微点进阶 函数三要素讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题三 函数的概念与性质 微点6  函数三要素 高中教材对函数的概念给出了更严谨、抽象的定义，它包含三个要素：定义域、对应关系、值域，理解和掌握三要素是学习函数的基础，为下一步学习几个基本初等函数打下基础．我们从以下三个角度一一探究： 1、定义域问题 2、对应关系问题 3、值域问题 因为函数是非空数集之间的对应关系，因此函数的定义域是研究函数的前提．要抓住函数解析式的特点，寻找对应的方法研究自变量的取值范围．对于抽象函数，可利用整体换元求其定义域． 对解析式未知的函数，在研究过程中应当根据已知信息去构造数量关系求解，一般可以通过待定系数法、配凑或换元法、方程组法、赋值法解决． 函数的最值或值域是函数的一个重要的性质，可以与多个知识点进行整合，应掌握常用的解题思路：图象法、分离常数发、换元法、判别式法等． 类型一　定义域问题 【典例1】设函数的定义域为，则 （1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为______． 【思路引导】根据条件列不等式计算即可． 【详细解析】（1）由函数的定义域为得，解得， 故的定义域为． （2）由函数的定义域为得，解得， 故的定义域为． 【题后反思】求函数定义域应注意的问题：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接． 求抽象函数定义域时，可运用整体换元的思想方法． 【举一反三】 1．函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【典例2】已知函数的定义域是，求的定义域． 【思路引导】①先求的定义域，②再求的定义域． 【详细解析】因为的定义域是，即，所以， 即的定义域是．所以，解得， 所以的定义域是． 【题后反思】对于抽象函数来说：①若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式求出； ②若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域． 【举一反三】 2．已知，函数的定义域是，求的定义域. 类型二　对应关系问题 【典例3】（1）已知是一次函数，且，求的解析式． （2）已知函数，当时，求的解析式． （3）已知函数满足，求的解析式． 【思路引导】（1）先待定一次函数中系数的值，列出方程组，解方程组． （2）利用整体换元，将看成一个变元，要注意定义域．这里也可以写成配凑法：． （3）将，看成未知数，用替换后，构造二元不等式组求解． 【详细解析】（1）设，则，因为对任意实数恒成立，所以解得或 因此，或． （2）因为，令，则，且， 所以，，所以． （3）因为 ①，所以用替换，得 ②， 由②2①得． 【题后反思】函数解析式的常见求法． （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，可得的解析式． （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，令，将用表示．此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与［或等］的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，得到方程组，通过解方程组求出． 【举一反三】 3．已知 f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 【典例4】已知定义在上的函数满足，求解析式． 【思路引导】令，求出，令，求出，再分别令和，即可求出函数的解析式． 【详细解析】定义在上的函数满足， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以． 【题后反思】对于抽象函数求解析式，可以利用赋值法计算． 【举一反三】 4．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 类型三　值域问题 【典例5】求下列函数的值域． （1）； （2），； （3）； （4）． 【思路引导】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题． 【详细解析】（1），，即，的值域为． （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为． （3）， ，，的值域为． （4）令，则且，， 则当时，，的值域为． 【题后反思】函数值域的求法 （1）图象法：当函数的图象给出时，图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合即为函数的值域． （2）直接法：从自变量的范围入手，逐步推出的取值范围． （3）配方法：对于二次函数（或可看成二次函数的函数），常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来求值域． （4）换元法：运用换元，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． （5）分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数．将函数转化为只有分母含自变量的形式，进而求其值域． （6）反解法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围． 【举一反三】（24-25高一上·广东梅州·开学考试） 5．已知，，求的值域． 6．已知，求的值域． 【典例6】求下列函数的值域： （1）； （2）． 【思路引导】（1）因为，所以，再利用基本不等式求函数值域； （2）由知，整理得，再利用判别式法求函数值域即可． 【详细解析】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （2）由知， 整理得， 当时，方程无解； 当时，，即． 故所求函数的值域为． 【题后反思】基本不等式和判别式法是求值域的常见方法，也特别有效． 【举一反三】 7．已知函数的值域为[1，3]，求的值 8．已知实数，函数，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．求函数的值域（    ） A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞） （2024北京怀柔一中高三下学期） 10．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． （2024·福建泉州·模拟预测） 11．已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 12．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 13．函数的值域是 ． （23-24高一上·江苏无锡·阶段练习） 14．已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 15．已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 函数的概念与性质 微点6  函数三要素 高中教材对函数的概念给出了更严谨、抽象的定义，它包含三个要素：定义域、对应关系、值域，理解和掌握三要素是学习函数的基础，为下一步学习几个基本初等函数打下基础．我们从以下三个角度一一探究： 1、定义域问题 2、对应关系问题 3、值域问题 因为函数是非空数集之间的对应关系，因此函数的定义域是研究函数的前提．要抓住函数解析式的特点，寻找对应的方法研究自变量的取值范围．对于抽象函数，可利用整体换元求其定义域． 对解析式未知的函数，在研究过程中应当根据已知信息去构造数量关系求解，一般可以通过待定系数法、配凑或换元法、方程组法、赋值法解决． 函数的最值或值域是函数的一个重要的性质，可以与多个知识点进行整合，应掌握常用的解题思路：图象法、分离常数发、换元法、判别式法等． 类型一　定义域问题 【典例1】设函数的定义域为，则 （1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为______． 【思路引导】根据条件列不等式计算即可． 【详细解析】（1）由函数的定义域为得，解得， 故的定义域为． （2）由函数的定义域为得，解得， 故的定义域为． 【题后反思】求函数定义域应注意的问题：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接． 求抽象函数定义域时，可运用整体换元的思想方法． 【举一反三】 1．函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域得到不等式，计算可得到答案. 【详解】函数的定义域为，则函数的定义域满足，，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了抽象函数定义域，意在考查学生对于定义域的理解掌握. 【典例2】已知函数的定义域是，求的定义域． 【思路引导】①先求的定义域，②再求的定义域． 【详细解析】因为的定义域是，即，所以， 即的定义域是．所以，解得， 所以的定义域是． 【题后反思】对于抽象函数来说：①若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式求出； ②若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域． 【举一反三】 2．已知，函数的定义域是，求的定义域. 【答案】 【分析】由求和的范围，然后结合解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 所以函数的定义域由确定. 因为，所以，所以函数的定义域是. 类型二　对应关系问题 【典例3】（1）已知是一次函数，且，求的解析式． （2）已知函数，当时，求的解析式． （3）已知函数满足，求的解析式． 【思路引导】（1）先待定一次函数中系数的值，列出方程组，解方程组． （2）利用整体换元，将看成一个变元，要注意定义域．这里也可以写成配凑法：． （3）将，看成未知数，用替换后，构造二元不等式组求解． 【详细解析】（1）设，则，因为对任意实数恒成立，所以解得或 因此，或． （2）因为，令，则，且， 所以，，所以． （3）因为 ①，所以用替换，得 ②， 由②2①得． 【题后反思】函数解析式的常见求法． （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，可得的解析式． （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，令，将用表示．此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与［或等］的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，得到方程组，通过解方程组求出． 【举一反三】 3．已知 f(＋1)＝x＋2，求f(x)． 【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)． 【分析】解法一：(换元法)令，求得f(t)，进而得到f(x). 解法二：将已知函数的解析式配方得到f(＋1)＝(＋1)2－1，将＋1换成x即得，注意定义域. 【详解】解析：法一：(换元法) 令，则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：(配凑法) ∵x＋2＝(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1. 又∵＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 【点睛】吧求函数的解析式，涉及换元方法和配方法，属基础题，难度较易. 【典例4】已知定义在上的函数满足，求解析式． 【思路引导】令，求出，令，求出，再分别令和，即可求出函数的解析式． 【详细解析】定义在上的函数满足， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以． 【题后反思】对于抽象函数求解析式，可以利用赋值法计算． 【举一反三】 4．已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果. 【详解】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 类型三　值域问题 【典例5】求下列函数的值域． （1）； （2），； （3）； （4）． 【思路引导】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题． 【详细解析】（1），，即，的值域为． （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为． （3）， ，，的值域为． （4）令，则且，， 则当时，，的值域为． 【题后反思】函数值域的求法 （1）图象法：当函数的图象给出时，图象在轴上的投影所覆盖的实数的集合即为函数的值域． （2）直接法：从自变量的范围入手，逐步推出的取值范围． （3）配方法：对于二次函数（或可看成二次函数的函数），常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来求值域． （4）换元法：运用换元，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． （5）分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数．将函数转化为只有分母含自变量的形式，进而求其值域． （6）反解法：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围． 【举一反三】（24-25高一上·广东梅州·开学考试） 5．已知，，求的值域． 【答案】 【分析】根据题意求的解析式，结合二次函数求值域. 【详解】因为，， 所以， 则当时，， 所以的值域为. 6．已知，求的值域． 【答案】 【分析】利用换元法求的解析式，结合二次函数求值域. 【详解】因为， 令，则， 可得， 即， 所以当时，， 则的值域为 【典例6】求下列函数的值域： （1）； （2）． 【思路引导】（1）因为，所以，再利用基本不等式求函数值域； （2）由知，整理得，再利用判别式法求函数值域即可． 【详细解析】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故函数的值域为． （2）由知， 整理得， 当时，方程无解； 当时，，即． 故所求函数的值域为． 【题后反思】基本不等式和判别式法是求值域的常见方法，也特别有效． 【举一反三】 7．已知函数的值域为[1，3]，求的值 【答案】 【分析】根据判别式法求解函数值域即可求解 【详解】由题意定义域为，则在上有解，当符合题意，当，即 的解集为[1，3]，故1和3为关于y的二次方程的两个根所以 解得 8．已知实数，函数，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论和时，，与的大小关系，进而可得与的表达式，解方程即可求解. 【详解】因为， 当时，， 此时等价于， 所以，解得：，不满足，舍去； 当时，， 此时等价于， 所以，解得：，符合题意， 综上可得：， 故选：A． 9．求函数的值域（    ） A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞） 【答案】D 【分析】设t，t≥0，则x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y＝2x的值域． 【详解】解：设t，t≥0， 则x＝t2+1， ∴y＝2t2﹣t+2＝2（t）2， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． （2024北京怀柔一中高三下学期） 10．已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C （2024·福建泉州·模拟预测） 11．已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【分析】利用赋值法结合条件可得进而即得；或构造函数求解. 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 12．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成无解，再分和两种情况讨论，即可求出结果； （2）根据条件，将问题转化成的解集为，再分和两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的定义域为，又有意义需， 所以无解；当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得． 综上实数． （2）因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 13．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域；也可以设，结合平方差公式化简函数，再根据新元取值范围进行分析即可求出值域. 【详解】法一：由题且， 令，则，且， ∴且. 故函数的值域是. 法二：由题且， 令，则，，且， ∴且. 故函数的值域是. 故答案为：. （23-24高一上·江苏无锡·阶段练习） 14．已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式； （2）利用换元法求函数的值域. 【详解】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. （2）因为， 令， 所以， 因为，所以， 所以该函数的值域为. 15．已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【答案】. 【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解. 【详解】由已知等式， 令，，得． 又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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