精品解析：湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

2025年上期期末检测试题八年级数学 （时量为120分钟，总分120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 3. 为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（ ） 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1 1.6 A. 甲小组 B. 乙小组 C. 丙小组 D. 丁小组 4 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（ ） A. B. C D. 7. 关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，若点是的中点，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 点在第______象限． 13. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 14. 已知关于分式方程有增根，则的值是____． 15. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 16. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 17. 如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则_____后四边形是平行四边形． 18. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 西安市2024年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数共有______人，并补全条形统计图． （2）样本中，测试成绩的中位数是______分，众数是______分． （3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分． 22. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa． （3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？ 23. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 24. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 25. 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 26. 在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，，中，线段的直角点是______； （2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线l的解析式为． ①如图2，是直线上一个动点，若是以线段为直角边的直角点，求点的坐标； ②点是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线关于点的伴随点，求出正方形边长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上期期末检测试题八年级数学 （时量为120分钟，总分120分） 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.000009用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，即n的值为小数点向右移动位数的相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数据0.000009用科学记数法表示为， 故选：C． 2. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. ±1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 3. 为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（ ） 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组 92 92 95 95 1 1.3 1 1.6 A. 甲小组 B. 乙小组 C. 丙小组 D. 丁小组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差作决策，根据平均数越高，成绩越好，方差越小，状态越稳定，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小， ∴丙小组的成绩较好且状态稳定， 故应选的小组为丙小组； 故选C． 4. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是通过去分母将其转化为整式方程．观察方程两边的分母均为，确定最简公分母为，两边同乘后消去分母． 【详解】解：， 方程两边同乘，得： ， ， 故选A． 5. 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，解题关键在于熟练掌握各个知识点的衔接和运用； 先由平行四边形的性质得到，进而由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，再建立方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，则 ， 故选：A 7. 关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项． 【详解】解：A、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项正确； B、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误； C、反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项错误； D、反比例函数（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx-k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再由勾股定理可得的长，然后根据等积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 10. 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，若点是的中点，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作，交于，交于，根据正方形的性质得出四边形，四边形是矩形，、都是等腰直角三角形，即可得出，，利用证明，得出，，利用证明，得出，即可求出，，利用勾股定理求出即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形，四边形是矩形，、都是等腰直角三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案：． 12. 点在第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握象限中点的特点是关键． 根据象限中点的符号判定即可，第一象限中点的符合，第二象限中点的符合，第三象限中点的符合，第四象限中点的符合． 【详解】解：，， ∴点在第三象限， 故答案为：三． 13. 某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义计算即可． 本题考查加权平均数的计算，理解加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解∶∵， ∴最终得分为 (分)． 故答案为． 14. 已知关于的分式方程有增根，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，先把原方程去分母得到，再求出原方程的增根为，据此把代入方程中即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， ∵原方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【答案】＃＃50度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．首先需要确定矩形的性质，包括对角线的长度和角度，然后通过比较线段长度来确定角度关系，最后通过计算来确定所求的角度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 故答案为：． 16. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 【详解】解：令点P的坐标为， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则_____后四边形是平行四边形． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，根据平行四边形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 解得， ∴后四边形是平行四边形． 故答案为：． 18. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，全等三角形的性质与判定，连接，由正方形的性质可得，证明，得到，则可推出当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长， ∵图②中，图象上最低点的坐标为， ∴； ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∴当时，原式． 21. 西安市2024年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题： （1）本次调查的学生人数共有______人，并补全条形统计图． （2）样本中，测试成绩的中位数是______分，众数是______分． （3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分． 【答案】（1）50，见解析 （2）98，100 （3）800名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求中位数和众数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）用得分为96分的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而求出98分的人数即可补全统计图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）用2000乘以样本中获得满分的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次调查的学生人数共有50人， 人， ∴得分为98分的人数有14人， 补全统计图如下所示： 故答案为：50； 【小问2详解】 解：把这50人的得分按照从低到高排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∴中位数为分； ∵得分为100分的人数最多， ∴众数为100分； 故答案为：98，100； 【小问3详解】 解：名， ∴估计该校九年级中考综合速度测试将有900名学生可以获得满分． 22. 为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa． （3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）100 （3）不少于 【解析】 【分析】(1) 设反比例函数的表达式为，将代入计算即可． (2)代入解析式计算即可． (3)代入解析式计算即可． 【小问1详解】 设反比例函数的表达式为， 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 故答案为：100． 【小问3详解】 当时，， ∴为了安全起见，气体的体积应不少于． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 23. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、． （1）求证：； （2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用． （1）根据平行四边形性质得出，推出，根据证两三角形全等即可； （2）根据全等得出，，推出，根据，得出平行四边形，根据矩形的判定推出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 24. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”．2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示： 品名 大樱桃 小樱桃 进价／（元／千克） 总价／元 1134 630 （1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元． （2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？ （3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？ 【答案】（1）每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元 （2）张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润 （3）第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出分式方程、函数解析式以及不等式是解题的关键。 （1）设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃，先根据题意列不等式求得a的取值范围，设总利润为元，根据题意，得．然后根据一次函数的性质求解即可； （3）直接根据题意列不等式求解即可。 【小问1详解】 解：设每千克小樱桃的进价为元，则每千克大樱桃的进价为元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合实际意义，． 答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元． 【小问2详解】 解：设张大爷再购进千克大樱桃，则购进千克小樱桃． 根据题意，得，解得:． 每千克大樱桃的利润为（元），每千克小樱桃的利润为（元）． 设总利润为元，根据题意，得． , 随的增大而增大， 当时，有最大值，此时． 答：张大爷再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃，才能获得最大利润． 【小问3详解】 解：根据题意，得，解得． 答：第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元． 25. 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积； （3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）8 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，求出，利用反比例函数求点B的坐标为，将点A、B坐标代入一次函数表达式解方程组即可； （2）求出点C的坐标得到，再利用即可求出的面积； （3）由点A、C的坐标求，设点Q的坐标为，点M的坐标为，当为边时，则或，即或，解方程求出m的值，再根据菱形的对角线中点坐标相同求出s、t的值即可；当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解方程组即可． 【小问1详解】 解：把代入到中得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 把代入到中得， ∴， ∴， 把和代入到中得， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴； 设点Q的坐标为，点M的坐标为， 当边时，若，则， 解得， ∵菱形对角线中点坐标相同， ∴， ∴， ∴或， ∴点M的坐标为或； 若，则， 解得（舍去）或， ∵菱形对角线中点坐标相同， ∴， ∴， ∴或， ∴点M的坐标为； 当是对角线时，则，且的中点即为的中点， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式与反比例函数解析式，菱形的性质，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，，中，线段的直角点是______； （2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线l的解析式为． ①如图2，是直线上的一个动点，若是以线段为直角边的直角点，求点的坐标； ②点是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线关于点的伴随点，求出正方形边长的取值范围． 【答案】（1）， （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，判断，，的形状即可； （2）①设点的坐标为，根据题意分三种情况分析：当时，当时，当时，依次分析判断即可；②设，以为边向下作正方形，连接，交于点，则，，是线段的等腰直角点．过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，得到，，根据全等三角形的判定和性质及点的运动轨迹求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ，，， ∵，，， ∴，， 故答案为：，． 【小问2详解】 ①设点的坐标为， 当时， ∵点的坐标为，点在直线上， ∴，，解得， 点的坐标为； 当时， ∵点的坐标为，点在直线上， ∴，， 解得， 点的坐标为； 当时，这种情形不符合题意， 综上，点的坐标为或； ②如图中，设，以为边向下作正方形，连接，交于点，则，，是线段的等腰直角点．过点作轴的平行线，分别过点，作轴的平行线，得到，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴，，， ∴点的运动轨迹是直线，点的运动轨迹是直线，点的运动轨迹是直线， 当边长为的正方形与直线，直线，直线的交点只有两个时，满足条件， 此时． 当以为边向上作正方形时，边长为的正方形存在的伴随点，不止两个． 综上所述，． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系，圆的综合等知识．解题的关键在于理解题意，并灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$