第02讲 空间向量的数量积运算（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【解题思路】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【解题思路】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【解答过程】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【解题思路】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【解答过程】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B. 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【解题思路】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【解答过程】 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【解答过程】因为， 所以 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【解题思路】根据，计算可求数量积. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【解答过程】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 【题型3 空间向量的夹角的计算】 【例3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【解答过程】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【解题思路】由题意，再两边平方求解即可. 【解答过程】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【解答过程】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 【变式4.1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【解答过程】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【解题思路】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【解答过程】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将边长为1的正方形沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为（    ）    A． B．3 C． D． 【解题思路】根据结合数量积计算即可. 【解答过程】    取中点O，连接，， 依题平面平面，平面平面 ，平面，平面， ，则， 所以， 又 ，， 则 . 故选：D. 【题型5 向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·山西朔州·期末）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】根据线线垂直、线面垂直的知识确定正确答案. 【解答过程】由于平面，平面， 所以，则与垂直，D选项错误. 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，所以与垂直，C选项错误. 由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以与垂直，B选项错误. 由于与不一定垂直，是在平面内的射影， 所以与不一定垂直，即与的数量积不一定为，A选项正确. 故选：A.   【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）证明：由题意，因为，， 所以 ， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以 ， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【解题思路】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【解答过程】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【题型6 向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【解答过程】设，由题意得， 则, 设， 则,故. 由得， 得， 所以， 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】要求，需有，利用空间向量的线性运算将转化为即可. 【解答过程】 如图： ， ， . 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【变式6.3】（24-25高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解题思路】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可. （2）利用及向量的数量积求夹角即可. 【解答过程】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【解答过程】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A. 【变式7.3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【解题思路】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【解答过程】依题意得，，； 所以， 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【解答过程】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 5．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：A. 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【解题思路】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【解答过程】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 7．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【解题思路】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D. 8．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【解答过程】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【解题思路】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【解答过程】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量数量积的定义分别求解即可. 【解答过程】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 11．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】设，，，利用向量的加减法则，以为基底可得，可得A错误；由计算可得，可知B正确；分别表示出可得不为零，可得C错误；利用C中结论，分别求出，即可得，即D正确. 【解答过程】设，，， 对于A选项，因为，， 所以，， 所以，故A错误； 对于B选项，因为，，， 所以， 所以，故B正确； 对于C选项，易知， 此时 ，所以与不垂直，即C错误； 对于D选项，因为，， 所以， 因为，所以， ，所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 13 ． 【解题思路】利用向量数量积运算律即可求得的值. 【解答过程】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13. 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【解题思路】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【解答过程】 . 故答案为：. 14．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 2 .    【解题思路】根据向量的线性运算直接表示各向量，利用转化法可得向量数量积. 【解答过程】， ； 由题意易知， 则，， 则 ． 故答案为：2. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 17．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 18．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【解题思路】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 19．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【解题思路】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以 . （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以 . 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019】 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式1.2】（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【变式1.3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（24-25高二上·四川内江·期末）如图，已知三棱锥的每条棱长都为2，则（    ） A． B． C．2 D．0 【变式2.1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式2.3】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的夹角的计算】 【例3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【变式3.2】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二上·北京·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式4.2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【变式4.3】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将边长为1的正方形沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为（    ）    A． B．3 C． D． 【题型5 向量垂直的应用】 【例5】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·山西朔州·期末）如图，面为矩形，连接，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【变式5.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【题型6 向量数量积的应用】 【例6】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式6.3】（24-25高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型7 投影向量的求解】 【例7】（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【变式7.3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 8．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 10．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，， ，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 14．（24-25高二上·广东韶关·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点.设.若，则的值是 .    四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 16．（24-25高二上·上海·课后作业）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 17．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 18．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 19．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$