微点9进阶 几个特殊函数讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题三 函数的概念与性质 微点9  几个特殊函数 在函数学习的过程中，我们会经常遇到一些特殊的函数，涉及新背景、新定义，来考察我们的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.万变不离其宗，我们的都可以利用函数的定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性、对称性等性质进行研究，而不必畏难不前. 下面我们从以下三个问题进行探究： 1、对勾函数、飘带函数； 2、取大或取小函数； 3、高斯函数、狄利克雷函数. 探究一　对勾、飘带函数 【典例1】（23-24高一上·广东汕尾·期末）小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 【思路引导】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详细解析】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 【题后反思】对勾函数 （a＞0，b＞0）de 性质与图象如下： （1）性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性： 单调递增区间：（－∞，－），（　，＋∞）； 单调递减区间：（－，0），（0，）． ③渐近线：y＝ax和x＝0. （2）图象 【举一反三】 1．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】或##或 【分析】分，和三种情况，分别求函数在上的最大值和最小值，从而可求出的值. 【详解】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，，解得； ②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或. 当时，， 解得或(舍去)，则，经验证，符合题意. 当时，， 解得或，即(舍去)或(舍去). 综上，的值为或. 故答案为：或. 【典例2】（23-24高一下·贵州安顺·开学考试）试讨论函数的定义域、值域、单调性，并画出图象． 【思路引导】根据函数定义域、值域、单调性的定义分别求解和判断即可. 【详细解析】函数的定义域为， 值域为， 根据函数单调性的性质知， 函数在和上单调递增， 图象如下： 【题后反思】飘带函数y＝ax－ （a＞0，b＞0）的性质与图象如下： （1）性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性：在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增． ③渐近线：x＝0. （2）图象 【举一反三】 （24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习） 2．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)， 【分析】（1）由单调性定义证明即可； （2）借助（1）中结论，根据单调性得最值. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． （2）由（1）知在上递增， 所以，. 探究二　取大（小）函数 【典例3】定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详细解析】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 【题后反思】最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 【举一反三】 （23-24高一上·江苏连云港·期中） 3．已知对任意两个实数，定义，设函数，设函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为当时，，所以只需要考虑，若存在使得成立，则需要，分类讨论的对称轴与的位置确定最小值求解即可. 【详解】，，的函数图象如下图所示:   是二次函数，开口向上， 对称轴为直线， 因为当时，，所以恒成立，所以只需要考虑，此时. （1） 当时，在上是增函数，    若存在使得成立，需要，即，即， 则存在使得成立，故; （2）当时，在上是先减后增的函数，    需要，即， 解得或， 又， 故； （3）当时，在上是的减函数，    需要即， 综上所述，的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据定义，因为当时，，恒成立，当时，故需要，转化为二次函数最值问题即可. 【典例4】对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图像关于轴对称 D．函数最大值为2 【思路引导】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可. 【详细解析】由题意， 所以，即， 作出函数的图像如下: 由图像可知为偶函数，故选项A错误. 在区间上单调递增， 由. 可得在区间上不单调递增，故选项B错误. 由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确. 由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误. 故选：C 【题后反思】对于具体函数作出其图象分析性质是利器. 【举一反三】 （2024高三下·全国·竞赛） 4．已知，我们设.则当，，时， ；，， . 【答案】 ## ## 【分析】由条件可知，，，进而可以推出，进而可以求解. 【详解】因为 所以① ② 所以③ ①+②+③得： 所以，并且等号成立，如时等号成立 所以当，，时，; ，， 故答案为：； 探究三　高斯、狄利克雷函数 【典例5】高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用表示不超过x的最大整数.则方程的解的个数是（ ） A．0    B．1    C．2    D．3 【思路引导】根据函数新定义得，结合方程得求范围，再由有，且，讨论、、即可得解的个数. 【详细解析】由题意，则， 所以，即， 故， 由，则且，故，且， 若，则，满足； 若，则，满足； 若，则，不满足； 故其它情况均不满足题设， 综上，、为方程的解，共2个. 故选：C 【题后反思】高斯函数y＝[x]的性质与图象如下： （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． （3）图象 【举一反三】 （23-24高一上·青海海东·期中） 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【答案】AB 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以或，故D选项错误． 故选：AB 【典例8】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ） A．函数 为偶函数 B．函数 的值域是 C．对于任意的 ，都有 D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 【思路引导】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可. 【详细解析】由于， 对于选项A，设任意，则，； 设任意，则，； 总之，对于任意实数，恒成立，A正确； 对于选项B，的值域为，，B错误； 对于选项C，当，则，； 当，则，；C正确； 对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误； 故选：AC. 【题后反思】狄利克雷函数D（x）＝的性质如下： （1）定义域R；值域{0，1}． （2）奇偶性：偶函数． （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 【举一反三】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习） 6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则关于函数有（    ） A． B． C．，都有 D．函数的图象是两条直线 【答案】AC 【分析】分类讨论为有理数和无理数两种情况，可判断A；代入，可判断B；分析可得为偶函数，且任取一个不为零的有理数，对恒成立，可判断C由于有理数和无理数都不是连续的，可判断D； 【详解】对于A，当为有理数时，，所以， 当为无理数时，，，A正确； 对于B，，，所以，，B错误； 对于C，由题意，函数定义域为，且，所以为偶函数， 若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立， 故， 所以，都有，C正确 对于D，函数的图像是断续的点集，不是两条直线，D错误； 故选：AC 7．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 若，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 若，即时在上单调递减，所以， ， 所以，解得（舍去）； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD （23-24高一上·山东德州·期中多选） 8．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．在上为增函数 D．函数在区间有10个零点 【答案】AB 【分析】根据“高斯函数”的性质，画出函数的图象，即可判断选项. 【详解】 如图画出函数的图象， 根据“高斯函数”的定义，故A正确； 由图象可知，函数的值域为，故B正确； 由图象可知，函数在上不是单调增函数，故C错误； 函数在区间有11个零点，故D错误. 故选：AB （2024·济南质检） 9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（    ） A．函数的图象是两条直线 B． C． D．，都有 【答案】BD 【分析】由于有理数和无理数都不是连续的，可判断A； 分类讨论为有理数和无理数两种情况，可判断B； 代入，可判断C； 分析可得为偶函数，且任取一个不为零的有理数，对恒成立，可判断D 【详解】对于A，函数=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当为有理数时，，所以，当为无理数时，，，B正确； 对于C，，，所以，，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，对恒成立，故，所以，都有，D正确 故选：BD （24-25高一上·四川南充·开学考试） 10．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是 . 【答案】①② 【分析】根据高斯函数的定义对个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，，所以①正确. ②，因为，所以②正确. ③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，故③错误； ④当时，， 所以，公共点有无数个，所以④错误. 故答案为：①② 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 11．已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递减； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用作差法证得，由此可证得在区间上单调递减； （2）先求得双勾函数与时的取值，结合图像，可知区间的子集与全集情况，由此求得的取值范围． 【详解】（1）任取，不妨设， 因为， 因为，所以，，，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递减． （2）当时，（当且仅当时，等号成立），所以， 令，解得或， 结合双勾函数的图象可知，或， 所以当时，取得最小值为； 当时，的最大值为； 故的取值范围为． . 12．已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）设，，记的最小值，的最大值为，求．（表示，中的较大值，表示，中的较小值．） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将函数中的绝对值去掉，然后再分段求解即可； （2）根据题意作出两个函数的图像，根据题意可判断出图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像，从而可以找到所对应的区间，从而求出的值. 【详解】解：（1）当时，， 当时，由得，解得，不符合题意，舍去 当时，由得，所以， 当时，由得，解得，不合题意，舍去， 所以不等式的解集为； （2）如图，作出函数的图像，则图像实线部分为的图像，虚线部分为的图像， 当时，令，则， 整理得， 因为，所以， 所以， 当时，令，则， 所以， 因为，所以， 所以， 综上，， 所以 【点睛】此题考查求解绝对值不等式和解不等式，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点9  几个特殊函数 在函数学习的过程中，我们会经常遇到一些特殊的函数，涉及新背景、新定义，来考察我们的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.万变不离其宗，我们的都可以利用函数的定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性、对称性等性质进行研究，而不必畏难不前. 下面我们从以下三个问题进行探究： 1、对勾函数、飘带函数； 2、取大或取小函数； 3、高斯函数、狄利克雷函数. 探究一　对勾、飘带函数 【典例1】（23-24高一上·广东汕尾·期末）小明在研究函数时，发现具有其中一个性质：如果常数，那么函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数的定义域为，值域为，则实数a的值是 ． 【思路引导】当判断单调性，进而确定最值即可求范围，当再讨论的大小关系，结合的性质，判断上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围. 【详细解析】当时，即，在上递增， 故当时，，解得：，满足题设； 当，即， 若，即时，函数在上递减，在上递增， 故， 可得或（舍去）； 若，即时，函数在上递增， ，解得：，不满足题设. 故答案为：或. 【题后反思】对勾函数 （a＞0，b＞0）de 性质与图象如下： （1）性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性： 单调递增区间：（－∞，－），（　，＋∞）； 单调递减区间：（－，0），（0，）． ③渐近线：y＝ax和x＝0. （2）图象 【举一反三】 1．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【典例2】（23-24高一下·贵州安顺·开学考试）试讨论函数的定义域、值域、单调性，并画出图象． 【思路引导】根据函数定义域、值域、单调性的定义分别求解和判断即可. 【详细解析】函数的定义域为， 值域为， 根据函数单调性的性质知， 函数在和上单调递增， 图象如下： 【题后反思】飘带函数y＝ax－ （a＞0，b＞0）的性质与图象如下： （1）性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性：在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增． ③渐近线：x＝0. （2）图象 【举一反三】 （24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习） 2．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 探究二　取大（小）函数 【典例3】定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A．    B．    C．    D． 【思路引导】作出函数的图象，求出的最大值和最小值，即可得解. 【详细解析】， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值. 所以，区间的长度的取值范围是. 故选：BC. 【题后反思】最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 【举一反三】 （23-24高一上·江苏连云港·期中） 3．已知对任意两个实数，定义，设函数，设函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4】对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图像关于轴对称 D．函数最大值为2 【思路引导】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可. 【详细解析】由题意， 所以，即， 作出函数的图像如下: 由图像可知为偶函数，故选项A错误. 在区间上单调递增， 由. 可得在区间上不单调递增，故选项B错误. 由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确. 由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误. 故选：C 【题后反思】对于具体函数作出其图象分析性质是利器. 【举一反三】 （2024高三下·全国·竞赛） 4．已知，我们设.则当，，时， ；，， . 探究三　高斯、狄利克雷函数 【典例5】高斯函数是数学中的一种函数，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用表示不超过x的最大整数.则方程的解的个数是（ ） A．0    B．1    C．2    D．3 【思路引导】根据函数新定义得，结合方程得求范围，再由有，且，讨论、、即可得解的个数. 【详细解析】由题意，则， 所以，即， 故， 由，则且，故，且， 若，则，满足； 若，则，满足； 若，则，不满足； 故其它情况均不满足题设， 综上，、为方程的解，共2个. 故选：C 【题后反思】高斯函数y＝[x]的性质与图象如下： （1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． （2）性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． （3）图象 【举一反三】 （23-24高一上·青海海东·期中） 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上的值域是 C．在上是增函数 D． 【典例8】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ） A．函数 为偶函数 B．函数 的值域是 C．对于任意的 ，都有 D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形 【思路引导】选项A中注意“若，则；，则”即可；选项B中注意；选项C中，内层函数或，函数值都是有理数；选项D取特殊情况判断即可. 【详细解析】由于， 对于选项A，设任意，则，； 设任意，则，； 总之，对于任意实数，恒成立，A正确； 对于选项B，的值域为，，B错误； 对于选项C，当，则，； 当，则，；C正确； 对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误； 故选：AC. 【题后反思】狄利克雷函数D（x）＝的性质如下： （1）定义域R；值域{0，1}． （2）奇偶性：偶函数． （3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． （4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 【举一反三】（23-24高一上·广东东莞·阶段练习） 6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则关于函数有（    ） A． B． C．，都有 D．函数的图象是两条直线 7．形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． （23-24高一上·山东德州·期中多选） 8．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．在上为增函数 D．函数在区间有10个零点 （2024·济南质检） 9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（    ） A．函数的图象是两条直线 B． C． D．，都有 （24-25高一上·四川南充·开学考试） 10．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数. ① ② ③的最大值为1，最小值为0 ④与的图象有2个交点 以上结论正确的是 . 11．已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明在区间上单调递减； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围． 12．已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）设，，记的最小值，的最大值为，求．（表示，中的较大值，表示，中的较小值．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$