精品解析：2025年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团中考数学三模试卷

2025年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体即可做出判断． 【详解】要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体，从上面看这个几何体之后发现只有A选项符合． 故选择A． 【点睛】本题考查三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解答本题的关键． 2. 截至年月日，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）达亿元，不仅仅是中国影史上首部破百亿大关的电影，更创造全球动画影史的新纪录，国漫崛起势不可挡．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 4. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 5. 如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质计算即可，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 如图：过作轴于， 是等边三角形， ，， ， 与位似，位似中心是原点，位似比是， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 7. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在B盘中，相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，再画树状图，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是， ∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是， ∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF 由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. （1）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． （2）因式分解：______． 【答案】 ①. 且 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意且解答即可． （2）先提取公因式，再套用公式解答即可． 本题考查了函数自变量计算，因式分解，熟练掌握因式分解，自变量计算是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意且， 解得且， 故答案为：且． （2）解：， 故答案为：． 12. 如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则、之间的距离______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，， ，， ， 、之间的距离为， 故答案为：． 13. 在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 【答案】 ①. 点 ②. 【解析】 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 14. 如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________． 【答案】2． 【解析】 【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案． 【详解】解：延长BC，交x轴于点D， 设点C(x，y)，AB=a， ∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角， ∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′ 再由翻折的性质得BC=B′C， ∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C， ∴S△OCD=xy=1， ∴S△OCB′=xy=1， 由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD， ∴点A、B的纵坐标都是2y， ∵AB∥x轴， ∴点A(x−a，2y)， ∴2y(x−a)=2， ∴xy−ay=1， ∵xy=2 ∴ay=1， ∴S△ABC=ay=， ∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解． 15. 如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小，作交的延长线于，的延长线交的延长线于，在中由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小， 理由：，， 是等边三角形， ，， ， 当、、、共线时，最小， 作交的延长线于，的延长线交的延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，，， ，，，， 中， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】先去分母，再移项，最后合并同类项，即可求解； 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值和解分式方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 故方程的解为； 原式 ， 且，， ， 则原式． 17. 二模考试后，九年一班张老师对在二模考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，而且购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在三模考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】（1）购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元 （2）至多需要购买个甲种笔记本 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一个甲种笔记本需要元，则购买一个乙种笔记本需要元，根据购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即甲种笔记本的单价，再将其代入中，即可求出乙种笔记本的单价； （2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个甲种笔记本需要元，则购买一个乙种笔记本需要元， 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元； 【小问2详解】 解：设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为． 答：至多需要购买个甲种笔记本． 18. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 【答案】（1）①50，②28.8， ③补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论，②利用圆心角的意义解答即可；③根据条形统计图的特点，解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，得（人）， 故答案为：50． D类所占圆心角为：， 故答案为：28.8． ②解：根据题意，得C类的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种， 故抽取到的两张卡片内容不一致概率为 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 19. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，取最大值为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数，二次函数的应用，用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成，二次函数的最大值为；也可整理成一般式：，最大值为：． （1）设与的函数表达式为：，把表格中的两组数值代入可得和的值，即可求出与的函数关系式； （2）设日销售利润为元，每盒糖果的利润销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； 【小问1详解】 解：设， 将代入， ． 解得：． ； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元． 则可得 ， 当时，取最大值为， 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； 20. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． （1）求，两点的高度差； （2）求居民楼的高度．参考数据： 【答案】（1），两点的高度差为 （2）居民楼的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此计算即可得出答案； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， ，两点的高度差为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 【答案】 （1）连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又． ， 即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2），， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 乐琪同学的证明方法 证明：∵，平分，则，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长到点，使，连接，延长， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明得出是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点，使，连接，延长证明,进而根据等腰直角三角形的性质得出，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到，得出三点共线，是等腰直角三角形，则，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，，证明得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，延长交于点，过点作于点，则是等腰直角三角形，， ∵，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点设的顶点横坐标为，的长为． 求关于的函数解析式； 与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）；或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，二次函数与几何变换，解直角三角形的计算，掌握二次函数的性质，二次函数与几何变换是解题的关键． （1）根据题意求出，即可解答； （2）根据题意求出，；设，作轴于点，根据，得到，列式求解即可； （3）根据题意表示出新抛物线的表达式，进而求出； 根据画出关与的大致图象如图，分类讨论，列出不等式组求解即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于， ， 解得，， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 令，， 解得，或， 令，得， ，， 设， 作轴于点，如图， ， ，即， ， 整理得，， ∴， 解得，或舍去， 点的横坐标为； 【小问3详解】 解：将抛物线沿水平方向平移，顶点的纵坐标不变，为， 新抛物线的表达式为， ， ， ． 的取值范围为或． 由得，画出大致图象如图， 随着的增大而增大， 或， 中含，，三个整数点不含边界， 当内恰有个整数点，时， 当时，， 当时，， ， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时， 当时，， 当时，， ， ， 或， ； 当内恰有个整数点，时，此种情况不存在，舍去； 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 截至年月日，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）达亿元，不仅仅是中国影史上首部破百亿大关的电影，更创造全球动画影史的新纪录，国漫崛起势不可挡．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 5. 如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. （1）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． （2）因式分解：______． 12. 如图，古琴，又称“琴”“瑶琴”“玉琴”“绿绮”或“丝桐”是中国传统拨弦乐器，有三千年以上的历史，琴上的一根弦长，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则、之间的距离______． 13. 在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是______，旋转角是______． 14. 如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________． 15. 如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 17. 二模考试后，九年一班张老师对在二模考试中取得优异成绩的同学进行表彰她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，已知购买甲种笔记本个与购买乙种笔记本个费用相同，而且购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． （1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ （2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，张老师决定在三模考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售如果张老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，则至多需要购买多少个甲种笔记本？ 18. 2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． （1）①此次共调查了________人； ②扇形统计图（图2）中类对应的圆心角度数为________． ③请将条形统计图（图1）补充完整． （2）将表示四个类型的字母，，，依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率． 19. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）y与x的函数表达式是____________________； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ 20. 如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． （1）求，两点的高度差； （2）求居民楼的高度．参考数据： 21. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长． 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接，，，求证：． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度． 23. 平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图，是第一象限抛物线上的点，，求点的横坐标； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为，与轴交于点设的顶点横坐标为，的长为． 求关于的函数解析式； 与轴围成的区域记为，与内部重合的区域（不含边界）记为当随的增大而增大，且内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $