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 5．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 6．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$