精品解析： 天津市河北区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年天津市河北区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 3. 立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边，于点，，连接，若的周长为，则的周长为（    ） A B. C. D. 5. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向上平移3个单位长度，得到新的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在校运会中进入八年级男子立定跳远决赛的5位运动员成绩分别为，，，，，这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（ ） A 1 B. C. D. 2 10. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图(1)所示，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图(2)所示，则a的值为( ) A 3 B. 4 C. 6 D. 12 12. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 的倒数是________. 14. 直线与轴的交点坐标为______． 15. 已知一次函数，当时，函数的最大值是__________． 16. 某人参加一次应聘，计算机、英语、操作成绩（单位：分）分别为 80、90、82， 若三项成绩分别按 3：5：2，则她最后得分的平均分为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段的中点，则的长是 ________________． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形，为的中点，则的长等于________． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算下列各题． （1）； （2）． 20. 已知一次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值的取值范围． 21. 如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，过点作y轴的垂线交于点E，点B恰在这条直线上． （1）求的长； （2）求长． 22. 某学校为了了解学生课外阅读情况，随机抽取了a名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 图① 图② 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组学生一周的课外阅读时间数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校共有学生1200人，估计该校学生一周的课外阅读时间大于的人数． 23. 李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李磊离开家的时间 分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ （2）填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； （3）当时，请直接写出关于的函数解析式； （4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴，轴的正半轴上，直线经过线段的中点，与轴交于点，是线段上一点，作点关于直线的对称点，连接，，设点的坐标为． （1）写出点的坐标是______，______； （2）当时，求点的坐标； （3）在点的整个运动过程中， 当四边形为菱形时，求点的坐标； 若为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为矩形时，的值为______请直接写出答案 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市河北区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：A. 当有意义时，，解得，不符合题意 B. 当有意义时，，解得，不符合题意 C. 当有意义时，，解得，不符合题意 D. 当有意义时，，解得，符合题意， 故选D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，掌握被开方数为非负数，分母不为0是解题的关键． 2. 如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路 A. 30 B. 20 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AB=40米，BC=30米， ∴AC==50（米）， 30+40-50=20（米）， ∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理． 3. 立定跳远是集弹跳、爆发力、身体的协调性和技术等方面的身体素质于一体的运动．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，在连续一周的训练中，他们成绩的平均数和方差如下表，则成绩最稳定的是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（厘米） 242 239 242 242 方差 2.1 7 5 0.7 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义求解即可． 【详解】解：由表知，丁成绩的方差最小，所以成绩最稳定的是丁， 故选：D． 4. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边，于点，，连接，若的周长为，则的周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：C． 5. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据正比例函数走向与系数的关系可知时，函数随的增大而减小．再根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴函数随的增大而减小， ， ， 故选：B． 6. 将直线向上平移3个单位长度，得到新的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握对于直线上下平移规律为“上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 7. 如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论． 【详解】解：根据图象可得，一次函数在x轴下方部分对应的x的范围是， ∴关于的不等式的解集为． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键． 8. 在校运会中进入八年级男子立定跳远决赛的5位运动员成绩分别为，，，，，这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识．把数据从小到大的顺序排列，根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数为：． 故选：B． 9. 如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据矩形的性质和折叠的性质证明得到，过点E作于G，则四边形是矩形，可得，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于G，则四边形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点分别是四边形边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意； ③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意； ④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边上AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图(1)所示，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图(2)所示，则a的值为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件和图象可以得到BC、AC的长度，当x＝4时，点P与点C重合，此时S△BDP＝S△ABC，从而可以求出a的值． 【详解】解：根据函数图象可得，当x＝4时，点P与点C重合，BC＝4，AC＝7−4＝3， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴当x＝4时，S△BDP＝S△ABC， ∴a＝××3×4＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题． 12. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 的倒数是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，则的倒数可表示为化简即可. 【详解】的倒数可表示为 分母有理化，得 所以 的倒数是 故答案为 【点睛】考查倒数的定义以及二次根式分母有理化，熟练掌握倒数的定义是解题的关键. 14. 直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．代入，求出的值，进而可得出直线与轴的交点坐标为． 【详解】解：当时，， 解得：， 直线与轴的交点坐标为， 故答案为：． 15. 已知一次函数，当时，函数的最大值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据知道一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴一次函数是单调递减函数，即y随x的增大而减小， ∴当时，在时y取得最大值， 即：当时，y的最大值为：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数，当时y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键． 16. 某人参加一次应聘，计算机、英语、操作成绩（单位：分）分别为 80、90、82， 若三项成绩分别按 3：5：2，则她最后得分的平均分为_____． 【答案】85.4 分 【解析】 【分析】根据加权平均数的概念,注意相对应的权比即可求解. 【详解】8030%+9050%+8220%=85.4 【点睛】本题考查了加权平均数的求法,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是线段的中点，则的长是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，先根据一次函数解析式求出，，根据勾股定理求出，根据直角三角形性质求出即可． 【详解】解：令则， ∴点A的坐标为， ∴， 令，则， 解得：， ∴， 由勾股定理， ， ∵点C是线段的中点， ∴． 故答案为：． 18. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形，为的中点，则的长等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，得到点，过点G作轴于点M，则，证明，则，得到,则点G的坐标是，由为的中点，得到点H的坐标是，进一步即可求得的长． 【详解】解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为4，点为边上一点，， ∴点， 过点G作轴于点M，则， ∴， ∵以为边作正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴点G的坐标是， ∵为的中点， ∴点H的坐标是，即， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、坐标与图形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算下列各题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先根据完全平方公式、二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知一次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值的取值范围． 【答案】（1）该一次函数解析式为 （2）该一次函数的函数值的取值范围是 【解析】 【分析】（1）将点，的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图像的性质及函数的解析式求出的取值范围． 【小问1详解】 ∵点，在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，过点作y轴的垂线交于点E，点B恰在这条直线上． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可证明，从而得到，可得设，则，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 即． 22. 某学校为了了解学生课外阅读情况，随机抽取了a名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 图① 图② 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为_______，图①中m的值为_______； （2）求统计的这组学生一周的课外阅读时间数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校共有学生1200人，估计该校学生一周的课外阅读时间大于的人数． 【答案】（1） （2）平均数是5.8，众数为5，中位数为6 （3）该校学生一周的课外阅读时间大于的人数为360人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，中位数，众数，平均数的求解，样本估计总体，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据扇形统计图和条形统计图可知每周平均阅读时间的学生有8人，占，，用人数除以所占比例即可求出抽查学生人数，由条形统计图得每周平均阅读时间的学生有10人，除以中人数计算即可； （2）根据中位数，众数，平均数的定义进行求解即可； （3）用1200乘以一周的课外阅读时间大于的人数所占比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由统计图得：每周平均阅读时间的学生有8人，占， 调查的总人数：， 由条形统计图得每周平均阅读时间的学生有10人， ，则； 【小问2详解】 解：由条形统计图得： ， 这组数据的平均数是5.8； 在这组数据中，一周阅读的有12人，出现的次数最多， 这组数据的众数为5． 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6，有， 这组数据的中位数为6． 【小问3详解】 解：（人） 答：该校学生一周课外阅读时间大于的人数为360人 23. 李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 李磊离开家的时间 分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ （2）填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； （3）当时，请直接写出关于的函数解析式； （4）若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 【答案】（1）见解析 （2）①1500；②450 （3） （4）她在途中遇到李磊时是离开家或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是弄清楚坐标轴表示的实际意义． （1）直接根据函数图象提供的信息填写即可； （2）根据图象可已看出， 李磊家到学校的距离为； 从文具店到学校用了，路程是，利用求出； （3）分三段，其中当，时的图象是线段，可知其是一次函数，可用待定系数法求其解析式，当时，其图象平行于轴，； （4）根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由图象可以看出，李磊离开家的时间分别是分钟，分钟时，距离家的距离分别是，． 填表： 李磊离开家的时间 李磊离开家的距离 800 600 【小问2详解】 解：在图中，纵轴表示的是李磊离家的距离，横轴表示离家用的时间． 从图中可以看出，李磊到学校时离家的距离是，所以李磊家到学校的路程是． 从图中可以看出，从文具店到学校的路程为，所用的时间为， 所以从文具店到学校的速度为． 【小问3详解】 解：从图中可以看出，在时，图象分为三段， 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 当时， 图象为平行于轴的线段， ∴． 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 综上所述，； 【小问4详解】 解：设王淼在途中遇到李磊时是离开家分钟，根据题意得： 或， 解得或． 答：她在途中遇到李磊时是离开家或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴，轴的正半轴上，直线经过线段的中点，与轴交于点，是线段上一点，作点关于直线的对称点，连接，，设点的坐标为． （1）写出点的坐标是______，______； （2）当时，求点的坐标； （3）在点的整个运动过程中， 当四边形为菱形时，求点的坐标； 若为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为矩形时，的值为______请直接写出答案 【答案】（1）6，6 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）对于，令，即，解得，故点的坐标分别为、则点，即可求解； （2）对于，令，求出点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可； （3）①根据菱形的性质得出，，判断出在的延长线．上，由列出等式，求解即可； ②当，，，四点构成的四边形为矩形时，，则该矩形为正方形，则为直角，过点作轴的平行线交的延长线于点，由三角形形全等的判定推出，推出点、重合，则点在轴上，则，即可表示出点的坐标，由，列出等量关系求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，令，即， 解得， 故点的坐标分别为， 则点， 由正方形， 故， 故答案为：6，6． 【小问2详解】 解：根据题意，，令， 则， ， 点关于直线的对称点， ， ， 设点的坐标为， ， ，， ， ， 解得， 点的坐标为． 【小问3详解】 解：若四边形为菱形，则． 轴，即在的延长线上， 根据菱形的性质知：， 点的坐标为， ，， ， 解得：， ； 如下图，当，，，四点构成的四边形为矩形时， ，则该矩形为正方形，则为直角， 故点作轴的平行线交的延长线于点， ，， ， ，， ， ，， 故点、重合，则点在轴上，则， 故点， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握一次函数以及菱形、矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $